中考数学复习 第五章 圆 5.1 圆的性质及与圆有关的位置关系（试卷部分）课件2.ppt

第五章圆 5 1圆的性质及与圆有关的位置关系 中考数学 广西专用 考点一圆的有关概念与性质 五年中考 a组2014 2018年广西中考题组 五年中考 1 2018柳州 8 3分 如图 a b c d是 o上的四个点 a 60 b 24 则 c的度数为 a 84 b 60 c 36 d 24 答案d在 o中 b c 24 在同圆中 同弧所对的圆周角相等 故选d 2 2018贵港 9 3分 如图 点a b c均在 o上 若 a 66 则 ocb的度数是 a 24 b 28 c 33 d 48 答案a在 o中 cob 2 a 2 66 132 又oc ob ocb obc 24 故选a 3 2018贺州 11 3分 如图 ab是 o的直径 且经过弦cd的中点h 已知sin cdb bd 5 则ah的长为 a b c d 答案b如图所示 连接od ab是 o的直径 且h为cd的中点 cd ab 在rt bdh中 sin cdb bh 5 3 dh 4 设 o的半径为r 则oh r 3 则在rt odh中 r2 r 3 2 42 r ah 2 3 3 故选b 4 2017河池 8 3分 如图 o的直径ab垂直于弦cd cab 36 则 bcd的大小是 a 18 b 36 c 54 d 72 答案b ab是 o的直径 ab cd cab bad 36 bcd bad bcd 36 故选b 5 2017贵港 9 3分 如图 a b c d是 o上的四个点 b是的中点 m是半径od上任意一点 若 bdc 40 则 amb的度数不可能是 a 45 b 60 c 75 d 85 答案d连接oa ob b是的中点 aob 2 bdc 80 又 m是od上一点 40 amb 80 故选项中不符合条件的只有85 故选d 6 2018梧州 16 3分 如图 已知在 o中 半径oa 弦ab 2 bad 18 od与ab交于点c 则 aco 度 答案81 解析 在 o中 oa ob ab 2 ab2 oa2 ob2 aob为直角三角形 aob 90 abo 45 又 dob 2 dab 2 18 36 aco 36 45 81 7 2018玉林 16 3分 小华为了求出一个圆盘的半径 他用所学的知识 将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切 另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别为 4 和 16 单位 cm 请你帮小华算出圆盘的半径是cm 答案10 解析设圆盘的圆心为o 圆盘的半径为rcm r 0 如图所示 尺子一边与圆盘相切 另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是 4 和 16 ab 16 4 6cm 刻度尺宽为2cm oa r 2 cm 在rt oab中 oa2 ab2 ob2 即 r 2 2 62 r2 解得r 10 8 2016贵港 16 3分 如图 ab是半圆o的直径 c是半圆o上一点 弦ad平分 bac 交bc于点e 若ab 6 ad 5 则de的长为 答案 解析如图 连接bd ab为半圆o的直径 adb 90 又ab 6 ad 5 bd 弦ad平分 bac dac dab dbe dac dab 在 abd和 bed中 abd bed 即bd2 ed ad 2 ed 5 解得de 故答案为 思路分析利用直径所对圆周角为90 构造rt abd 证明rt abd rt bed 再利用相似三角形对应边成比例求出de长 主要考点相似三角形的判定与性质 勾股定理 圆周角定理的推论 9 2016来宾 18 3分 如图 在 o中 点a b c在 o上 且 acb 110 则 答案140 解析在优弧ab上取点d 异于点a b 连接ad bd 根据圆内接四边形的性质可知 acb adb 180 又 acb 110 adb 70 aob 2 adb 140 即 140 思路分析取优弧ab上一个点d 异于点a b 从而构造圆内接四边形 再利用其对角互补及圆周角定理求 主要考点圆周角定理 圆内接四边形的性质 10 2016来宾 20 3分 命题 直径所对的圆周角是直角 的逆命题是 答案90 的圆周角所对的弦是圆的直径 或如果一个圆周角是直角 那么它所对的弦是圆的直径 解析两个命题中 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论 而第一个命题的结论又是第二个命题的条件 那么这两个命题称为互逆命题 其中一个命题称为另一个命题的逆命题 直径所对的圆周角是直角 的逆命题是 90 的圆周角所对的弦是圆的直径 或如果一个圆周角是直角 那么它所对的弦是圆的直径 11 2017桂林 25 10分 已知 如图 在 abc中 ab bc 10 以ab为直径作 o分别交ac bc于点d e 连接de和db 过点e作ef ab 垂足为f 交bd于点p 1 求证 ad de 2 若ce 2 求线段cd的长 3 在 2 的条件下 求 dpe的面积 解析 1 证明 ab是 o的直径 adb 90 又 ab bc d是ac的中点 abd cbd ad de 2 四边形abed内接于 o ced cab 又 c