大学高等数学ppt课件第一章2极限.ppt

极限 第二节 学习重点 利用两个重要极限计算极限 无穷小的概念及其比较 理解极限的概念 掌握极限的运算法则 极限思想 一尺之棰 日取其半 万世不竭 剩余长度依次为 1 不为零 但无限接近零 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 我国战国时期 公元前4世纪 名家公孙龙等人提出命题 在中国古代的萌芽和应用 刘徽割圆术 割之弥细 所失弥少 割之又割 以致于不可割 则与圆周合体而无所失矣 数列的概念 数列就是指按自然数编了号的一列数 记为 an 其中an称为该数列的通项 2 4 8 2n 几个数列的例子 数列的极限 随着项数n的增大 an越来越接近A 不够确切 n充分大时 an的值可以无限逼近A 定性描述 精确定义 下面逐步给出极限的定义 设有数列 an 和常数A 如果对任意给定的正数 总存在一个正整数N 使得对于n N时的一切an 总有 成立 则称常数A是数列 an 的极限 或称数列 an 收敛于A 或 如果数列没有极限 就称数列是发散的 记作 数列极限举例 求下列极限 类似于数列极限 如果在自变量的某个变化过程中 对应的函数值可以无限接近于某个确定的常数 那么这个确定的常数就叫做函数在该变化过程中的极限 对于数列极限 故 很自然地 函数的极限 相似地 相似地 可定义单侧情形 自变量趋于无穷大时函数的极限 即 观察y arctanx的图像 从图像容易看出结果 所以 考虑函数f x ax 分a 1 0 a 1两种情形下 分别求x x x 时f x 的极限 思考 由题设知 分子必须是x的零次多项式 解答 邻域 neighborhood 的概念 自变量趋于有限值时函数的极限 自变量趋于有限值时函数的极限 即 注意事项 1 定义中x a的过程中 x a成立 函数极限的几何解释 3 极限值与函数值无关 2 左极限left handlimit 右极限right handlimit x仅从a的左侧趋于a 记作 或 x仅从a的右侧趋于a 记作 或 左极限与右极限 考虑符号函数 现在考虑x从左右两个方向趋于0时f x 的极限 右极限 左极限 从右边趋于0 从左边趋于0 左右极限不相等 例题 函数极限的性质 局部保号性 局部有界性 设 计算初等函数在定义区间内某一点的极限 都可转化为该点函数值的计算 初等函数的极限性质 如果函数f x 在某个极限过程中的极限为零 那么就称f x 是此极限过程的无穷小 量 无穷小举例 无穷小是以零为极限的变量 函数 不是绝对值很小的固定数 都是无穷小量 是无穷小量 是无穷小量 与 与 无穷小 无穷小与自变量的变化过程有关 如时是无穷小 但时 则不是无穷小 推论 1 有限个无穷小之和仍是无穷小 2 常数与无穷小的乘积是无穷小 3 有限个无穷小的乘积仍是无穷小 例如 因为 所以 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小 即 同理 即 其中 极限与无穷小的关系 两个无穷小的和或差 仍是无穷小 无穷小的性质 如果函数f x 在某个极限过程中 对应的函数值的绝对值可以无限增大 那么就称f x 是此极限过程的无穷大 量 只有一种趋势 包括两种趋势 如 无穷大 观察函数y 1 x的图像 再考察函数y lnx 注意 无穷大不是很大的数 而是表示函数的绝对值可以无限增大 反映函数值的一种变化趋势 无穷小和无穷大的关系 在同一极限过程中 无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化 无穷小和无穷大的运算法则 以下A表示有极限的函数 K表示有界函数 C代表常数 结果不定 称为未定式 极限的四则运算法则 复合函数的极限运算法则 幂指函数的极限运算法则 因式分解消除零因子 有理化消除零因子 消除零因子 夹逼准则 单调有界原理 极限存在准则 两个重要极限 单调有界数列必有极限 对于其它趋势的极限 以及数列有类似的夹逼准则 利用这两个准则可以分别证明这两个公式 由x 0得3x 0即u 0 重要极限 的应用举例 重要极限 练一练 例 重要极限 的应用举例 公式特点 练一练 定义 无穷小的比较 例 比较下列两个无穷小 低阶 高阶 同阶 练一练 无穷小的阶揭示了无穷小趋向于零的速度快慢程度 高阶的较快 低阶的