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数字电子技术第1章数制与码制 龙翔 物理量的分类 数字量和模拟量 数字量 是指变化无论在时间上还是数值上都是离散的物理量 模拟量 是指变化无论在时间上还是数值上都是连续的物理量 数字信号 用于表示数字量的信号 模拟信号 用于表示模拟量的信号 数字电路 工作在数字信号下的电子电路 模拟电路 工作在模拟信号下的电子电路 本书主要研究数字电路的分析方法 设计方法及其应用 1 1概述1 1 1数字电路和模拟电路 1 1 2数制和码制 1 数制数制 是指多位数码中每一位的构成方法及低位向相邻高位的进位规则 1 常用进制十进制 由0 1 9十个数码组成 进位规则是逢十进一 计数基数为10 其按权展开式例如 二进制 由0 1两个数码组成 进位规则是逢二进一 计数基数为2 其按权展开式为 例如 八进制 由0 1 7八个数码组成 进位规则是逢八进一 计数基数为8 其按权展开式为 例如 十六进制 由0 1 9 A B F十六个数码组成 进位规则是逢十六进一 计数基数为16 其按权展开式例如 2 常用进制之间的转换十进制转换成二进制的方法 整数部分除以2 取余数 读数顺序从下往上 小数部分乘以2 取整数 读数顺序从上至下 例如 十进制转换成八进制的方法 整数部分除以8 取余数 读数顺序从下往上 小数部分乘以8 取整数 读数顺序从上至下 例如 十进制转换成十六进制的方法 整数部分除以16 取余数 读数顺序从下往上 小数部分乘以8 取整数 读数顺序从上至下 例如 二进制转换成十进制的方法 将二进制数按权展开后 按十进制数相加 例如 八进制转换成十进制的方法 将八进制数按权展开后 按十进制数相加 例如 十六进制转换成十进制的方法 将十六进制数按权展开后 按十进制数相加 例如 二进制转换成八进制的方法 以小数点为分界 整数部分向左 小数部分向右 每3位为一位 不足3位的补0 然后将每个三位二进制数都用相应的一位八进制数取代 例如 八进制转换成二进制的方法 以小数点为分界 将每位八进制数分别用相应的三位二进制数取代 例如 二进制转换成十六进制的方法 以小数点为分界 整数部分向左 小数部分向右 每4位为一位 不足4位的补0 然后将每个四位二进制数都用相应的一位十六进制数取代 例如 十六进制转换成二进制的方法 以小数点为分界 将每位十六进制数分别用相应的四位二进制数取代 例如 2 码制码制 为了便于记忆和查找 在编制代码时所遵循的规则 符号大小表示法 原码原码的正 负数的表示范围是相等的 n位原码所表示的范围是 2n 1 1 2n 1 1 有 0和 0 二进制数在符号大小系统中的表示方法为 数字串中最左边的位 即最高位 为表示符号的符号位 0表示正 1表示负 而其它位则表示该数的大小 当我们想要建立一个数字逻辑电路时 这个电路必须首先检验两个被加数的符号 即被加数的符号位为0还是为1 从而确定对这两个数的大小应该做怎样的运算 如果两个数的符号相同 则把两个数的大小相加 结果的符号位与两个被加数相同 如果两个数的符号不同 则必须比较两个数的大小部分 用大小部分大的数减去大小部分小的数 结果的符号位与大小部分大的数相同 当所有这些 如果 相加 减去 和 比较 建立在逻辑电路中时将是非常复杂的 但这对于我们将要学到的补码系统而言则会简单得多 根据补码的补偿属性 当我们建立了一个符号大小系统的加法器后 减法器的建立则是非常简单的 它只需要将减数和被减数的补码输入到加法器中进行加法运算即可 补码系统当我们在符号大小系统中取一个数的负数时 所做的仅仅是改变它的符号而已 而在补码系统中 