c cde cba 又 ab bc 10 ce 2 d是ac的中点 cd 3 延长ef交 o于m 在rt abd中 ad ab 10 bd 3 又 ab em ab是直径 bep edb bpe bed bp dp bd bp s dpe s bpe dp bp 13 32 s dpe s bde 13 45 s bcd 3 15 s bde s bcd be bc 4 5 s bde 12 s dpe 思路分析 1 根据直径所对的圆周角为90 可得 adb 90 结合ab bc 由等腰三角形三线合一的性质得出 abd cbd 即可得ad de 2 先证 cde cba 即可得 即可求出cd的长 3 根据勾股定理求出bd的长 延长ef交圆o于m 可证 bpe bed 即可求得bp dp的长 故可得s dpe s bde 13 45 又s bcd 15 s bde s bcd be bc 4 5 故s bde 12 从而求出s dpe 考点二与圆有关的位置关系 1 2017百色 11 3分 以坐标原点o为圆心 作半径为2的圆 若直线y x b与 o相交 则b的取值范围是 a 0 b 2b 2 b 2c 2 b 2d 2 b 2 答案d当直线y x b与 o相切 且经过第一 二 四象限时 如图 在y x b中 当x 0时 y b 则与y轴的交点是b 0 b 当y 0时 x b 则与x轴的交点是a b 0 则oa ob 即 oab是等腰直角三角形 连接圆心o和切点c 则oc 2 则ob oc 2 即b 2 同理 当直线y x b与圆相切 且经过第二 三 四象限时 b 2 综上 b的取值范围是 2 b 2 故选d 2 2016河池 12 3分 如图 在平面直角坐标系中 p与x轴相切 与y轴相交于a 0 2 b 0 8 则圆心p的坐标是 a 5 3 b 5 4 c 3 5 d 4 5 答案d如图 设 p与x轴相切于点c 连接pa pc 作pd y轴于点d p与y轴相交于点a 0 2 b 0 8 pd ab ad 3 od 5 odp pco cod 90 四边形ocpd是矩形 pc od 5 在rt pad中 pd 4 圆心p的坐标是 4 5 故选d 3 2015百色 16 3分 如图 pa是 o的切线 切点为a po的延长线交 o于点b 若 abp 33 则 p 答案24 解析连接oa 如图 pa是 o的切线 切点为a oa ap oap 90 abp 33 oa ob aop 66 p 90 66 24 4 2018贵港 24 8分 如图 已知 o是 abc的外接圆 且ab bc cd ab cd 连接bd 1 求证 bd是 o的切线 2 若ab 10 cos bac 求bd的长及 o的半径 解析 1 证明 连接oa oc ob 在 aob和 cob中 aob cob sss abo cbo bc ba ob ac 三线合一 obc acb 90 ab cd ab cd 四边形abdc是平行四边形 ac bd acb cbd cbd obc 90 obd 90 又 ob为半径 bd是 o的切线 2 延长bo 交ac于e ob ac于e 在rt aeb中 aeb 90 cos bac 又ab 10 ae 6 be 8 ac 2ae 12 四边形abdc是平行四边形 ac bd 12 设半径为r 在rt oae中 oe2 ae2 oa2 8 r 2 62 r2 解得r o的半径为 5 2017南宁 25 10分 如图 ab是 o的直径 弦cd ab 垂足为h 连接ac 过上一点e作eg ac交cd的延长线于点g 连接ae交cd于点f 且eg fg 连接ce 1 求证 ecf gce 2 求证 eg是 o的切线 3 延长ab交ge的延长线于点m 若tang ah 3 求em的值 解析 1 证明 ab是 o的直径 且cd ab aec acd 1分 eg ac acd g cef g 2分 又 ecf gce ecf gce 3分 2 证明 连接oe 4分 oa oe oae oea eg fg gef gfe 5分 又 afh gfe gef afh ab cd oae afh 90 oea gef 90 6分 oe ge eg是 o的切线 7分 3 eg ac g ach tan ach tang 在rt ahc中 ah 3 tan ach ch 4 tan cah 8分 连接oc 设oc x 则在rt coh中 oh oa ah x 3 x2 x 3 2 4 2 x 9分 oe oc ac gm m cah tanm tan cah 在rt oem中 tanm em oe 10分 6 2016钦州 25 10分 如图 在 abc中 ab ac ad是角平分线 be平分 abc交ad于点e 点o在ab上 以ob为半径的 o经过点e 交ab于点f 1 求证 ad是 o的切线 2 若ac 4 c 30 求的长 解析 1 证明 连接oe be平分 abd abe ebd ob oe obe oeb ebd oeb oe bc oea bda 在 abc中 ab ac ad是角平分线 bda 90 oea 90 ad是 o的切线 2 ab ac c 30 abc c 30 oe bc aoe abc 30 在rt aeo中 aeo 90 aoe 30 ao 2ae 设ae x 则ao 2x oe ob ab ao ac