【教学设计】《正弦定理 》（北师大）

正弦定理 教材分析本节的主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于定理教学课做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。 教学目标本节课以及后面的解三角形中涉及计算器的使用与近似计算，这是一种基本运算能力，学生基本上已经掌握了。若在解题中出现了错误，则应及时纠正，若没出现问题就顺其自然，不必花费过多的时间。【知识与能力目标】通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。【过程与方法目标】让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。【情感态度价值观目标】培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之 教学重难点间的普遍联系与辩证统一。【教学重点】通过对于三角形的边角关系的探究，证明正弦定理并用它解决有关问题。 【教学难点】已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 课前准备 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 教学过程一、导入部分如图，某农场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别测到C处出现火情。在A处测到火情在北偏西40方向，而在B处观测到火情在北偏西60方向，已知B在A的正东方向10 km处现在要确定火场C距A，B多远？将此问题转化为数学问题，即“在ABC中，已知CAB130，CBA30，AB10 km，求AC与BC的长”。这就是一个解三角形的问题。为此我们需要学习一些解三角形的必要知识，今天要探究的是解三角形的第一个重要定理正弦定理，由此展开新课的探究学习。二、研探新知，建构概念在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图11-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又, 则 从而在直角三角形ABC中，思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 1直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即c=， c= ， c= =2斜三角形中 证明一：（外接圆法）如图所示，同理 =2R，2R证明二：（向量法）过A作单位向量垂直于 由+= 两边同乘以单位向量 得 (+)=则+=|cos90+|cos(90-C)=| |cos(90-A) =同理，若过C作垂直于得： = =正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 正弦定理的应用 ：从理论上正弦定理可解决两类问题： 1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。 理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，；（2）等价于，从而正弦定理可解决两类有关解三角形的问题：已知两边与任一边，求其他两边和一角；已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求出其他的边和角。解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。三、质疑答辩，发展思维 例1：某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，其一角已破损，现测得如下数据：， 。为了复原，请计算原玉佩两边的长（结果精确到）分析：将分别延长相交于一点，在中，已知的长度和角与，可以通过正弦定理求的长解：将分别延长交于一点，在中，因为，所以，答：原玉佩两边的长分别约为。点评：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角及两角所夹的边，也是先利用三角形内角和定理求出第三个角，再利用正弦定理。(2)解三角形的实际问题中，数字计算往往较烦琐，可借助计算器或其他的计算工具。变式训练1：在ABC中，(1)已知c，A45，B60，求b；(2)已知b12，A30，B120，求a.(结果保留两个有效数字)解：(1)C180(AB)180(4560)75，b=csinBsinC=3sin60sin751.6. (2)，a=bsinAsinB=12sin30sin1206.9 点评：此题为正弦定理的直接应用，意在使学生熟悉正弦定理的内容，可以让数学成绩较差的学生在黑板上解答，以增强其自信心。例2：台风中心位于某市正东方向300处，正以的速度向西北方向移动，距离台风中心范围内将会受其影响。如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间（结果精确到）？分析：台风沿着运动时，由于，所以开始台风影响不了城市，由点到台风移动路径的最小距离所以台风在运动过程中肯定要影响城市，这就要在上求影响的始点和终点，然后根据台风的速度计算台风从到持续的时间。解：设台风中心从点向西北方向沿射线移动，该市位于点的正西方向处的点，假设经过，台风中心到达点，则在中，由正弦定理得知利用计算器得角当时，所以，同理：当时，答：约后将要遭受台风影响，持续约。思考：通过这个问题的解决我们发现，如果已知两边和其中一边的对角，解三角形时会出现两解的情况，还会出现其他情况吗？为什么有两个解？你还能用其他方法解决这个问题吗？已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况：若A为锐角时：若A为直角或钝角时： 无解 一解变式训练2：根据下列已知条件，判定有没有解，若有解，判断解的个数：（1），求 （2），求（3），求 （4），求解：（1）,只能为锐角,因此仅有一解。（2）,只能为锐角,因此仅有一解。（3）,即,仅有一解。（4）由（3）改编，由图知，本题无解)例3.在中， 求证：的面积证明： 因为： 所以 自然数四、课堂小结：（1）正弦定