【立体设计】高考数学 第九章 7 空间向量及其运算知识研习课件 理（通用版）.ppt

一 空间向量及其运算1 空间向量及其加减与数乘运算 1 在空间中 具有大小和方向的量叫做向量 方向相同且模相等的有向线段表示同一向量或相等向量 与a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量 2 空间向量的有关知识实质上是平面向量对应的知识的推广 如有关的概念 运算法则 运算律等等 2 共线向量与共面向量 1 如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 则这些向量叫做共线向量 或平行向量 2 平行于同一平面的向量叫做共面向量 空间中的任意两个向量总是共面的 3 共线向量定理 对空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是 r 使a b 推论 如图 如果l为经过已知点a且平行于已知非零向量a的直线 那么对任一点o 点p在直线l上的充要条件是 1 下面有四个命题 单位向量都相等 对任意非零向量a b必有 a b a b 空间的基底有且只有一个 对于空间的基底a b c而言 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p xa yb zc 其中正确命题的序号是 a b c d 解析 单位向量方向可以不同 类比三角形的边的关系知 空间只要三个不共面的向量构成一个基底 并能线性表示任何向量 答案 b 1 空间向量的知识和内容是在平面向量知识的基础上产生和推广的 因此 可以利用类比平面向量的方法解决本节的很多内容 2 零向量是一个特殊向量 在解决问题时要特别注意零向量 避免对零向量的遗漏 3 a是一个向量 若 0 则 a 0 若 0 a 0 则 a 0 4 讨论向量的共线 共面问题时 注意零向量与任意向量平行 共线与共面向量均不具有传递性 5 1 数量积运算不满足消去律 即a b b c a c 2 数量积的运算不适合乘法结合律 即 a b c不一定等于a b c 这是由于 a b c表示一个与c共线的向量 而a b c 表示一个与a共线的向量 而c与a不一定共线 3 空间向量没有除法运算 6 建立空间直角坐标系后 空间任一点p的坐标的确定方法 p点分别在x轴 y轴 z轴上的投影所对应的实数构成的有序实数组 x y z 即为p点坐标 8 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤为 建立恰当的空间直角坐标系 求出相关点的坐标 写出向量的坐标 结合公式进行论证 计算 转化为几何结论 9 建立空间直角坐标系 必须牢牢抓住 相交于同一点的两两垂直的三条直线 要在题目中找出或构造出这样的三条直线 因此 要充分利用题目中所给的垂直关系 即线线垂直 线面垂直 面面垂直 同时要注意 所建立的坐标系必须是右手空间直角坐标系 在右手空间直角坐标系下 点的坐标既可根据图中有关线段的长度 也可根据向量的坐标写出 即时巩固1 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 m为ac与bd的交点 若 a b c 则下列向量中与相等的向量是 a a b cb a b cc a b cd a b c 考点二求线段长 案例2 如图 a 在 abc中 acb 60 cd为 acb的角平分线 ac 4 bc 2 过点b作bn cd于n 延长交ac于e 将图形沿cd折起 使 bne 120 如图 b 求折后所得线段ab的长度 关键提示 注意折前与折后哪些量变化了 哪些量没有变 即时巩固2 如图所示 在60 的二面角 ab 中 ac bd 且ac ab bd ab 垂足分别为a b 已知ab ac bd a 求线段cd的长 点评 空间向量基本定理的应用之一是证明四点共面 用共线向量定理证明线线平行 从而证明面面平行更简捷 使问题简单化