ao 4 2x 根据勾股定理得x2 4 2x 2 2x 2 解得x1 8 4 x2 8 4 不合题意 舍去 oe 4 2x 4 2 8 4 8 12 的长为 2 b组2014 2018年全国中考题组 考点一圆的有关概念与性质 1 2018陕西 9 3分 如图 abc是 o的内接三角形 ab ac bca 65 作cd ab 并与 o相交于点d 连接bd 则 dbc的大小为 a 15 b 25 c 35 d 45 答案a ab ac bca 65 bca abc 65 bac 50 cd ab bac acd 50 根据圆周角定理的推论得 abd acd 50 所以 dbc abc abd 65 50 15 故选a 2 2018湖北武汉 10 3分 如图 在 o中 点c在优弧上 将弧折叠后刚好经过ab的中点d 若 o的半径为 ab 4 则bc的长是 a 2b 3c d 答案b连接ao 并延长交 o于点d 则 abd 90 连接bd cd dd dd 交bc于点e 连接od ob oc d为ab的中点 od ab ab 4 bd ab 2 ob od 1 bd 2od 2 即bd bd 显然点d与点d 关于直线bc对称 abd 90 abc cbd 45 根据圆周角定理得 aoc 90 d oc 90 cd oc cbd 45 bd 2 be ed 根据勾股定理得ce 2 所以bc be ce 3 故选b 方法指导在求解涉及圆的性质的问题时 通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段或角或垂直关系 求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形 利用勾股定理等知识进行求解 3 2016河北 9 3分 下图为4 4的网格图 a b c d o均在格点上 点o是 a acd的外心b abc的外心c acd的内心d abc的内心 答案b设每个小正方形的边长为1 则oa ob oc 所以点o到 abc三个顶点的距离都相等 所以点o在三角形三边垂直平分线的交点上 故点o是 abc的外心 评析本题考查了勾股定理和三角形外心的定义 用勾股定理分别求出点o与三角形abc各顶点的距离 再根据定义作出判断 4 2018湖北黄冈 11 3分 如图 abc内接于 o ab为 o的直径 cab 60 弦ad平分 cab 若ad 6 则ac 答案2 解析连接bd 因为ab为 o的直径 所以 adb 90 因为 cab 60 弦ad平分 cab 所以 bad 30 因为 cos30 所以ab 4 在rt abc中 ac ab cos60 4 2 5 2017北京 14 3分 如图 ab为 o的直径 c d为 o上的点 若 cab 40 则 cad 答案25 解析连接bc bd ab为 o的直径 acb 90 abc 90 cab 90 40 50 abd cbd abc 25 cad cbd 25 6 2018安徽 20 10分 如图 o为锐角 abc的外接圆 半径为5 1 用尺规作图作出 bac的平分线 并标出它与劣弧的交点e 保留作图痕迹 不写作法 2 若 1 中的点e到弦bc的距离为3 求弦ce的长 解析 1 尺规作图如图所示 4分 2 连接oe交bc于m 连接oc 因为 bae cae 所以 易得oe bc 所以em 3 rt omc中 om oe em 5 3 2 oc 5 所以mc2 oc2 om2 25 4 21 rt emc中 ce2 em2 mc2 9 21 30 所以弦ce的长为 10分 思路分析对于 2 连接oe交bc于点m 再连接oc 由 bae cae可得 可推出oe bc 最后利用勾股定理求出ce 考点二与圆有关的位置关系 1 2018福建 9 4分 如图 ab是 o的直径 bc与 o相切于点b ac交 o于点d 若 acb 50 则 bod等于 a 40 b 50 c 60 d 80 答案d由bc与 o相切于点b 可得 abc 90 由三角形内角和为180 及 acb 50 可得 bac 40 由oa od得 oda bac 40 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 bod oda oad 80 2 2017吉林 6 2分 如图 直线l是 o的切线 a为切点 b为直线l上一点 连接ob交 o于点c 若ab 12 oa 5 则bc的长为 a 5b 6c 7d 8 答案d因为ab是圆o的切线 所以oa ab 由勾股定理可得 ob 13 又因为oc 5 所以bc ob oc 13 5 8 故选d 3 2018安徽 12 5分 如图 菱形aboc的边ab ac分别与 o相切于点d e 若点d是ab的中点 则 doe 答案60 解析 ab ac分别与圆o相切于点d e od ab oe ac 在菱形aboc中 ab bo 点d是ab的中点 bd ab bo bod 30 b 60 又 ob ac a 120 在四边形adoe中 doe 360 90 90 120 60 解题关键由题意得出od垂直平分ab及ab bo是解答本题的关键 4 2018内蒙古呼和浩特 24 10分 如图 已知bc ac 圆心o在ac上 点m与点c分别是ac与 o的交点 点d是mb与 o的交点 点p是ad延长线与bc的交点 且 1 求证 pd是 