【立体设计】高考数学 第7章 第3节 平面向量的数量积知识研习课件 文 （福建版）.ppt

当 90 时 a与b垂直 记作 当 0 时 a与b 当 180 时 a与b 2 已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 则把数量 叫做a和b的数量积 或内积 0 180 a b 同向 反向 a b cos 3 规定 0 a 4 1 设 是a与b的夹角 则 a cos 叫做a在b的方向上的投影 b cos 叫做b在a的方向上的投影 b在a的方向上的投影是一个实数 而不是向量 当0 90 时 它是 当90 180 时 它是 当 90 时 它是 2 a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的 0 正值 0 负值 乘积 5 设a和b都是非零向量 e是与b方向相同的单位向量 是a与e的夹角 1 e a a e a cos 2 a b a b 3 当a与b同向时 a b 当a与b反向时 a b 特别地 a a 5 a b a b 0 a b a b a 2 6 1 a b 2 a b a b r 3 a b c 7 若a x1 y1 b x2 y2 则a b 10 若a x1 y1 b x2 y2 则a b b a a b a c b c x1x2 y1y2 x2 y2 x1x2 y1y2 0 a 60 b 30 c 90 d 120 解析 注意向量的方向 画图易得夹角为120 答案 d 答案 c 3 已知a 1 3 b 4 6 c 2 3 则a b c 解析 a b c a 4 2 6 3 26a 26 1 3 26 78 答案 26 78 4 若b 1 1 a b 2 a b 2 3 则 a 解析 因为 a b 2 3 展开得 a 2 2a b b 2 3 1 因为向量的数量积是新运算 所以不能将代数运算的运算律完全照搬过来 以下三点要特别注意 1 当a 0时 a b 0不能推出b一定是零向量 这是因为任一与a垂直的非零向量b 都满足a b 0 所以在代数中我们常用的 若ab 0 则a 0或b 0 在向量的数量积中不适用 2 由a b b c不能推出a c 即等式两边都是数量积时 其公因式不能约去 这是因为原等式左右两边均是实数 是一个实数等式 而a c是一个向量等式 所以两者不等价 另外 我们学习的向量运算中没有除法 相约的实质是相除 这是不允许的 3 结合律对数量积不成立 即 a b c a b c 这是因为 a b c表示一个与向量c共线的向量 而a b c 表示一个与向量a共线的向量 但是向量a和向量c不一定共线 即使共线 其积也不一定相等 所以 a b c a b c 2 利用a b a b 0 向量式 和a b x1x2 y1y2 0 坐标式 来证明两条直线垂直 使判断直线垂直又多了一种简便的方法 要注意将x1x2 y1y2 0和判断平行的x1y2 x2y1 0区别开 不要混淆 记忆的方法是参照两条直线平行与垂直的条件 已知直线l1的方程为a1x b1y c1 0 直线l2的方程为a2x b2y c2 0 若l1 l2 则a1b2 a2b1 0 若l1 l2 则a1a2 b1b2 0 即时巩固详解为教师用书独有 考点一平面向量的数量积及运算律 案例1 设a b c是任意的非零向量 且互不共线 已知下列命题 a b c c a b 0 a b a b b c a c a b不与c垂直 3a 2b 3a 2b 9 a 2 4 b 2 其中是真命题的有 a b c d 关键提示 用三角形的性质求解 研究 b c a c a b c的值 解析 对于 只有b和c方向相同时 两者才可能相等 所以 错 考虑 式对应的几何意义 由 三角形两边之差小于第三边 知 正确 因为 b c a c a b c 0 所以垂直 即 错 对于 向量的乘法运算符合多项式乘法法则 所以 对 答案 d 答案 25 案例2 已知点a 1 2 b 3 1 c 2 3 试判断 abc的形状 并证明你的结论 关键提示 要判断 abc的形状 主要看边长是否相等 角是否为直角 可先作出草图 进行直观判断 再去证明 解 abc为等腰直角三角形 证明如下 a 钝角三角形b 锐角三角形c 直角三角形d 等腰三角形解析 由题意知a与b的夹角为180 abc 所以a b a b cos 180 abc a b cos abc 0 所以cos abc 0 所以 abc为钝角 所以 abc为钝角三角形 答案 a 考点二向量数量积的相关运算及夹角问题 案例3 2010 湖南 若非零向量a b满足 a b 2a b b 0 则a与b的夹角为 a 30 b 60 c 120 d 150 关键提示 把a b a b cos 代入 2a b b 0中得到关于cos 的方程 求解即可 解析 因为 2a b b 0 所以2a b b2 0 所以2 a b cos b2 0 又因为 a b 答案 c点评 这里由2a b b2不能推出2a b 同样由a2 b2也不能得出a b或a b 即时巩固3 已知点a 1 2 点b 3 1 点c 5 2 求cos bac的值 解 因为a 1 2 b 3 1 c 5 2 案例4 2010 浙江 已知平面向量 1 2 2 则 2 的值是 关键提示 由垂直关系得出向量数量积 代入模公式即可 解析 由 2 可得 2 0 2 2 0 又因为 1 2 即时巩固4 已知向量a 2 2 b 5 k 若 a b 不超过5 则k的取值范围是 解析 由题意知a b 3 2 k 答案 6 2 考点三向量数量积与其他知识的综合应用 1 求a b及 a b 2 若f x a b a b 求f x 的最大值和最小值 关键提示 利用数量积的坐标运算及性质