数学竞赛问题10.pdf

为 2 3 1 n L的子集 但 n T中任3个元素均 不能两两互素 因此 1 n f nT 由容斥原 理知 111 236 n nnn T 从而有 111 1 236 nnn f n 4 4 5 5 6 5 fff 7 6 8 7 9 8fff 4 4 5 5ff 以下证明 6 5f 设 12345 x x x x x为 1 5 m mm L中 的5个数 若这5个数中有3个奇数 则它们两 两互素 若这5个数仅有2个奇数 不妨设 123 x x x为偶数 45 x x为奇数 当13ij 时 2 4 ij xx 所以 123 x x x中至少一个 被3整除 一个被5整除 从而至少有一个既不 被3整除也不被5整除 不妨设3 3 5 x 3 x 则 345 x x x两两互素 所以 6 5f 又由 1 m mmn L 1 1 m mmnmn LU 知 1 1f nf n 从而有 7 6 8 7 9 8fff 因此 当49n 时 111 1 236 nnn f n 以下对n用数学归纳法证明 对所有 4n 都成立 设 9 nk k 时 式成立 当1nk 时 由于 1 m mmk L 1 6 5 m mmkmk LU 4 mkmk L 由归纳假设5 6nkn 时 式成立 1 5 6 1f kf kf 222 1 236 kkk 由 式知 1nk 时 式成立 所以 对于任意整数4n 111 1 236 nnn f n 数学竞赛问题数学竞赛问题 10 广州大学数学与信息科学学院 吴伟朝 353 设 2 2 a aR yfxxaxa 1 求证 所有的二次曲线 a yfx 都经 过一个定点 2 求证 所有的二次曲线 a yfx 的顶 点都落在一条固定的二次曲线上 3 设 a yfx 与x轴相交或相切 求出 其小根的取值范围 注注 本题于2004年7月提出 被作为2004 年 中学生数理化 主办的 数学夏令营 高 中 郑州 竞赛试题 354 试求出所有的整数对 a b 使得 a 1 2 bab 整除1ab 355 试求出所有的整数对 x y 使得x 整除 2 41yy 并且y整除 2 27xx 注注 本题于2004年3月13日为 美国数 学月刊 Monthly 问题栏而提出 356 求出方程2143 2xxx 的所有实根x 357 设0 2x 试求函数tanyx 11 cot sincos x xx 的取值范围 358 设0 2xy 且tantanyx 1 cosx 问 y与x之间满足一个什么样的简 单关系式 写出答案 并证明之 359 设30XOY 点A在这个角内部 作ABOX ACOY B C为 垂 足 若 2 3ABAC 求AO的长度 360 求出 36sin40 arctan 2 3sin401 的度数 361 在直角三角形ABC中 90ACB 设r是 ABC的内切圆的半径 c t是ACB 的平分线的长度 试确定两个正数r和 c t所应 满足的充分必要条件 使得相应的直角三角 形ABC确实存在 362 试求出所有的函数 fRR 使得 33 对于所有的 x yR 都有 2 f xyf yyf x 2 2 f yyf xf x 注注 本题于2004年7月6日为 美国数 学月刊 Monthly 问题栏而提出 363 设 x y均是锐角 求证 22 sincos1sincos1 sinsin xxyy xy 2 2sin sinsinsin xy xyxy 的充分必要条件是90 xy 364 试求出所有的整数对 x y 使得 22 2263320040 xyxyxy 365 设 12 1aa 且 1 21 nnn aaa 1 2 3 n L 求通项公式 n a 答案写成与n 有关的式子 366 在 ABC中 ABAC 设k是一个 给定的实数 且02k A 的一个 外角的平分线交 ABC的外接圆于点E 过 E作EFAB 垂足为F 求证 2 ABAC AF 注注 本题于1989年提出 后来被正式采用 为1989年全国高中数学联赛的第二试第一 题 371 以长方体8个顶点中的任意3个为 顶点的所有三角形中 锐角三角形的个数为 A 0 B 6 C 8 D 24 注注 本题于1989年提出 后来被正式采用 为1989年全国高中数学联赛的第一试第一 题 选择题 的第4题 372 四边形ABCD内接于圆O 对角线 AC与BD相交于P 设三角形 ABP BCPCDP 和DAP的外接圆圆心分别是 1234 O O O O 求 证 1324 OP OO O O三直线共点 注注 本题于1990年提出 后来被正式采用 为1990年全国高中数学联赛的第二试第一 题 373 设 4 2 则 cos cos cos sin sin cos 的大小顺序是 A coscossin cos sin cos B cossincos cos cos sin C coscossin sin cos cos D sincoscos cos cos sin 注注 本题于1990年提出 后来被正式采用 为1990年全国高中数学联赛的第一试第一 题 选择题 第1题 374 设函数 fRR 适合条件 对于任 何的 x yR 都有 33 f xy 2 xyf x 2 f x f yf y 试证 对一切xR 都有 1996 1996 fxf x 注注 本题于1995年11月提出 后来被正 式采用为1996年中国数学奥林匹克 CMO 第三题 其实 本题的函数方程的解 所有 为 0 f xxR 或 