o的切线 2 若ad 12 am mc 求的值 解析 1 证明 连接od op a a adm apo adm apo md po 1 4 2 3 od om 3 4 1 2 又op op od oc odp ocp odp ocp bc ac ocp 90 odp 90 od ap 又od为半径 pd是 o的切线 2 由 1 知pc pd 连接cd am mc am 2mo 2r r为 o的半径 在rt aod中 od2 ad2 oa2 r2 122 9r2 r 3 od 3 mc 6 ap 18 dp 6 又 md po o是mc的中点 点p是bc的中点 bp cp dp 6 又 mc是 o的直径 bdc cdm 90 在rt bcm中 bc 2dp 12 mc 6 bm 6 易知 bcm cdm 即 md 2 思路分析第 1 问需要通过线段的比相等来寻找合适的相似三角形 进而得到角相等 第 2 问需要先求出半径 进而借助相似三角形的性质和判定解决 解题关键解决本题的关键是要寻找合适的相似三角形 并综合运用相关几何知识解决问题 5 2018河南 19 9分 如图 ab是 o的直径 do ab于点o 连接da交 o于点c 过点c作 o的切线交do于点e 连接bc交do于点f 1 求证 ce ef 2 连接af并延长 交 o于点g 填空 当 d的度数为时 四边形ecfg为菱形 当 d的度数为时 四边形ecog为正方形 解析 1 证明 连接oc ce是 o的切线 oc ce fco ecf 90 do ab b bfo 90 cfe bfo b cfe 90 3分 oc ob fco b ecf cfe ce ef 5分 2 30 注 若填为30 不扣分 7分 22 5 注 若填为22 5 不扣分 9分 6 2018四川成都 20 10分 如图 在rt abc中 c 90 ad平分 bac交bc于点d o为ab上一点 经过点a d的 o分别交ab ac于点e f 连接of交ad于点g 1 求证 bc是 o的切线 2 设ab x af y 试用含x y的代数式表示线段ad的长 3 若be 8 sinb 求dg的长 解析 1 如图 连接od ad为 bac的平分线 bad cad oa od oda oad oda cad od ac 又 c 90 odc 90 od bc bc是 o的切线 2 连接df 由 1 可知 bc为 o的切线 fdc daf cda cfd afd adb 又 bad daf abd adf ad2 ab af ad2 xy ad 3 连接ef 在rt bod中 sinb 设圆的半径为r r 5 ae 10 ab 18 ae是直径 afe 90 又 c 90 ef bc aef b sin aef af ae sin aef 10 af od dg ad ad dg 思路分析 1 连接od 由od oa ad平分 bac 易得od ac 所以od bc 证得bc为圆o的切线 2 连接df 判定 abd adf 得ad2 ab af xy 即ad 3 连接ef 设圆的半径为r 由sinb的值 解直角 abc 直角 aef 根据od af 表示出dg ad 又ad 进而可以求出dg的长 易错警示本题属于圆的综合题 考查了切线的判定与性质 相似三角形的判定与性质及锐角三角函数 题中涉及直角三角形的条件间的转化较多 易造成代换或计算错误 加强对三角函数概念的理解 提高计算能力 是减少错误的关键 c组教师专用题组 考点一圆的有关概念与性质 1 2016南宁 9 3分 如图 点a b c p在 o上 cd oa ce ob 垂足分别为d e dce 40 则 p的度数为 a 140 b 70 c 60 d 40 答案b dce 40 cd oa ce ob doe 360 90 90 40 140 p aob 70 故选b 思路分析先利用四边形内角和求 doe的度数 再利用圆周角定理求 p 主要考点圆周角定理 2 2016玉林 6 3分 如图 cd是 o的直径 已知 1 30 则 2 a 30 b 45 c 60 d 70 答案c连接ad cd是 o的直径 dac 90 1 30 bad 60 2 bad 60 3 2016陕西 9 3分 如图 o的半径为4 abc是 o的内接三角形 连接ob oc 若 bac与 boc互补 则弦bc的长为 a 3b 4c 5d 6 答案b boc cab 180 boc 2 cab boc 120 作od bc交bc于点d bc 2bd ob oc obd ocd 30 bd obcos30 2 bc 2bd 4 故选b 4 2015南宁 11 3分 如图 ab是 o的直径 ab 8 点m在 o上 mab 20 n是的中点 p是直径ab上一动点 若mn 1 则 pmn周长的最小值为 a 4b 5c 6d 7 答案b pmn的周长为pm pn mn的和 其中mn 1 所以只要pm pn的和最小即可 如图 取n关于ab的对称点c 连接mc交ab于p 此时pm pn的和最小 pm pn的和就是mc的长度 连接om on oc mab 20 mob 40 n为的中点 nob 20 直径ab cn cob 20 moc 60 om oc moc为等边三角形 ab 8 mc om 4 pmn的周长的最小值为1 4 5 故选b 5 2015玉林 8 3分 如图 在 o中 