内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《等比数列》课件.ppt

第三十五讲等比数列 走进高考第一关考点关 回归教材 1 等比数列的概念如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比值等于同一个常数 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 在等比数列的定义中一定要注意 从第二项起 和 同一常数 这两个条件 等比数列的通项公式an a1qn 1 am qn m是关于n的指数函数的形式 2 等比数列的性质 1 在等比数列 an 中 距首末两端等距离的两项的积相等 即a1an a2an 1 a3an 2 2 在等比数列 an 中 有an amqn m m n n 3 在等比数列 an 中 若m n p q m n p q n 则anam apaq 4 在等比数列 an 中 从第2项起 每一项 有穷等比数列的末项除外 是它的前一项与后一项的等比中项 即a2n an 1an 1 n 2 n n 5 如果数列 an 是等比数列 那么其中序号成等差数列的项仍成等比数列 6 如果 an 是等比数列 c是不等于0的常数 那么 c an 仍为等比数列 7 若 an bn 均为等比数列 且公比分别为q1 q2 则 anbn 仍为等比数列 且公比为q1q2 仍为等比数列 且公比为 考点训练 1 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则公比q a b 2c 2d 解析 a5 a2q3 得q3 q 答案 d 2 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则a1a2 a2a3 anan 1 a 1 4 n b 1 2 n c 1 4 n d 1 2 n 答案 c 答案 b 4 2009 广东 已知等比数列 an 的公比为正数 且a3a9 2 a2 1 则a1 a b c d 2 答案 b 5 2009 山东模拟 在各项都是正数的等比数列 an 中 a2 a3 a1成等差数列 则 解析 由a2 a3 a1成等差数列 得a3 a1 a2 q2 1 q 即 q2 q 1 0 得 q 又an 0 q 答案 解读高考第二关热点关 题型一等比数列的通项公式及前n项和公式例1设等比数列 an 的公比为q q 0 它的前n项和为40 前2n项和为3280 且前n项中数值最大的项为27 求数列的第2n项 解 解法一 q 1时 na1 40 2na1 3280这是不可能的 故q 1 由题意得 得1 qn 82 qn 81 将 代入 得q 1 2a1 q 0知q 1 a1 0 an为最大项 an a1qn 1 27 将 代入 得q 3a1 代入 中得代入 得n 4 a2n a8 1 37 2187 解法二 由题解法一得qn 81 又q 0 知q 1 又sn 40 s2n 3280 知a1 0 且an为最大项 an 27 又a2n an5qn 27 81 2187 解法三 设 an 的公比为q 由题意得sn 40 s2n 3280 又q 0 a1 0 an 27又s2n sn an sn 40 qn 3280 40 3240 qn 81 a2n an qn 2187 点评 与等差数列一样 等比数列中共有五个量 只要已知其中的三个便可求出另外两个量 即所谓的 知三求二 另外等比数列的通项公式 除用an a1qn 1外 可以用an am qn m或an sn sn 1 n 2 来求 另外 涉及等比数列的前n项和时 应首先对公比q进行研究 看q是否可以为1 否则就要分情况讨论 变式1 设等比数列 an 的公比q 1 前n项和为sn 已知a3 2 s4 5s2 求 an 的通项公式 解 由题设知a1 0 q 1 sn 则由 得1 q4 5 1 q2 1 q2 q2 4 0得q 1或q 2 又q 1 q 2或q 1当q 1时 a1 2 an a1 qn 1 2 1 n 1当q 2时 a1 12 an a1qn 1 12 2 n 1 题型二证明 判断 一个数列是等比数列例2 2009 陕西 已知数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 n n 1 令bn an 1 an 证明 bn 是等比数列 2 求 an 的通项公式 点评 证明 判断 一个数列为等比数列常用的方法有 1 定义法 q 常数 2 通项公式法an a1 qn 1 am qn m 3 前n项和公式法 特别地 当q 1时 sn的表达式的特点是qn的系数与常数项互为相反数 