我们是根据系统的定义 取该数的补码 取一个数的补码比只是改变它的符号要复杂一些 但在补码系统中对两个数进行加减运算时 则不需要考虑它们的符号 也不需要比较它们的大小 补码表示法在基数为r的补码系统中 一个n位数的补码是这样得到的 用rn减去该数的大小 十进制系统的补码称为十进补码 一些四位十进制数的补码如表2 4所示 它们是从10000中减去原来的真值而得到的 根据定义 n位数D的补码则可以通过rn减去该数的大小而得到 如果这个数D的大小在1到rn之间则相减的结果会产生另一个1到rn之间的数 即D的补码 但是当D为0时 相减的结果将会是rn本身 即1000 000 它一共有n 1位 我们将最高为弃掉则会得到结果000 000 这时 数0也只有一个补码了 为了简化求补码时的减法计算 我们可以定义组成数值D的数字串dn 1dn 2dn 3 d3d2d1d0中 各数字位di的补码 如果将数值D的补码定义中的rn写成 rn 1 1 那么 rn D则为 rn 1 D 1 rn 1 具有如下形式 mmm mmm 其中m r 1 并且m的个数为n 例如8进制中 10000 7777 1 如果我们定义某一位d的补码为r 1 d 那么 对数值D的各位依次求补后 我们将得到数值 rn 1 D 所以 数值D的补码可以用以下方法得到 首先对D的各位依次求补 然后在最后的结果中加1 例十进制的补码和反码 取反规则0 91 82 73 64 5 补码 反码 1 1849 1 8 8 1 4 5 9 0 得9的补码 反码 81508150在最低位再加1 得10的补码 8150 1 8151 二进补码二进制数的补码称为二进补码 二进制数的补码的表示范围为 2n 1 到 2n 1 1 我们可以将一个n位二进制数X表示成一个m位二进制数 方法是 如果m n 我们必须在X的左边附加m n个相同的符号位 称为符号扩展 如果m n 我们可以弃掉X最左边的n m位 但是 只有当我们所抛弃的位全都是相同的符号位时 这样的改写才是有效的 反码表示在反码系统中 n位数D的反码是通过从 rn 1 中减去D的大小而得到的 十进制数的反码被称为9进补码 一进补码表示二进制数的反码被称为一进补码 不同进位制的反码 表数字的反码在不同的进位制下 反码的求法由表所示 二 十进制编码 用四位二进制数中的任意十种组合来表示一位十进制数 又称BCD码 常用的BCD码有 8421码 余3码 循环码 余3循环码 2421码 5421码和5211码等等 如表1 1所示 表1 1常用的BCD码 格雷码格雷 Gray 码的作用是为了提高系统的可靠性 Gray码有许多种 各种码的共同特点是任意两个相邻码之间只有一个位不同 这一特点可以减少码在形成 变换和传输时引起的错误 例 100 011 001 010 例 数字电子技术第2章逻辑代数基础 2逻辑代数2 2逻辑代数中的三种基本运算 1 与 或 非的定义如图1 1所示 以开关A B的状态作为条件 闭合表示条件具备 断开表示条件不具备 以指示灯Z的状态作为结果 灯亮表示结果发生 灯不亮表示结果不发生 图1 1指示灯控制电路 与 只有决定事情发生的全部条件同时具备时 结果才发生 又称逻辑乘 或 只要决定事情发生的全部条件至少具备一个时 结果就发生 又称逻辑加 非 条件具备时 结果不发生 条件不具备时 结果一定发生 又称逻辑求反 2 与 或 非的真值表 表1 2与的真值表表表1 3或的真值表表表1 4非的真值表 3 与 或 非的逻辑运算符号与 或者省略 如 Z AB或者Z AB 或 如 Z A B 非 变量上方的 表示 如 4 与 或 非的逻辑符号 图1 2与 或 非的逻辑符号 