直径cd 弦ab 则下列结论中正确的是 a ac abb c bodc c bd a bod 答案b 直径cd 弦ab 又 c为所对的圆周角 bod为所对的圆心角 c bod 6 2014贵港 9 3分 如图 ab是 o的直径 cod 34 则 aeo的度数是 a 51 b 56 c 68 d 78 答案a cod 34 boc eod cod 34 aoe 180 eod cod boc 78 又 oa oe aeo eao aeo 180 78 51 故选a 思路分析由 可求得 boc eod cod 34 继而可求得 aoe的度数 然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求 aeo的度数 评析此题考查了弧与圆心角的关系 此题比较简单 注意掌握数形结合思想的应用 7 2014南宁 6 3分 在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油 截面示意图如图所示 若油面的宽ab 160cm 则油的最大深度为 a 40cmb 60cmc 80cmd 100cm 答案a如图 连接oa 过点o作oe ab 交于点e 交ab于点m 直径为200cm ab 160cm oa oe 100cm am 80cm om 60 cm me oe om 100 60 40 cm 即油的最大深度为40cm 8 2014钦州 9 3分 如图 等圆 o1和 o2相交于a b两点 o1经过 o2的圆心o2 连接ao1并延长交 o1于点c 则 aco2的度数为 a 60 b 45 c 30 d 20 答案c连接o1o2 ao2 ao1 o1o2 ao2 ao1o2是等边三角形 ao1o2 60 aco2的度数为30 故选c 思路分析利用等圆的性质得出 ao1o2是等边三角形 再利用圆周角定理得出 aco2的度数 评析此题主要考查了两圆相交的性质以及等边三角形的判定和圆周角定理等知识 得出 ao1o2为等边三角形是解题的关键 9 2016河池 16 3分 如图 ab是 o的直径 点c d都在 o上 abc 50 则 bdc的大小是 答案40 解析 ab是 o的直径 acb 90 又 abc 50 bac 180 90 50 40 bdc bac 40 10 2016百色 15 3分 如图 o的直径ab过弦cd的中点e 若 c 25 则 d 答案65 解析 c 25 a c 25 o的直径ab过弦cd的中点e ab cd aed 90 d 90 25 65 11 2017内蒙古包头 17 3分 如图 点a b c为 o上的三个点 boc 2 aob bac 40 则 acb 度 答案20 解析 bac 40 boc 80 boc 2 aob aob boc 40 acb aob 20 12 2016宁夏 15 3分 已知正 abc的边长为6 那么能够完全覆盖这个正 abc的最小圆面的半径是 答案2 解析根据题意知 这个最小圆是正 abc的外接圆 设其半径为r 则r 6 sin60 2 13 2016重庆 15 4分 如图 oa ob是 o的半径 点c在 o上 连接ac bc 若 aob 120 则 acb 度 解析根据圆周角定理 知 acb aob 120 60 答案60 14 2015崇左 17 3分 如图 线段ab是 o的直径 点c在圆上 aoc 80 点p是线段ab延长线上的一动点 连接pc 则 apc的度数是度 写出一个即可 答案30 答案不唯一 解析 线段ab是 o的直径 点c在圆上 aoc 80 abc 40 点p是线段ab延长线上的一动点 apc的度数一定小于40 故 apc的度数可以为30 答案不唯一 备考指导 1 在同圆或等圆中 圆周角的度数等于同弧或等弧所对圆心角的一半 2 三角形的外角大于与它不相邻的任一内角 15 2016宁夏 23 8分 已知 abc 以ab为直径的 o分别交ac于d bc于e 连接ed 若ed ec 1 求证 ab ac 2 若ab 4 bc 2 求cd的长 解析 1 证明 ed ec cde c 又 四边形abed是 o的内接四边形 cde b b c ab ac 4分 2 连接ae 则ae bc be ec bc 在 abc与 edc中 c c cde b abc edc 6分 得dc 由ab 4 bc 2 得dc 8分 评析本题考查圆的内接四边形的性质 三角形相似的判定与性质 属中档题 16 2016桂林 25 10分 如图 在四边形abcd中 ab 6 bc 8 cd 24 ad 26 b 90 以ad为直径作 o 过点d作de ab 交 o于点e 1 求证 点c在 o上 2 求tan cde的值 3 求圆心o到弦ed的距离 解析 1 证明 在rt abc中 b 90 ab 6 bc 8 ac 10 在 acd中 ac 10 cd 24 ad 26 ac2 cd2 102 242 676 262 ad2 acd是直角三角形 且 acd 90 连接oc oa od oc ad oa 点c在 o上 2 连接ae交cd于点g ad是 o的直径 e 90 即ae de ab de ba ae b 90 即cb ba bc ae bca cae 又 cae cde cde bca tan cde tan bca 3 过点o作of de于点f 在rt acg中 tan