内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《导数的应用》课件.ppt

第十六讲导数的应用 走进高考第一关考点关 回归教材1 函数的单调性设函数f x 在某个区间内可导 如果f x 0 那么y f x 在这个区间内单调递增 如果f x 0 那么函数在这个区间内单调递减 求可导函数的单调区间的解题步骤 1 确定函数的定义区间 2 求f x 3 令f x 0 解出相应的x的范围与定义域求交集 得出函数的单调增区间 令f x 0解出相应的x的范围与定义域求交集 得出相应的减区间 注意写函数的单调区间时 若有多个用 隔开 不能用 符号 2 函数的极值 1 极大值与极小值统称为极值 极大值点与极小值点统称为极值点 函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言 在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值 且极大值不一定比极小值大 2 求可导函数f x 极值的一般步骤 求导数f x 求方程f x 0的根 检验f x 在方程f x 0的根的左右两侧的符号 如果在根的左侧附近为正 右侧附近为负 那么函数y f x 在这个根处取得极大值 如果在根的左侧附近为负 右侧附近为正 那么函数y f x 在这个根处取得极小值 注意 1 可导函数的极值点是导数为零的点 但是导数为零的点不一定是极值点 即点x0是可导函数f x 的极值点是f x0 0的充分但不必要条件 例如函数f x x3 有f 0 0 但x 0不是极值点 2 可导函数f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧 f x 的符号不同 3 函数的最值假设函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条连续不间断的曲线 则该函数在 a b 上一定能够取得最大值与最小值 函数的最值必在极值点或区间端点处取得 函数的最大值与最小值的求法 1 设y f x 是定义在区间 a b 上的函数 y f x 在 a b 内有导数 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值 可分两步进行 求f x 在开区间 a b 内所有使f x 0的点 计算函数f x 在区间内使f x 0的所有点和端点处的函数值 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 2 若函数y f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小值 f b 为函数的最大值 若函数y f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 注意 1 函数的极值反映函数在一点附近的情况 是对局部函数值的比较 故极值不一定是最值 2 函数的最值是对函数在整个区间上的函数值相比较而言的 故函数的最值可能是极值 也可能是区间端点处的函数值 考点训练1 函数f x x3 3x2 1的单调减区间为 a 2 b 2 c 0 d 0 2 答案 d 解析 由f x 3x2 6x 0得0 x 2 2 设a r 若函数y ex ax x r有大于零的极值点 则 答案 a 解析 由y ex a 0 得ex a 又x 0 ex 1 故 a 1 即a 1 3 2009 北京朝阳区模拟 在r上可导的函数f x 的图象如图所示 则关于x的不等式x5f x 0的解集为 a 1 0 1 b 1 0 1 c 2 1 1 2 d 2 2 答案 a 解析 f x 在 1 1 上单调递增 在 1 1 上单调递减 在 1 1 上f x 0 故x f x 0的解集为 1 0 1 4 若f x x4 2x2 3 则f x a 最大值为4 最小值为 4b 最大值为4 无最小值c 最小值为 4 无最大值d 既无最大值 也无最小值 答案 b 解析 f x 4x3 4x 易知f x 在 1 和 0 1 上为增函数 在 1 0 和 1 上为减函数 f 1 f 1 4为极大值也是最大值 x 时 f x 所以无最小值 故选b 5 若函数f x ax3 x在r上为减函数 则a的取值范围为 答案 a 0 解读高考第二关热点关 题型一函数的单调性例1 2009 北京 设函数f x xekx k 0 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求函数f x 的单调区间 3 若函数f x 在区间 1 1 内单调递增 求k的取值范围 解 1 f x 1 kx ekx 又f 0 1 f 0 0 曲线y f x 在 0 f 0 处的切线方程为y x 2 知f x 1 kx ekx 当k 0时 令f x 0 得x 令f x 0 得x 综上得 当k 0时 f