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1 设圆的圆心是c a b 半径为r 则圆的标准方程是 x a 2 y b 2 r2 当圆的圆心在坐标原点时 圆的半径为r 则圆的标准方程是x2 y2 r2 2 设点p到圆心的距离为d 圆的半径为r 点p在圆外 d r 点p在圆上 d r 点p在圆内 d r 3 已知二元二次方程x2 y2 dx ey f 0 2 圆的一般方程突出了方程形式的特点 x2和y2的系数相等 没有xy这样的二次项 5 a c 0且b 0是二元二次方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的必要不充分条件 1 圆心在y轴上 半径为1 且过点 1 2 的圆的方程是 a x2 y 2 2 1b x2 y 2 2 1c x 1 2 y 3 2 1d x2 y 3 2 1解析 由题意知圆心为 0 2 则圆的方程为x2 y 2 2 1 答案 a 2 已知圆c与直线x y 0及x y 4 0都相切 圆心在直线x y 0上 则圆c的方程为 a x 1 2 y 1 2 2b x 1 2 y 1 2 2c x 1 2 y 1 2 2c x 1 2 y 1 2 2 3 若圆x2 y 1 2 1上任意一点 x y 都使不等式x y m 0恒成立 则实数m的取值范围是 4 已知a x1 y1 b x2 y2 是圆x2 y2 2上两点 o为坐标原点 且 aob 120 则x1x2 y1y2 1 当二元二次方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0满足条件 a c 0 b 0 d2 e2 4af 0时 才表示圆 条件 和 合起来是此方程表示圆的必要条件 不是充要条件 条件 合起来是此方程表示圆的充要条件 2 圆的方程中 有三个独立系数 因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆 确定系数的方法可用待定系数法 考点一求圆的方程 案例1 2009 广东 以点 2 1 为圆心且与直线x y 6相切的圆的方程是 关键提示 求出圆心到直线的距离即为圆的半径 再代入圆的标准方程即可 即时巩固1 已知圆心为c的圆经过点a 1 1 和b 2 2 且圆心c在直线l x y 1 0上 求圆心为c的圆的标准方程 考点二与圆有关的轨迹问题 案例2 自a 4 0 引圆x2 y2 4的割线abc 求弦bc的中点p的轨迹方程 关键提示 考虑到弦bc的中点p与圆心o的连线op bc 因此本题的求解 既可采用几何法 定义法 也可采用平方差法 考点三与圆有关的最值问题 案例3 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求的最大值和最小值 2 求y x的最大值和最小值 3 求x2 y2的最大值和最小值 关键提示 利用数形结合及表示的几何意义求最值 即时巩固3 已知圆c x 3 2 y 4 2 1 点a 1 0 b 1 0 点p为圆上动点 求d pa 2 pb 2的最大值 最小值及对应的p点坐标 解 若设p x0 y0 则d pa 2 pb 2 x0 1 2 y02 x0 1 2 y02 2 x02 y02 2 欲求d
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