cag ac 10 cg 在rt ged中 tan gde gd cd cg de o是ad的中点 of是 aed的中位线 df de of 即圆心o到弦ed的距离为 一题多解 2 分别延长bc de相交于点m ab de b 90 m 90 dcm mdc 90 acd 90 dcm bca 90 bca mdc tan cde tan bca 3 由 2 知rt abc rt cmd ab 6 ac 10 cd 24 cm bm cm bc 连接ae 过点o作of de于点f 则df ef o是ad的中点 of是 aed的中位线 b m aem 90 四边形abme为矩形 ae bm fo ae 即圆心o到弦ed的距离为 考点二与圆有关的位置关系 1 2016梧州 6 3分 已知半径为5的圆 其圆心到直线的距离是3 此时直线和圆的位置关系为 a 相离b 相切c 相交d 无法确定 答案c由题意知d 3 r 5 d r 直线与圆相交 故选c 主要考点直线与圆的位置关系 2 2015贵港 10 3分 如图 已知p是 o外一点 q是 o上的动点 线段pq的中点为m 连接op om 若 o的半径为2 op 4 则线段om的最小值是 a 0b 1c 2d 3 答案b设op与 o相交于点n 则on 2 pn op on 4 2 2 所以n为op的中点 连接mn oq 如图 m为pq的中点 mn为 poq的中位线 mn oq 1 点m在以n为圆心 1为半径的圆上 当点m在on上时 om最小 最小值为on mn 2 1 1 线段om的最小值为1 3 2014南宁 18 3分 如图 abc是等腰直角三角形 ac bc a 以斜边ab上的点o为圆心的圆分别与ac bc相切于点e f 与ab分别交于点g h 且eh的延长线和cb的延长线交于点d 则cd的长为 答案a 解析连接oe of 设 o的半径为r 由题意易知oe ac of bc oe of ae bf ce cf oh r a 在rt aoe和rt bof中 由勾股定理 得oa ob r a bh ob oh a r a a a 又 c 90 bc ac 又oe ac oe bc bdh oeh 即 bd bh a cd bc bd a a a 4 2017河池 25 10分 如图 ab为 o的直径 cb cd分别与 o相切 切点分别为b d cd交ba的延长线于点e co的延长线交 o于点g ef og于点f 1 求证 feb ecf 2 若bc 6 de 4 求ef的长 解析 1 证明 cb cd分别与 o相切 切点分别为b d co平分 bce ob bc eco bco bco cob 90 ef og feb foe 90 又 cob foe bco bef feb ecf 2 如图 连接od cb cd分别与 o相切 切点分别为b d cd cb 6 od ce ce cd de 6 4 10 在rt bce中 be 8 设 o的半径为r 则od ob r oe 8 r 在rt ode中 r2 42 8 r 2 解得r 3 oe 8 3 5 在rt obc中 oc 3 cob foe obc efo oef ocb 即 ef 2 5 2017福建 21 8分 如图 四边形abcd内接于 o ab是 o的直径 点p在ca的延长线上 cad 45 1 若ab 4 求的长 2 若 ad ap 求证 pd是 o的切线 解析 1 连接oc od cod 2 cad cad 45 cod 90 ab 4 oc ab 2 的长 2 2 证明 boc aod cod 90 aod 45 oa od oda oad aod oda oad 180 oda 67 5 ad ap adp apd cad adp apd cad 45 adp cad 22 5 odp oda adp 90 又 od是半径 pd是 o的切线 解题思路 1 连接oc od 由圆周角定理可得 cod 90 然后利用弧长公式求解 2 由 cod 90 得 boc aod 45 由oa od得 oda oad 67 5 由ad ap cad adp apd得 adp 22 5 所以 odp oda adp 90 即证得pd是 o的切线 6 2017柳州 25 10分 如图 已知ao为rt abc的角平分线 acb 90 以o为圆心 oc为半径的圆分别交ao bc于点d e 连接ed并延长交ac于点f 1 求证 ab是 o的切线 2 求tan cao的值 3 求的值 解析 1 证明 过点o作oh ab 垂足为h ao为 cab的平分线 且oc ac oh ab oh oc 即点o到直线ab的距离等于半径 ab是 o的切线 2 不妨设ac 4k 则bc 3k 在rt abc中 由勾股定理得ab 5k ac oc 所以ac为 o的切线 ah ac 4k bh k 又 tanb oh bh k oc oh k tan cao 3 连接cd fcd dce 90 dce ced 90 fcd dec 又 cfd cfe fcd fec 又 adf ode oed dca daf cad adf acd 7 2017北京 24 5分 如图 ab是 o的一条弦 e是ab的中点 过点e作ec oa于点c 过点b作 o的切线交ce的延长线于点d 1 求证 db de 2 若ab 12 bd 5 求 o的半径 解析 1 