太原理工《大学物理》李孟春-§11-1简谐振动.ppt

第十二章机械振动 机械振动 位移x随时间t的往复变化 电磁振动 电场 磁场等电磁量随t的往复变化 微观振动 如晶格点阵上原子的振动 振动是与人类生活和科学技术密切相关的一种基本运动形式 广义地说 任何一物理量在某个定值附近周期性变化的现象称振动 振动形式是多种多样的 如 无阻尼自由非谐振动 振动的分类 12 1简谐振动 简谐振动是最简单 最基本的振动 振动的理论建立在简谐振动的基础上 一 简谐振动方程 将弹簧振子水平放置 取物体的平衡位置为坐标原点 物体的运动轨迹为x轴 3 受力分析 弹性力 1 平衡位置 2 建立坐标 解微分方程可得 简谐振动动力学方程 简谐振动运动学方程 4 牛顿运动方程 二 简谐振动的三个特征量 1 振幅物体离开平衡位置的最大位移的绝对值A 由初始条件决定 描述振动的空间范围 2 周期振动状态重复一次所需要的时间 描述振动的快慢 物体在单位时间内发生完全振动的次数 称振动的频率 反映了系统的固有特性 分别称为谐振子系统的固有圆频率 固有周期和固有频率 称圆频率 角频率 3 相位当A和 已知时 可以决定t时刻物体的位移 速度和加速度 即确定物体的振动状态 称t时刻物体的振动相位 比较a b两点 位移相同 速度不同 相位不同 比较a c两点 位移相同 速度相同 相位不同 结论 用相位描述物体振动 能反映出时间上的周期性 而 x v 则不能 反映t 0时刻的振动状态 称初相位 三 相位差 1 对于同一简谐运动 对于简谐运动 t1时刻相位 t2时刻相位 相位差 相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间 2 对不同一简谐运动 设两个同频率的简谐振动 相位差 1 同相位和反相位 两振动步调完全一致 称两个振动同相位 第二个简谐振动比第一个超前 第二个简谐振动比第一个落后 两振动步调完全相反 称两个振动反相位 2 超前和落后 两个振动在相位上相差时 相对应的时间上相差为 四 简谐振动的表示方法 1 解析法 物体作简谐振动时的速度 物体作简谐振动时的加速度 2 振幅关系 相位关系 v比x超前 2 a比v超前 2 均是作谐振动的物理量 有 1 频率关系 频率相同 均为 2 曲线法 用振动曲线描述简谐振动 3 旋转矢量法 匀速圆周运动在任意直径方向的分运动为简谐振动 采用几何的方法描述简谐振动 1 矢量端点在x轴上的投影为简谐振动 圆周运动与简谐振动的关系 2 t 0时刻 矢量与x轴的夹角 0为初相位 3 在任意t时刻 矢量与x轴的夹角 t 0为t时刻的相位 1 相位显示直观 旋转矢量用图代替了文字的叙述 旋转矢量法表示的优点 由图看出 速度超前位移 加速度超前速度 2 比较相位方便 3 计算时间简便 用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算 例1质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧组成的弹簧谐振子 t 0时 质点过平衡位置且向正方向运动 求物体运动到负二分之一振幅处所用的最短时间 解 设t时刻到达末态 由已知条件画出t 0时刻和t时刻的旋转矢量图 用时最短 两个状态的相位差 例2利用旋转矢量法确定质点在不同运动状态时的相位 由旋转矢量图可以得出 旋转矢量与x轴的夹角为零 故得 2 质点经二分之一振幅处向负方向运动 1 t时刻质点在正最大位移处 3 当质点过平衡位置向负方向运动 同样 质点向负方向运动 注意到 4 质点向正方向运动 678 2 振动方程 3 微分方程 简谐振动的三个判据 1 受力特征 k 劲度系数 f 恢复力 以上1 2 3 中任一条成立即可判定为简谐振动 简谐振动的三种表示方法 旋转矢量法 解析法 曲线法 x t曲线 旋转矢量 角速度 圆频率 长度 振幅A 初始角 初相 0 旋转矢量图与简谐运动的x t图的对应关系 简谐振动的三个特征量 圆频率 由系统决定 与初始条件无关 振幅反映振动的强弱 由初始条件决定 可得 例3一轻弹簧的右端连着一物体 弹簧的劲度系数k 0 72N m 物体的质量m 20g 求 1 把物体从平衡位置向右拉到x 0 05m处停下后再释放 求简谐运动方程 解 1 先求三个特征量 圆频率 振幅A 初相位 0 2 求物体从初位置运动到第一次经过A 2处时的速率 解 2 x A 2时 速度方向为x轴负方向 由旋转矢量图知 相位 由旋转矢量图知 0 0 所以运动方程为 例5两个同频率简谐振动曲线如图所示 比较它们的位相差关系 选正最大位移 x2比x1较早达到正最大位移 x2比x1时间超前T 4 相位超前 2 解 选定某一运动状态 谁先到达谁超前 例6某简谐振动的振动曲线如图 写出振动方程 则由振动曲线 A 2cm t 0时刻 又v0 0 故 t 1s时 于是 的旋矢图 五 简谐振动的能量 以弹簧原长为势能零点 考虑一水平弹簧振子 振动能量和时间的关系 设初相位为零 动能和势能的变化频率是位移振动频率的2倍 1 2 时间平均值 3 由简谐振动能量求振幅 具有普遍适用性 讨论 简谐振动的各特征量的性质振幅A由系统的振动能量决定 角频率 由系统的内在性质决定 初相 0由时间零点的选取决定 例9弹簧振子总能量为E1 若其振幅增为原来的两倍 重物质量增