内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《计数原理》课件.ppt

第九模块计数原理 考纲要求1 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2 能用两个计数原理分析 解决一些简单的实际问题 3 理解排列的概念 掌握排列数公式 能用排列知识解决有关的实际问题 4 理解组合的意义 掌握组合数公式和组合数的性质 能解决一些简单的实际问题 5 能区别排列与组合的异同 能综合应用排列 组合知识解决一些简单的实际问题 6 能用计数原理证明二项式定理 掌握二项式定理及其性质 7 能用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 特别是求二项展开式中特定项及其系数 命题走向1 两个计数原理和排列 组合与概率联系十分密切 它是求古典型概率 离散型随机变量分布列的基础 是高考的重点内容 统计2009年全国及各省市命题 总有一小题是对排列 组合应用的考查 对于概率的解答题中 用排列 组合知识作答的占多数 2 二项式定理也是必考内容之一 以小题的形式出现 属于容易题或中档题 主要考查求二项展开式的特定项或二项式系数的性质 第五十五讲计数原理 走进高考第一关考点关回归教材 1 分类加法计数原理完成一件事 可以有n类办法 在第一类办法中有m1种方法 在第二类办法中有m2种方法 在第n类办法中有mn种方法 那么 完成这件事共有n m1 m2 mn种方法 也称加法原理 2 分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤 缺一不可 做第一步有m1种方法 做第二步有m2种方法 做第n步有mn种方法 那么 完成这一件事共有n m1 m2 mn种方法 也称乘法原理 考点训练1 2009 全国 甲组有5名男同学 3名女同学 乙组有6名男同学 2名女同学 若从甲 乙两组中各选出2名同学 则选出的4个中恰有1名女同学的不同选法共有 a 150种b 180种c 300种d 345种 答案 d 2 2009 北京卷 用0到9这10个数字 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 a 324b 328c 360d 648 答案 b 解析 个位数字是0时 有9 8个 个位数字是2 4 6 8中的一个时 有 8 8个 适合题意的三位偶数有9 8 4 8 8 328个 3 2008 全国 如图 一环形花坛分成a b c d四块 现有4种不同的花供选种 要求在每块里种1种花 且相邻的2块种不同的花 则不同的种法总数为 a 96b 84c 60d 48 解析 a花坛可种4种 则b可种3种 当c与a种相同的花时 c有1种 d有3种 当c与a种不同的花时 c有2种 d有2种 综上可知 共有4 3 1 3 2 2 84 种 答案 b 4 2008 安徽卷 12名同学合影 站成了前排4人后排8人 现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排 若其他人的相对顺序不变 则不同调整方法的总数是 答案 c 5 2009 天津预测 某书店有11种杂志 2元1本的8种 1元1本的3种 小张用10元钱买杂志 每种至多买一本10元钱刚好用完 则不同买法的种数是 用数字作答 266 解读高考第二关热点关题型一分类计数原理 例1三边长均为整数 且最大边长为11的三角形有多少个 分析 在三角形中 两短边长的和大于最长的边 本题可按一边长的取值分类求解 解 三角形另两边的长分别用x y表示 且不防设1 x y 11 要构成三角形 必须x y 12 当y取值11时 x 1 2 11 可有11个三角形 当y取值10时 x 2 3 10 可有9个三角形 当y取值6时 x也只能取6 这时只有一个三角形 所以 由分类计数原理 共有三角形的个数为11 9 7 5 3 1 36 点评 应用分类计数原理时 首先要依据题的特点 确定恰当的分类标准 分类应满足 完成一件事的任何一种方法 必须属于某一类且仅属于这一类 即各类办法相互独立的 是互斥的 变式1 已知集合a x x n 且x 10 a b a 方程 表示焦点在x轴上的椭圆 则这样的椭圆的共有 解析 由题意知 a b只能取1 2 10 且a b 因此可按a取10 9 3 2分为9类 共有适合题意的椭圆9 8 2 1 45 个 答案 45个 题型二分步计数原理例2 1 将4封信投入3个邮箱 有多少种投法 2 5名运动员争夺4项冠军 有多少不同的结果 解 1 由于每封信都有3种不同的投法 4封信全部投入信箱中 共有3 3 3 3 81 种 不同的投法 2 每项冠军都有5种不同的结果 因此5名运动员争夺4项冠军共有5 5 5 5 625种不同的结果 点评 1 应用分步计数原理时 首先确定分步的标准 分布必须满足 完成一件事必须而且只需连续完成这几步 即各个步骤是相互依存的 只有各步骤都完成了 这件事才算完成 2 本例中最容易错解得到43和54 其原因没弄清 谁选择谁 的问题 如第 1 小题中 先投第一封信有3种投法 再投第二封信也有3种投法 投第三封 第四封仍有3种投法 应分四步完成 由分步计数原理共有34种投法 变式2 5名高中毕业生推荐报考3所重点院校 每人限报且只报一所院校 则不同的报考方法有 a 10种b 60种c 125种d 243种 解析 每一位高中毕业生都有3种选择 因此共有3 3 3 3 3 243种 答案 d 题型三分类计数原理与分步计数原理的综合应用 例3设集合u 1 2 3 4 5 选择u的两个非空子集a和b 要使b中最小的数大于a中最大的数 则不同的选择方法共有多少种 第四类有1种选法 