证明 bd是 o的切线 obd 90 ce oa ace 90 oba ebd a aec 90 oa ob a oba ebd aec 又 aec bed bed ebd db de 2 如图 连接oe 则oe ab ae be 6 过点d作dm ab于点m de db bm be 3 在rt bmd中 由勾股定理得 dm 4 易证 obe bdm 又 beo dmb 90 rt obe rt bdm ob 8 2017四川绵阳 23 11分 如图 已知ab是圆o的直径 弦cd ab 垂足为h 与ac平行的圆o的一条切线交cd的延长线于点m 交ab的延长线于点e 切点为f 连接af交cd于点n 1 求证 ca cn 2 连接df 若cos dfa an 2 求圆o的直径的长度 解析 1 证明 连接of me与圆o相切于点f of me 即 ofn mfn 90 1分 ofn oan oan anh 90 mfn anh 3分 又 me ac mfn nac anh nac ca cn 5分 2 cos dfa dfa ach cos ach 6分 在rt ahc中 设ac 5a hc 4a 则ah 3a 由 1 知ca cn nh a 7分 在rt anh中 利用勾股定理 得ah2 nh2 an2 即 3a 2 a2 2 2 解得a 2 8分 连接oc 在rt ohc中 利用勾股定理 得oh2 hc2 oc2 设圆o的半径为r 则 r 6 2 82 r2 解得r 10分 圆o的直径的长度为2r 11分 9 2016贺州 25 10分 如图 在 abc中 e是ac边上的一点 且ae ab bac 2 cbe 以ab为直径作 o交ac于点d 交be于点f 1 求证 bc是 o的切线 2 若ab 8 bc 6 求de的长 解析 1 证明 ae ab abe是等腰三角形 abe 180 bac 90 bac bac 2 cbe cbe bac abc abe cbe bac 90 bc是 o的切线 2 连接bd ab是 o的直径 adb 90 由 1 可知 abc 90 又 a a abd acb 在rt abc中 ab 8 bc 6 ac 10 解得ad 6 4 又 ae ab 8 de ae ad 8 6 4 1 6 思路分析 1 由等腰三角形的性质得 abe 90 bac 结合 cbe bac 可得 abc abe cbe 90 即可证bc是 o的切线 2 先证 abd acb 再利用对应边成比例求得ad 6 4 则de ae ad 1 6 10 2016南宁 23 8分 如图 在rt abc中 c 90 bd是角平分线 点o在ab上 以点o为圆心 ob为半径的圆经过点d 交bc于点e 1 求证 ac是 o的切线 2 若ob 10 cd 8 求be的长 解析 1 证明 连接od bd平分 abc obd cbd 点b d在 o上 ob od odb obd odb cbd od bc 3分 oda c 90 od ac 4分 又 点d在 o上 ac是 o的切线 5分 2 过点o作of bc于点f bf ef ofc 90 6分 又 c odc 90 四边形cdof是矩形 of cd 8 7分 在rt bof中 bf 6 be 2bf 12 8分 11 2016玉林 23 9分 如图 ab是 o的直径 点c d在圆上 且四边形aocd是平行四边形 过点d作 o的切线 分别交oa延长线与oc延长线于点e f 连接bf 1 求证 bf是 o的切线 2 已知圆的半径为1 求ef的长 解析 1 证明 连接od bd 且bd与oc交于点g bd ad oc ad of bd bg dg 即of所在直线是线段bd的垂直平分线 ob od fd fb 1 3 2 4 又由 odf 90 得 1 2 90 即 3 4 90 ob bf 即bf是 o的切线 2 由题意得ad oc ad oa od 即 aod是等边三角形 oc ad bof oad 60 bf ob tan60 在 aed中 ade 90 60 30 aed 60 30 30 在rt ebf中 ef 2 12 2016陕西 23 8分 如图 已知 ab是 o的弦 过点b作bc ab交 o于点c 过点c作 o的切线交ab的延长线于点d 取ad的中点e 过点e作ef bc交dc的延长线于点f 连接af并延长交bc的延长线于点g 求证 1 fc fg 2 ab2 bc bg 证明 1 如图 ef bc ab bg ef ad 又 e是ad的中点 fa fd fad d 2分 又gb ab gab g d 1 90 1 g 而 1 2 2 g fc fg 4分 2 连接ac ab bg ac是 o的直径 5分 又 fd是 o的切线 切点为c ac df 1 4 90 6分 又知 3 4 90 1 3 而由 1 知 1 g 3 g abc gba 7分 故ab2 bc bg 8分 13 2016北京 25 5分 如图 ab为 o的直径 f为弦ac的中点 连接of并延长交于点d 过点d作 o的切线 交ba的延长线于点e 1 求证 ac de 2 连接cd 若oa ae a 写出求四边形acde面积的思路 解析 1 证明 连接oc 如图 oa oc f为ac的中点 od ac de是 o的切线 od de ac de 2 求解思路如下 在rt ode中 由oa ae