高考数学一轮复习 2.6 函数的单调性 理 课件.ppt

第6讲函数的单调性 学习目标 了解函数单调性的概念及几何意义 掌握基本初等函数的单调性 会求 判断或证明 函数的单调区间 并能运用函数单调性解决有关问题 基础检测 1 下列说法正确的是 a 定义在 a b 上的函数f x 若存在x1 x2 有f x1 f x2 那么f x 在 a b 上为增函数b 定义在 a b 上的函数f x 若有无穷多对x1 x2 a b 使得当x1 x2时 有f x1 f x2 那么f x 在 a b 上为增函数c 若f x 在区间i1上为增函数 在区间i2上也为增函数 那么f x 在i1 i2上也一定为增函数d 若f x 在区间i上为增函数 且f x1 f x2 x1 x2 i 那么x1 x2 d 解析 a b都丢掉了 任意 的x1 x2 故错 对于c 可举反例 y 故选d 2 下列函数中 在区间 0 1 上是增函数的是 a y x b y 3 xc y d y x2 4 a 解析 作出简图 从图象中可直观得出答案a c 4 设函数y f x 在r上有定义 对于给定的函数k 定义函数fk x 若函数f x 则函数的单调递减区间为 1 5 设f x g x 都是单调函数 有如下四个命题 若f x 单调递增 g x 单调递增 则f x g x 单调递增 若f x 单调递减 g x 单调递减 则f x g x 单调递增 若f x 单调递增 g x 单调递增 则f x g x 单调递减 若f x 单调递减 g x 单调递增 则f x g x 单调递减 其中正确的命题序号是 知识要点 1 单调函数的概念 1 增函数 如果对于定义域d内某个给定区间的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说f x 在这个区间上是增函数 2 减函数 如果对于定义域d内某个给定区间的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说f x 在这个区间上是减函数 f x1 f x2 f x1 f x2 3 单调性 如果函数y f x 在某个区间上是 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 这一区间叫做y f x 的 具有单调性的函数叫单调函数 2 判断函数单调性的常用方法 1 定义法 2 性质法 两个增 减 函数的和仍为增 减 函数 一个增 减 函数与一个减 增 函数的差是增 减 函数 增函数或减函数 单调区间 3 转换法 奇函数图象关于原点对称的区间上的单调性 偶函数图象关于y轴对称的区间上的单调性 4 复合法 复合函数单调性 若y f x 和u g x 在相应区间上增减性相同 则y f g x 在这个区间上为 若y f u 和u g x 在相应区间上增减性相反 则y f g x 在这个区间上是 5 导数法 若y f x 的导数为y f x 则f x 0时 函数 f x 0时 函数 点评 1 证明函数的单调性 一般从定义入手 也可以应用导数理论 2 判断函数的单调性或者求函数的单调区间常用方法有 定义法 导数法 图象法 复合函数法 化归基本初等函数法 点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性 解不等式等基础知识 考查综合分析和解决问题的能力 三 函数单调性的综合应用例3已知函数f x x3 bx2 cx的导函数的图象关于直线x 2对称 1 求b的值 2 若f x 在x t处取得极小值 记此极小值为g t 求g t 的定义域和值域 因此 当且仅当c 12时 函数f x 在x x2处存在唯一极小值 所以t x2 2 于是g t 的定义域为 2 由f t 3t2 12t c 0得c 3t2 12t 于是g t f t t3 6t2 ct 2t3 6t2 t 2 当t 2时 g t 6t2 12t 6t 2 t 0 所以函数g t 在区间 2 内是减函数 故g t 的值域为 8 点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性 函数的定义域 值域等基础知识 考查综合分析和解决问题的能力 备选题 例4设函数f x xekx k 0 1 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在区间 1 1 内单调递增 求k的取值范围 1 在研究函数的单调性时 常需要先将函数解析式化简变形 等价转化为讨论一些熟知函数的单调性问题 因此 掌握并熟记一次函数 反比例函数 二次函数 指数函数 对数函数的单调性 将大大缩短我们的判断过程 同时应充分注意函数的等价性 2 函数单调性的证明方法 定义证明法 导数证明法 3 判断函数的单调性的方法 1 观察法 2 图象法 3 定义法 4 复合函数法 5 导数法 注意 确定单调性一定是相对于某个区间而言 并且一定要在定义域内 4 运用奇偶函数的性质及其与单调性的关系是进行单调区间转换的一种有效手段 奇函数在对称区间上的单调性相同 偶函数在对称区间上的单调性相反 且f x f x f x 5 已知函数单调性求参数范围的问题是讨论单调性的可逆过程 解法是根据单调性的概念得到 恒成立 的不等式 同时要注意定义域的这一隐性的限制条件 命题立意 本题主要考查导数的应用 利用导数研究函数的单调性 及解决含参问题 考查分类讨论的思想 考查学生运算能力 综合分析问题能力和问题的化归转化能力 难度较大 b 2 下列函数f x 中 满足 对任意x1 x2 0 当x1f x2 的是 a f x b f x x 1 2c f x exd f x ln x 1 a 解析 依题意可得函数应在x 0 上单调递减 故选a 3 已知函数f x 若f x 在r上单调递增 则实数a的取值范围是 a 2 3 b 2 3 c 0 3 d 0 3 a 解析 由已知得 解得 2 a 3 故选a 4 2011江苏 函数f x log5 2x 1 的单调增区间是 解析 定义域为 x x u x 2x 1在 上单调递增 y log5u x 也是递增的 应填 5 设f x 则不等式f x 2的解集为 1 2 解析 当x 2时 f x 2 2ex 1 2 x 1 x 1 当x 2时 log3 x2 1 2 0 x2 1 9 1 x 或 x 1 2 x 故填 1 2 6 已知函数f x 若f a f a 则实数a的取值范围是 1 0 1 7 已知函数f x x 函数g x f x sinx是区间 1 1 上的减函数 1 求 的最大值 2 若g x t2 t 1在x 1 1 上恒成立 求t的取值范围 解析 1 f x x g x x sinx g x 在 1 1 上单调递减 g x cosx 0 cosx在x 1 1 上恒成立 1 故 max 1 2 由已知得g x max g 1 sin1 只需