5 复合逻辑运算 与非 或非 与或非 异或 同或与非的逻辑运算符号 表1 5与非的真值表 图1 3与非的逻辑符号 或非的逻辑运算符号 图1 4或非的逻辑符号 表1 6或非的真值表 与或非的逻辑运算符号是 图1 5与或非的逻辑符号 表1 7与或非的真值表 异或运算的定义是输入相异 输出为1 输入相同 输出为0 其逻辑运算符号是 表1 8异或的真值表 图1 6异或的逻辑符号 同或运算的定义是输入相同 输出为1 输入相异 输出为0 其逻辑运算符号是 表1 9同或的真值表 图1 7同或的逻辑符号 2 3逻辑代数的基本公式 常用公式和基本定理 1 18个基本公式 2 7个常用公式 代入定理 在任何一个含有变量A的逻辑等式中 若以一函数式取代该等式中所有A的位置 该等式仍然成立 反演定理 在一个逻辑式中 若将其中所有的 变成 变成 0 变成 1 1 变成 0 原变量变成反变量 反变量变成原变量 所得函数式即为原函数式的反逻辑式 记作 注意 a 运算的优先顺序 b 不是单个变量上的非号应保留不变 2 4逻辑函数的基本定理 例 试用反演定理求函数式的反逻辑式 解 对偶式 在一个逻辑式中 若将其中所有的 变成 变成 0 变成 1 1 变成 0 所得函数式即为原函数式的对偶式 记作 对偶定理 若两个函数式相等 那么它们的对偶式也相等 例1 4 试求函数式的对偶式 解 2 5逻辑函数的表示方法 逻辑函数 当输入变量取值确定之后 输出变量取值便随之而定 输出变量和输入变量之间是一种函数关系 逻辑函数的表示方法 逻辑真值表 逻辑函数式 逻辑图和卡诺图 1 逻辑函数的表示方法 1 逻辑真值表 是由输出变量取值与对应的输入变量取值所构成的表格 列写方法是 a 找出输入 输出变量 并用相应的字母表示 b 逻辑赋值 c 列真值表 例如三人表决电路 当输入变量A B C中有两个或两个以上取值为1时 输出为1 否则 输出为0 表1 10三人表决电路的真值表 2 逻辑函数式逻辑函数式 是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关系用与 或 非等逻辑运算符号连接起来的式子 又称函数式或逻辑式 例如 三人表决电路的逻辑函数式 3 逻辑图逻辑图 是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关系用与 或 非等逻辑符号表示出来的图形 三人表决电路的逻辑图 图1 8三人表决电路的逻辑图 4 波形图 又称为时序图 将输入变量随时间变化而变化时的所有取值 和这些输入值所对应的输出值按时间的变化排列起来 就得到了这个逻辑函数的波形图 2 逻辑函数表示方法之间的相互转换 1 真值表函数式a 找出真值表中使函数值为1的输入变量取值 b 每个输入变量取值都对应一个乘积项 变量取值为1 用原变量表示 变量取值为0 用反变量表示 c 将这些乘积项相加即可 2 函数式真值表首先在表格左侧将个不同输入变量取值依次按递增顺序列出来 然后将每组输入变量取值代入函数式 并将得到的函数值对应地填在表格右侧即可 3 函数式逻辑图将函数式转换成逻辑图的方法 从输入到输出分别用相应的逻辑符号取代函数式中的逻辑运算符号即可 4 逻辑图函数式将逻辑图转换成函数式的方法 从输入到输出分别用相应的逻辑运算符号取代逻辑图中的逻辑符号即可 5 波形图真值表 在波形图中找到随时间变化过程中的 所有的输入变量的取值组合 以及这些取值组合所对应的输出值 然后把他们填写到真值表中 6 真值表波形图 随着时间的变化 将真值表中所有的输入变量的取值组合 逐一排列在波形图中 并在这些取值组合的下方画出它所对应的输出值 3 