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文档简介

2 7一维定态问题 在继续阐述量子力学基本原理之前 先用Schrodinger方程来处理一类简单的问题 一维定态问题 其好处有四 1 有助于具体理解已学过的基本原理 2 有助于进一步阐明其他基本原理 4 一维问题还是处理各种复杂问题的基础 1一维无限深势阱 2线性谐振子 3一维势散射问题 3 处理一维问题 数学简单 从而能对结果进行细致讨论 量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来 1一维无限深势阱 一 一维运动 二 一维无限深势阱 三 宇称 四 讨论 一 一维运动 所谓一维运动就是指在某一方向上的运动 此方程是一个二阶偏微分方程 若势可写成 V x y z V1 x V2 y V3 z 形式 则S 方程可在直角坐标系中分离变量 令 x y z X x Y y Z z E Ex Ey Ez于是S 方程化为三个常微分方程 当粒子在势场V x y z 中运动时 其Schrodinger方程为 其中 二 一维无限深势阱 求解S 方程分四步 1 列出各势域的一维S 方程 2 解方程 3 使用波函数标准条件定解 4 定归一化系数 1 列出各势域的S 方程 方程可简化为 势V x 分为三个区域 用I II和III表示 其上的波函数分别为 I x II x 和 III x 则方程为 3 使用波函数标准条件 从物理考虑 粒子不能透过无穷高的势壁 根据波函数的统计解释 要求在阱壁上和阱壁外波函数为零 特别是 a a 0 1 单值 成立 2 有限 当x 有限条件要求C2 0 使用标准条件3 连续 2 波函数导数连续 在边界x a 势有无穷跳跃 波函数微商不连续 这是因为 若 I a II a 则有 0 A cos a 与上面波函数连续条件导出的结果Asin a 0矛盾 二者不能同时成立 所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续 1 波函数连续 1 2 2 1 两种情况 讨论 状态不存在 描写同一状态 所以n只取正整数 即 于是 或 于是波函数 类似I中关于n m的讨论可知 综合I II结果 最后得 对应m 2n 对应m 2n 1 能量最低的态称为基态 其上为第一激发态 第二激发态依次类推 由此可见 对于一维无限深方势阱 粒子束缚于有限空间范围 在无限远处 0 这样的状态 称为束缚态 一维有限运动能量本征值是分立能级 组成分立谱 4 由归一化条件定系数A 小结 由无穷深方势阱问题的求解可以看出 解S 方程的一般步骤如下 一 列出各势域上的S 方程 二 求解S 方程 三 利用波函数的标准条件 单值 有限 连续 定未知数和能量本征值 四 由归一化条件定出最后一个待定系数 归一化系数 三 宇称 1 空间反射 空间矢量反向的操作 2 此时如果有 称波函数具有正宇称 或偶宇称 称波函数具有负宇称 或奇宇称 四 讨论 一维无限深势阱中粒子的状态 2 n 0 E 0 0 态不存在 无意义 而n k k 1 2 可见 n取负整数与正整数描写同一状态
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