4 等比中项法 a2n an 1 an 1 n 2 变式2 已知等比数列 an 的前n项和sn t 5n 2 则实数t的值为 a 4b 5c 45d 15 答案 b 题型三等比数列的性质例3 1 如果 1 a b c 9成等比数列 那么 a b 3 ac 9b b 3 ac 9c b 3 ac 9d b 3 ac 9 2 在等比数列 an 中 a1 a2 a3 10 a4 a5 a6 则a18 a19 a20 3 在等比数列 an 中 公比q 2 前99项的和s99 56 则a3 a6 a9 a99 解析 1 由 1 a b c 9成等比数列 设a1 1 a2 a a3 b a4 c a5 9 由等比数列的性质可知a3 b 3 ac a2a4 a1a5 1 9 9 故答案b 2 根据等比数列的性质a1 a1 a2 a3 a2 a2 a3 a4 a3 a3 a4 a5 a4 a4 a5 a6 成等比数列 由a4 a1q3 得q3 18 q 12 又a18 a18 a19 a20 a1q9 10 3 3 解法一 设等比数列 an 的首项为a1 由题意知s99 56 即a1 299 1 56又a3 a6 a99 a99 a1 299 1 56 32 解法二 设b1 a1 a4 a7 a97 b2 a2 a5 a8 a98 b3 a3 a6 a9 a99 显然 b1 b2 b3成等比数列 设公比为q 由题可知q 2 由b1 b1q b1q2 56 即b1 1 2 4 56 b1 8 故b3 a3 a6 a9 a99 8 22 32 答案 1 b 2 3 32 点评 巧用性质 减少运算量 在等差 等比数列的计算中非常重要 这就要求我们熟记等比数列的性质 同时注意与等差数列的性质相类比 以防止记混 记错 变式3 2010 唐山模拟 设 an 为公比q 1的等比数列 若a2008和a2009是方程4x2 8x 3 0的两根 则a2009 a2010 解析 方程4x2 8x 3 0有两根 x1 x2 由题意得a2008 a2009 q 3 a2009 a2010 a2008 a2009 q 6 答案 6 题型四等差 等比的综合运用例4已知数列 an 为等差数列 公差d 0 an 中的部分项组成的数列 ak1 ak2 ak3 akn 恰为等比数列 其中k1 1 k2 5 k3 17 求k1 k2 k3 kn 变式4 有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 且第一个数与第四个数和是16 第二个数与第三个数的和为12 求这四个数 点评 几个数成等差或等比数列 设其成对称形式 解题时有利于消元 从而减化运算 笑对高考第三关技巧关 等比数列是重要的也是基本的数列模型之一 因而也是2010年高考考查的重点对象 主要考察等比数列的性质 利用方程思想求a1 q sn n an等一些基本元素 一般有客观题 小而巧 主观题 大而全 的特点 因此我们在复习时 一定要重视基本概念 公式 性质 同时有关的数学思想方法 如分类讨论 等价转化 函数与方程 整体化思想等 典例已知正项等比数列 an 的前n项和为sn 若bn 且 bn 的前n项和为tn 且对于一切正整数n都有sn tn 求数列 an 的公比q的取值范围 点评 在等比数列的运算中当涉及等比数列的前n项和公式时不要忽略了对公比q的讨论 另外本题的解法二利用bn 从而tn sn 简化了运算 这在解题中应引起足够的重视 考向精测 1 2009 北京西城抽样测试 已知数列 an 的各项均为正数 其前n项和为sn 若 log2an 是公差为 1的等差数列 且s6 那么a1的值是 解析 log2an 是一个公差为 1的等差数列 log2an log2a1 n 1 1 1 log2a1 n an a1 21 n an 为等比数列 公比为 答案 a 2 已知等比数列 an 的首项a1 0 公比q 0 设数列 bn 满足bn an 1 an 2 n n 记数列 an 与 bn 的前n项和分别为an与bn 总有an bn 则公比q的取值范围是 解析 bn b1 b2 bn q q2 a1 a2 an q q2 an由a1 0 q 0 知an 0由an bn 得q2 q 1得 答案 0 q 课时作业 三十五 等比数列第一课时 一 选择题1 等比数列 an 中 a4 4 则a2 a6等于 a 4b 8c 16d 32 解析 a2a6 16 答案 c 2 2010 河南开封模拟 已知 9 a1 a2 1 四个实数成等差数列 9 b1 b2 b3 1 五个实数成等比数列 则b2 a2 a1 的值等 a 8b 8c 8d 答案 a 3 已知等比数列 an 满足a1 a2 3 a2 a3 