逻辑函数的两种标准形式 1 最小项和的形式最小项 设m为包含n个因子的乘积项 且这n个因子以原变量形式或者反变量形式在m中出现且只出现一次 称m为n变量的一个最小项 n变量共有个最小项 最小项的编号规则 使最小项m值为1的输入变量取值所对应的十进制数既为该最小项的编号 记作 表1 11三变量的最小项编号表 最小项的性质 a 对应任意一组输入变量取值 有且只有一个最小项值为1 b 任意两个最小项之积为0 c 全体最小项之和为1 d 具有逻辑相邻性的两个最小项相加 可合并为一项 并消去一个不同因子 将函数式化成最小项和的形式的方法为 该函数式中的每个乘积项缺哪个因子 就乘以该因子加上其反变量 展开即可 例1 1 将函数式化成最小项和的形式 解 2 最大项积的形式最大项 设M为包含n个因子的和 且这n个因子以原变量形式或者反变量形式在M中出现且只出现一次 称M为n变量的一个最大项 n变量共有个最大项 最大项的编号规则 使最大项M值为0的输入变量取值所对应的十进制数既是最大项的编号 记作 表1 12三变量的最大项编号表 最大项的性质 a 对应任意一组输入变量取值 有且只有一个最大项值为0 b 任意两个最大项之和为1 c 全体最大项之积为0 d 具有逻辑相邻性的两个最大项相乘 可合并为一项 并消去一个不同因子 将函数式化成最大项积的形式的方法为 首先化成最小项和的形式 然后直接写成除了这些最小项编号以外的最大项积的形式 例1 2 将函数式化成最大项积的形式 解 逻辑函数式的形式变换与 或式 与非 与非式 或 与非式 或非 或式 与或非式 与非 与式 或 与式 或非 或非式 与或式与非 与非式 将与或式两次求反 并用一次德 摩根定理即可 例1 5 试将函数式转换成与非 与非式 解 与或式与或非式 先将与或式化成最小项和的形式 然后直接写成除了这些最小项编号以外的那些编号的最小项的或非形式 例1 6 试将函数式转换成与或非式 解 1 逻辑函数的公式化简法 是指熟练运用所学基本公式和常用公式 将一个函数式化成最简形式 与或式最简形式的标准是 该与或式中包含的乘积项的个数不能再减少 且每个乘积项所包含的因子数也不能再减少 常用公式化简法 并项法 吸收法 消因子法 消项法 配项法 2 6逻辑函数的化简法 并项法 例如 吸收法 例如 消因子法 例如 消项法 和 例如 配项法 或 例如 2 逻辑函数的卡诺图化简法 1 变量的卡诺图 用个小方块表示n变量的全部最小项 并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来 所得图形称为n变量的卡诺图 图1 9二变量卡诺图 图1 10三变量卡诺图 图1 12五变量卡诺图 图1 11四变量卡诺图 2 逻辑函数式和卡诺图之间的相互转换函数式转换成卡诺图 首先将该函数式化成最小项和的形式 然后将该函数式中包含的最小项在卡诺图相应位置处填1 其余位置处填0 例1 7 试画出逻辑函数的卡诺图 解 由卡诺图写函数式的方法 将卡诺图中所有填1的小方块所表示的最小项相加即可得到相应的函数式 例1 8 卡诺图如图1 13所示 要求写出其函数式 解 图1 13例1 12的卡诺图 解 3 一般逻辑函数的卡诺图化简卡诺图化简法 是指利用卡诺图对逻辑函数进行化简 1 合并最小项规则a 具有逻辑相邻性的2个最小项相加 可合并为1项 消去1对不同因子 保留公共因子 b 具有逻辑相邻性的4个最小项相加 且组成矩形组 可合并为1项 消去2对不同因子 保留公共因子 c 具有逻辑相邻性的8个最小项相加 且组成矩形组 可合并为1项 消去3对不同因子 保留公共因子 d 具有逻辑相邻性的个最小项相加 且组成