f xxxR 这是可 以证明的 34 375 1 试求出所有的函数 fRR 使 得对于所有的 x yR 都有 33 f xy x 22 yf xxyf y 2 试求出所有的函数 fRR 使得对 于所有的 x yR 都有 33 f xy 2 xyf x 2 f xyf y 3 试求出所有的函数 fRR 使得对 于所有的 x yR 都有 332 2f xyxyf xxf y 2 2 yf xf y 376 在 ABC中 ABAC P是 ABC 内一点 使得PBAB 且2ABPACP 试 求PCB 的度数 注注 本题来源于第239题 本刊2003年第 9期的 数学竞赛问题 7 377 设ABCD为一个圆内接四边形 且 AD与BC不平行 E F为CD上的点 G H分别为三角形BCE和ADF的外心 求证 AB CD GH三线共点或两两平行的充分 必要条件是A B C D四点共圆 注注 本题于1999年提出 后来被正式发表 于 美国数学月刊 Monthly 2000年第2期 第10783题 问题解答栏 在2003年中国IMO 代表队 国家队 培训中 本题又被作为训练考 试题 第5套的第1题 378 1 试求出所有的函数 fRR 使 得对于任何的 x yR 都有 f xyf xf xxf y 2 求出所有的函数 f g RR 使得对 于任何的 x yR 都有 f xyg xg xxf y 注注 本题的 1 于1996年提出 后来被正 式发表于 Mathematics Magazine 美国 1998 年第3期 第1552题 问题解答栏 2 的本质 是 1 被作为2003年中国IMO国家集训队测 试题 第4套第2题 379 给定一个正整数2n 试求出所有 的函数 fRR 使得对于任何的 x yR 都有 nn f xyf xf xx f y 380 给定一个正整数2n 试解决下列 两个问题 1 试求出所有的函数 fRR 使得对 于任何的 x yR 都有 nn f xyf xf xxf y 2 试求出所有的函数 fRR 使得对 于任何的 x yR 都有 nn f xy f xf xx f y 381 试求出所有的整数n 使得 2 n 2003n 1 能整除 2 331nn 注注 本题于2002年8月提出于中山市翠 亨村 382 设有25个人 组成若干个委员会 每 个委员会恰有5名成员 每两个委员会至多有 1名公共成员 确定委员会个数的最大可能值 383 设 1111 ABCDABC D 是一个单位正 方体 P Q分别是棱 1 AB CC的中点 试求 1 直线PQ被正方体的外接球面所截得 的弦 线段 的长度 2 二面角 1 APQC 的平面角大小 注注 本题于2002年10月提出关于郑州市 1 和 2 的答案分别是10 2d 和 arcsin 2 870 145 384 设 x yR 33 1xy 且 xy 2 3 试求 22 xy 的最小值 385 a表示不大于实数a的最大整数 1 求所有的实数x 使得 2 1 2 21xx 2 给定一个正整数k 求出所有的实数x 使得 2 1 1xkkx 386 试求出满足 2 3 1 2003 aa a 为整数的所有 的整数a 注注 本题于2003年提出于河南省新乡市 与我的学生龚固合作 387 在梯形ABCD中 ABCD AB BC 3 2 3ADAC E和F分别是CD和 AB的中点 求EF的长度 388 在凸四边ABCD中 1997 ABCD 35 71 90BADADC 两条对角线AC与 BD相交于点P PEBC E为垂足 试求 AD所能取到的正整数值的个数 使得PE为 有理数 389 试求出所有的整数对 x y 使得 2xy能整除 22 xyx 390 锐角三角形ABC内接于单位圆O 点P和Q分别是 AB AC边上的内点 使得 2 1AP PBAQ QC 且 P O Q三点共线 试求出 AB AC BC及 ABC面积 ABC S 这四 个量的各自的取值范围 391 求出所有的整数n 使得 3 2 55 1 nn n 是整数 392 已知 01xy 求证 xy yx xy xy y x 393 给定一个实数a 求出方程 2 1x 2 1axx 的所有的实根x 394 1 试求出所有的函数 fRR 使 得对于任何的 x yR 都有 2 f xyf yyf x 2 2 yf xyf x 2 试求出所有的函数 fRR 使得对 于任何的 x yR 都有 2 f xyf yyf x 2 yf xyxf x 3 试求出所有的函数 fRR 使得对 于任何的 x yR 都有 2 f xyf yyf x 2 yf yxf yf x 4 试求出所有的函数 fRR 使得对 于任何的 x yR 都有 2 f xyf yyf x 2 2 f yxyf x 5 试求出所有的函数 fRR 使得 对于任何的 x yR 都有 2 f xyf yyf x 2 f yf xyxf x 395 试求出所有的函数 fRR 使得 对于任何的 x yR 都有 2 f xyf yyf x 2 2 f yxf yf x 注注 本题于2004年4月为 美国数学月 刊 问题栏提出 与第362题也相关联 但不 同 下面给出 数学竞赛问题 9 2004年 第6期 中两道题的更正 334 试求出所有的函数 fRR 使得对 于任何的 x yR 都有 2 f xyf yyf x 2 2 yyf xf x 336 试求出所有的函数 fRR 使得 对于任何的 x yR 都有 f f xf x