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第二十四章 圆 知识网络结构图 圆的概念：在同一平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一端点所形成的图形，叫做圆 （1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆又是中心对称图形 （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 推论：平分（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 圆的性质 （3）同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其他各组量也相等 （4）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 点在圆外 点在圆上 （1）点和圆的位置关系 点在圆内 及相关性质 不在同一直线上的三点确定一个圆 相交 相切 相离 切线的判定定理：经过半径外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线 （2）直线和圆的位置关系 切线的性质定理：圆的切线垂直于过及相关性质和定理 切点的半径圆 切线长定理：从圆外一点引圆的两条 点、直线和圆 切线，它们的切线长相等，这一点和 的位置关系 圆心的连线平分两条切线的夹角及相关性质 外离和定理 相离 内含 （3）圆与圆的位置关系 外切 相切 内切 相交 （1）正多边形的顶点都在圆上，圆叫做正多边形的外接圆，正多边形 叫做圆的内接正多边形 正多边形与圆 （2）圆和正多边形的各边都相切，圆叫做正多边形的内切圆，正多边形叫做圆的外切正多边形 （1）弧长公式： 有关圆的计算 （2）扇形面积公式： （3）圆锥的侧面积公式：一、知识性专题专题1 圆的认识及圆的对称性 【专题解读】 对于圆的基本元素、圆的对称性及根据对称性探索出的弧、弦、圆心角之间的关系、垂直于弦的直径等知识，单独考查时多以填空题、选择题形式出现，在综合题及应用题中常作为被考查的一个方面出现例1 “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图24191所示，为的直径，弦于，寸，寸，则直径的长为( )A12.5寸 B13寸 C25寸 D26寸专题2 有关圆周角计算【专题解读】 在有关圆周角的题目中，单独考查时多以选择题、填空题形式出现，在解答时，应从圆周角与其所对的弧、圆心角、弦等方面考虑例2 如图24192所示，内接于，点是延长线上一点，若，则等于 ( )A B C D例3 如图24193所示，的内接四边形中，则图中和相等的角有 .专题3与圆有关的位置关系【专题解读】 在各地中考试题中，单独考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的题目一般以选择题、填空题形式出现，在解答题、探究题中作为主要查目标也常出现，这部分分内容不仅考查基础知识的形式出现，而且还以考查综合运用能力的形式出现.例4 已知圆的直径为13 cm，圆心到直线的距离为6 cm，那么直线和这个圆的公共点有 个.例5 两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是 例6 在平面直角坐标系中，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线有 ( )A1条 且2条 C3条 D4条例7 如图24195所示，在边长为3 cm的正方形中，与相外切，且分别与边相切，分别与边相切，则圆心距= cm专题4 切线的识别与特征及切线长【专题解读】 涉及圆的切线的问题在各地中考中以各种题型出现，主要考查切线的识别、切线的特征及切线的应用，所以应认真理解有关切线的内容，并能应用到实际问题中去例8如图24-196所示，切于点，则度.例9 如图24-197所示，是的两条切线，是切点，是上两点，如果那么的度数是 .专题5 有关圆的计算【专题解读】 圆中的计算问题有圆的面积与周长、弧长、扇形面积、圆柱及圆锥的侧面积与全面积，考查时选择题、填空题、解答题都有，考查的重点是对有关公式的灵活运用. 例10 沈阳某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案我的宝贝，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作半圆，如图24-198所示，则图中阴影部分的面积为 （ ） A.36cm2 B.72cm2 C.36cm2 D.72cm2例7 如图24-199所示，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图中所示的一个圆锥模型，设圆的半径为，扇形半径为，则圆的半径与扇形半径之间的关系为（ ）A. B. C. D. 专题6 综合与其他知识解决问题【专题解读】 有关圆与其他知识综合题多以解答题和探究题的形式出现.例12 如图24-200所示，是的直径，过圆上一点作的切线，与过点的直线垂直相交于，弦的延长线与直线交于点.（1）试说明点为的中点；（2）设直线与的另一交点为，试说明（3）若的半径为，求线段和所围成阴影部分的面积. 例13 如图24-201所示，已知为的直径，为弦，cm.（1）说明 （2）求的长.例14 如图24-202所示的是某学校田径体育场一部分的示意图，第一跑道每圈为400米，跑道分直道和弯道，直道为相等的平行线段，弯道为同心的半圆形，弯道与直道相连接，已知直道的长为86.96米，跑道的宽为1米.（取3.14，精确到0.01米）（1）求第一跑道的弯道部分的半径；（2）求一圈中第二跑道与第一跑道相差多少米；（3）若进行200米比赛，求第六跑道起点与圆心的连线与的夹角的度数.二、规律方法专题 专题7 在解决圆的证明题或计算题的过程中辅助线的引入方法与规律 【专题解读】 对圆的有关计算内容在计算或证明时，经常需要添加辅助线，常见的有：有切点连半径；有关弦的计算，常作表示弦心距的线段，利用垂径定理；有直径，作直径所对的圆周角等；两圆相切时连圆心；圆中有45的圆周角时，转化为同一弧所对的90的圆心角等. 例11 如图24-103所示，是直径为的半圆上一点，为的中点，过作的垂线，垂足为，求证是半径圆的切线. 三、思想方法专题专题8 分类讨论思想【专题解读】 分类讨论思想主要是针对数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同种类，从而克服思维的片面性，防止漏解，要做到成功分类必须注意两点：一是要有分类意识，善于从问题的情境中抓住分类的对象；二是找出科学合理的分类标准，应当满足互斥、无漏、最简单的原则，本章对于圆的有关概念、圆周角的有关求值及圆与圆位置关系的讨论等问题均应用了这一思想.例16 为不在圆上的任意一点，若到的最小距离为3，最大距离为9，则的直径长为 （ ）A.6 B.12 C.6或12 D.3或6例17 为的弦，为的内接三角形，求的度数.例18 如图24-205所示，在中，以为圆心，长为半径的圆交于，求弧的度数.专题10 数学建模思想 【专题解读】 圆在实际生活中有很多的应用，解决问题的方法是将实际问题转化为与圆有关的数学问题，建立数学模型，从而达到解题的目的例19 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图24206(1)所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90，尺寸如图24206(1)所示(单位：cm)将形状规则的铁球放人槽内时，若同时具有图(1)所示的三个接触点，该球的大小就符合要求如图24206(2)所示的是过球心及三点的截面示意图已知的直径就是铁球的直径，是的弦，切于点，请你结合图中的数据，计算这种铁球的直径三、解答题（第21-26，小题各8分，第27小题12分，共60分）21.如图24-218所示，内切于，切点分别为 （1）若求的度数； （2）若求的长.22.如图24-219所