分两组有4种分法 综上知 不同的选择方法共有10 1 10 2 5 3 1 4 49 种 点评 对于较复杂的问题 需两个计数原理合用 一般情况下是先分类再分步 如本例 变式3 在一块并排10垄的田地中 选择2垄分别种植a b两种作物 每种作物种植一垄 为有利于作物生长 要求a b两种作物的间隔不小于6垄 则不同的选择方法共有多少种 解 按选垄方法分为3类 第一类 a b间隔6垄 可选1和8 2和9 3和10垄 每种选法有2种种植方法 因此有3 2 6种方法 第二类 a b间隔为7垄 可选1和9或2和10垄 因此共有2 2 4种方法 第三类 a b间隔为8垄 只有1和10垄 因此只有1 2 2种方法 综上知 共有6 4 2 12种选择方法 笑对高考第三关技巧关 穷举法解决排列 组合问题当所涉及问题结果的数目不大时 往往可以采用穷举法来解决 其本质仍是两个计数原理的应用 典例某电脑用户计划使用不超过500元的资金 购买单价分别为60元 70元的单片软件和盒装磁盘 根据需要软件至少买3张 磁盘至少买两盒 则不同的选购方式有多少种 解 可分如下几种情况进行列举 1 买3张软件 余额500 60 3 320 元 320可以再买盒装磁盘2盒 3盒 4盒 有3种不同的选购方式 2 买4张软件 余额500 4 60 260 元 260元可以购买2盒 3盒磁盘 有2种不同的选购方式 3 买5张软件 金额500 60 5 200 元 200元只能购买2盒磁盘 有1种购买方式 4 买6张软件 余额500 60 6 140 元 这140元还可以购买2盒磁盘 有1种购买方式 综上可知 共有3 2 1 1 7种不同的购买方式 考向精测1 某赛季足球比赛的计分规则是 胜一场 得3分 平一场 得1分 负一场 得0分 一球队打完15场 积分33分 若不考虑顺序 该队胜 负 平的情况有 a 3种b 4种c 5种d 6种 解析 分类穷举法 胜11场负4场 胜10场 平3场 负2场 胜9场 平6场 共3种情况 答案 a 2 同时抛掷两颗骰子 向上的两个数字之和不小于10的情况有 种 解析 列举法 甲 乙两个骰子的点数记为 4 6 5 5 5 6 6 6 6 5 6 4 共6种 6 课时作业 五十五 计数原理 一 选择题1 正12边形的对角线的条数是 a 66b 54c 108d 132 答案 b 2 某电话局的电话号码为168 若后面的五位数字是由3或8组成的 则这样的电话号码一共有 a 20个b 25个c 32个d 60个 解析 每位数字可由3或8组成的 可分五步完成 每一步都有两种方法 因此共有25 32 个 答案 c 3 2007 全国高度 5位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中的一个小组 则不同的报名方法共有 a 10种b 20种c 25种d 32种 答案 d 4 2007 山东高考 已知集合a 5 b 1 2 c 1 3 4 从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标 则确定不同点的个数为 a 33b 34c 35d 36 答案 a 5 某同学逛书店发现了三本喜爱的书 决定至少买其中的一本 则购买方法有 a 3种b 6种c 7种d 9种 答案 c 解析 买其中一本有3种方法 买其中两本有3种方法 买三本有1种方法 因此共有3 3 1 7 种 二 填空题6 某同学把英语单词 book 的顺序写错了 则可能出现的错误有 种 解析 4个字母的全排列有4 24 其中有两个相同的字母o 交换不变 因此共有写法24 12 种 其中只有一种是正确的 故错误的有11种 11 7 在书柜的一层上有6本书 现要插入3本书 且保持原有6本书的相对顺序不变 那么共有 种不同的排列方法 用数字作答 解析 依次插入第一本 第二本 第三本 共有7 8 9 504 种 504 8 现要排一份5天的值班表 每天有一个人值班 共有5个人 每个人可以值多天或不值班 但相邻两天不能同一个人值班 问此值班表有 种不同的排法 解析 先安排第一天 有5种排法 以后每天均有4种排法 由分步乘法原理得 5 4 4 4 4 1280 种 1280 9 甲 乙两个正整数的最大公约数是60 则甲 乙两数的公约数共有 个 解析 60 22 3 5 甲 乙两数的公约数形如 2m 3n 5p 其中m 0 1 2 n 0 1 p 0 1 所以公约数共有3 2 2 12 个 12 三 解答题10 在两位自然数中 十位数字大于个位数字的有多少个 解 当十位上的数字分别为1 2 3 4 5 6 7 8 9时 相应的两位数有1个 2个 3个 4个 5个 6个 7个 8 由分类加法计数原理知 符合题意的两位数共有 1 2 3 4 5 6 7 8 36个 11 用五种不同的颜色给图中四个区域涂色 每个区域涂一种颜色 1 共有多少种不同的涂色方法 2 若要求相邻 有公共边 的区域不同色 那么有多少种不同的涂色方法 解 1 由于1 2 3 4号区域各有5种涂色方法 依分步计数原理知 共有5 5 5 5 625种涂法 2 第一类 1号与4号区域同色时 有5 4 4 1 80种涂法 第二类 1号与4号区域不同色时 有5 4 3 3 180种涂法 因此共有80 180 260种不同的涂法 12 用0 1 2 3 4 5这六个数字 1 可以组成多少个三位数 2 可以组成多少个数字不允许重复的三位数 3 可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数 4 可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数 解 1 分三步 先确定百位数字 由于0不能作百位数字 因此有5种选法 十位数字有6种选