6 则a7 a 64b 81c 128d 243 解析 由a1 a2 3 a2 a3 6 又a2 a3 q a1 a2 q 2 又a1 a2 a1 a1q 3 得a1 1 a7 a1q6 26 81 答案 b 4 等比数列 an 中 a2 9 a5 243 则 an 的前4项的和为 a 81b 120c 168d 192 答案 b 5 2010 山东模拟 公差不为0的等差数列 an 中 2a3 2a11 0 数列 bn 为等比数列 且b7 a7 则b6b8 a 16b 8c 4d 16或0 解析 由2a3 2a11 2a7 0 得a7 0或a7 2 又 bn 为等比数列 且b7 a7 a7 0舍去 故b7 2 b6b8 4 答案 c 6 2009 宁夏 海南 等比数列 an 的前n项和为sn 且4a1 2a2 a3成等差数列 若a1 1 则s4 a 7b 8c 15d 16 解析 由4a1 2a2 a3成等差数列 得4a2 4a1 a3即 4q 4 q2 得q 2 s4 15 答案 c 7 2010 高考仿真大考卷 若向量an cos2n sinn bn 1 2sinn n n 则数列 an bn 2n 是 a 等差数列b 既是等差又是等比数列c 等比数列d 既非等差又非等比数列 解析 an bn cos2n 2sin2n 1 an bn 2n 2n 1为等差数列 答案 a 二 填空题 8 设等比数列 an 的公比为q 前n项和为sn 若s3 s9 s6成等差数列 则q3 答案 9 2009 全国 设等比数列 an 的前n项和为sn 若a1 1 s6 4s3 则a4 解析 由题可知q 1 由s6 4s3知 4 得q3 3 又a4 a1q3 3 答案 3 10 已知等比数列 an 中 a2 1 则其前3项和s3的取值范围是 三 解答题 11 2009 辽宁 等比数列 an 的前n项和为sn 已知s1 s3 s2成等差数列 1 求 an 的公比q 2 若a1 a3 3 求sn 12 2010 河北唐山摸底 已知数列 an 中 a1 1 an 1 n 1 2 3 1 证明 数列 为等比数列 2 求数列 an 的前n项和 2 由 1 得ann 2n 1 an n 2n 1 sn 1 1 2 2 3 22 n 2n 1 2sn 1 2 2 22 3 23 n 1 2n 1 n 2n 得 sn 1 2 22 23 2n 1 n 2n 2n 1 n 2n sn n 1 2n 1 第二课时 一 选择题 1 在等比数列 an 中 若an 0 且a3a7 64 则a5的值为 a 2b 4c 6d 8 答案 d 答案 d 答案 d 4 在等比数列 an 中 a1 a2 1 a3 a4 9 那么a4 a5 a 27b 27或 27c 81d 81或 81 解析 q2 9 q 3 又a4 a5 a1 a2 q3 27 答案 b 5 2009 安徽皖北 等比数列 an 的各项均为正数 且3是a5和a6的等比中项 则a1a2 a10 a 39b 310c 311d 312 解析 由题意得a5a6 9 又a1a10 a2a9 a5a6 a1a2 a10 95 310 答案 b 6 一个项数为偶数的等比数列 它的偶数项和是奇数项和的2倍 它的首项为1 且中间两项的和为24 则等比数列的项数为 a 6b 8c 10d 12 解析 设等比数列a1 a2 a3 a2m 由题意可得 q 2 又am am 1 2m 1 2m 243 2m 1 24 2m 1 8 m 4 故有8项 答案 b 解析 设等差数列的公差为d 由a1 a3 a9成等比数列 知 a1 2d 2 a1 a1 8d 得a1 d a1 a3 a9 13d a2 a4 a10 16d 答案 d 二 填空题 8 已知等比数列x2 2x x x 1 则x的值是 解析 x2 2x x x 1是等比数列的前三项 故 x 2 x2 2x x 1 得x 0或x 1或x 2 又x 0时 x2 2x 0 x 0 故舍去 答案 1或2 9 若干个能唯一确定一个数列的量为该数列的 基本量 设 an 是公比为q的无穷等比数列 下列 an 的四组量中 一定能成为该数列 基本量 的是第 组 s1和s2 a2与s3 a1与an q与an 解析 由可知a1 q唯一确定 s1与s2能成为该数列的 基本量 由不能唯一确定a1 q 故a2与s3不能成为该数列的 基本量 由a1及an a1qn 1 不能唯一确定q a1及an不能成为该数列的 基本量 由q及an a1qn 1能唯一确定a1 q与an能成为该数列的 基本量 答案 解析 由f a2 a4 a6 a8 a10 4可知a2 a4 a6 a8 a10 2 又 an 为等差数列 公差为2 a1 a3 a5 a7