od a 可得 ode ofa为含30 角的直角三角形 由 acd aod 30 可知cd oe 由ac de 可知四边形acde是平行四边形 由 ode ofa为含有30 角的直角三角形 可求de df的长 进而可求四边形acde的面积 14 2016天津 21 10分 在 o中 ab为直径 c为 o上一点 1 如图 过点c作 o的切线 与ab的延长线相交于点p 若 cab 27 求 p的大小 2 如图 d为上一点 且od经过ac的中点e 连接dc并延长 与ab的延长线相交于点p 若 cab 10 求 p的大小 解析 1 如图 连接oc o与pc相切于点c oc pc 即 ocp 90 cab 27 cob 2 cab 54 在rt opc中 p cop 90 p 90 cop 36 2 e为ac的中点 od ac 即 aeo 90 在rt aoe中 由 eao 10 得 aoe 90 eao 80 acd aod 40 acd是 acp的一个外角 p acd cap 30 15 2016广东 24 9分 如图 o是 abc的外接圆 bc是 o的直径 abc 30 过点b作 o的切线bd 与ca的延长线交于点d 与半径ao的延长线交于点e 过点a作 o的切线af 与直径bc的延长线交于点f 1 求证 acf dae 2 若s aoc 求de的长 3 连接ef 求证 ef是 o的切线 解析 1 证明 bc是 o的直径 bac bad 90 abc 30 oa ob oc oab oba 30 oac oca aoc 60 acf dae 120 1分 af是 o的切线 oa af oaf 90 caf 90 oac 90 60 30 2分 bd是 o的切线 d 90 bcd 90 60 30 d caf acf dae 3分 2 设oc r oac是等边三角形 s aoc r r r2 4分 r2 r 1或r 1 舍去 oc 1 ab bd 2 5分 beo 180 dae d 180 120 30 30 beo bao be ab de bd be 3 6分 3 证明 过点o作og ef 垂足为g afb acb caf 30 ac fc 1 bf 3 of 2 7分 在rt bef中 ef 2 ebf ogf 90 ofg efb rt ofg rt efb 8分 og 1 og oc ef是 o的切线 9分 评析本题考查直角三角形 等腰三角形 等边三角形及圆的相关知识 16 2016柳州 25 10分 如图 ab为 abc外接圆 o的直径 点p是线段ca延长线上一点 点e在圆上且满足pe2 pa pc 连接ce ae oe oe交ca于点d 1 求证 pae pec 2 求证 pe为 o的切线 3 若 b 30 ap ac 求证 do dp 证明 1 pe2 pa pc 又 p p pae pec 2 如图 连接be 由 1 知 pea pce 又 pce abe pea abe ob oe abe oeb pea oeb ab为直径 aeb 90 peo pea oea oeb oea 90 即oe pe pe是 o的切线 3 如图 连接oc 作of pc于点f 不妨设pa t 则ac 2pa 2t pc 3t 由pe2 pa pc 得pe t b 30 coa 2 b 60 又oc oa oca为正三角形 of oasin60 oa ac t of pe 又 ofd ped 90 fdo edp ofd ped do dp 思路分析 1 由pe2 pa pc得 从而得 pae pec 2 连接be 证出 peo为90 从而得切线 3 连接oc 作of pc于点f 设pa t 用t表示出pe of 可证 ofd ped 从而得到do dp 17 2016贵港 24 7分 如图 在 abc中 ab ac o为bc的中点 ac与半圆o相切于点d 1 求证 ab是半圆o所在圆的切线 2 若cos abc ab 12 求半圆o所在圆的半径 解析 1 证明 如图 连接od oa 作oe ab于e ac与半圆o相切于点d od ac ab ac o为bc的中点 cao bao od ac oe ab od oe ab是半圆o所在圆的切线 2 cos abc ab 12 ob abcos abc 8 由勾股定理 得ao 4 s aob ab oe ob ao oe 半圆o所在圆的半径是 18 2015辽宁葫芦岛 23 12分 如图 abc是等边三角形 ao bc 垂足为点o o与ac相切于点d be ab交ac的延长线于点e 与 o相交于g f两点 1 求证 ab与 o相切 2 若等边三角形abc的边长是4 求线段bf的长 解析 1 证明 过点o作om ab 垂足为m 因为ac是切线 所以od ac 所以 ado amo 90 因为 abc是等边三角形 且ao bc 所以 bao oac 所以od om 所以ab是 o的切线 2 过点o作on be 垂足为点n 连接of 因为等边 abc的边长为4 ao bc 所以点o是bc的中点 所以ob oc 2 在rt omb中 mbo 60 所以om ob sin60 bm ob cos60 1 因为be ab on be om ab 所以四边形bmon是矩形 所以on bm 1 bn om 在rt onf中 onf 90 of 所以nf2 of2 on2 2 所以n