x 的单调增区间为 单调减区间为 当k 0时 f x 的单调增区间为 单调减区间为 3 解法一 当k 0时 由题意得 1 1 1 0 k 1 当k 0时 由题意得 1 1 1 1 k 0 故k的取值范围是 1 0 0 1 解法二 由题意得f x 1 kx ekx 0 在 1 1 内恒成立 即 1 kx 0 在 1 1 内恒成立 设g x kx 1 经检验 当 1 k 0或0 k 1时f x 在 1 1 内单调递增 点评 1 用导数法求单调区间的步骤 求f x 解不等式f x 0 或f x 0 得单调区间 2 求函数的单调区间不要忽视定义域 单调区间是定义域的子集 3 分类讨论时 要弄清楚分类的标准 且分类时要不重不漏 4 在已知函数f x 是增函数 或减函数 求参数的取值范围时 应令f x 0 或f x 0 恒成立 解出参数的取值范围 一般可用不等式恒成立理论求解 然后检验参数的取值能否使f x 恒等于0 若能恒等于0 则参数的这个值应舍去 若f x 不恒为0 则由f x 0 或f x 0 恒成立解出的参数的取值范围确定 变式1 已知向量a x2 x 1 b 1 x t 若函数f x a5b在 1 1 上是增函数 求t的取值范围 解 f x a5b x2 1 x t x 1 x3 x2 tx tf x 3x2 2x t 经检验当t 5时 f x 在 1 1 上单调递增 题型二函数的极值例2 2009 潍坊检测 若函数f x ax3 bx 4 当x 2时 函数f x 有极值 1 求函数的解析式 2 若关于x的方程f x k有三个零点 求实数k的取值范围 点评 求极值时一定要判断导数为0的点的左侧与右侧的单调性 然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值 变式2 已知f x x3 3x过a 1 m m 2 可作曲线y f x 的三条切线 则m的取值范围是 a 1 1 b 2 3 c 1 2 d 3 2 答案 d 题型三函数的最值例3已知a是实数 函数f x x a 1 求函数f x 的单调区间 2 设g a 为f x 在区间 0 2 上的最小值 写出g a 的表达式 求a的取值范围 使得 6 g a 2 点评 函数的单调性和最值问题是导数的基本运用 关键是能正确求导 并根据导数由单调性得到极值 然后由端点的函数值及极值得到最值 若函数不连续 则要根据情况综合考查 答案 b 题型四生活中的最优化问题例4某造船公司年造船量是20艘 已知造船x艘的产值函数为r x 3700 x 45x2 10 x3 单位 万元 成本函数为c x 460 x 5000 单位 万元 又在经济学中 函数f x 的边际函数mf x 定义为mf x f x 1 f x 1 求利润函数p x 及边际利润函数mp x 提示 利润 产值 成本 2 问年造船量安排多少艘时 可使公司造船的年利润最大 3 求边际利润函数mp x 的单调递减区间 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么 解 1 p x r x c x 10 x3 45x2 3240 x 5000 x n 且1 x 20 mp x p x 1 p x 30 x2 60 x 3275 x n 且1 x 19 2 p x 30 x2 90 x 3240 30 x 12 x 9 x 0 p x 0时 x 12 当00 当x 12时 p x 0 x 12 p x 有最大值 即年造船量安排12艘时 可使公司造船的年利润最大 3 mp x 30 x2 60 x 3275 30 x 1 2 3305 当x 1时 mp x 单调递减 所以单调减区间为 1 19 且x n mp x 是减函数的实际意义 随着产量的增加 每艘船的利润与前一艘船的比较 利润在减少 点评 在求实际问题中的最大值或最小值时 一般先设自变量 因变量 建立函数关系式 并确定其定义域 利用求函数最值的方法求解 注意结果应与实际情况相符合 用导数求解实际问题中的最大 小 值时 如果函数在区间内只有一个极值点 那么根据实际意义该极值点也就是最值点 笑对高考第三关技巧关 导数及其应用近年已成为高考的重点和热点之一 在选择题 填空题以及解答题中均有出现 考查的重点为基本概念 基础知识以及纵向联系和导数的综合问题 其问题一般都与极值问题 函数单调性问题 切线问题有关 有时具有一定综合性 因此在复习中应引起重视 典例设函数f x x2ex 1 ax3 bx2 已知x 2和x 1为f x 的极值点 1 求a和b的值 2 讨论f x 的单调性 3 设g x x3 x2 试比较f x 与g x 的大小 解 1 因为f x ex 1 2x x2 3ax2 2bx xex 1 x 2 x 3ax 2b 又x 2和x 1为f x 的极值点 所以f 2 f 1 0 2 因为a b 1 所以f x x x 2 ex 1 1 令f x 0 解得x1 2 x2 0 x3 1 因为当x 2 0 1 时 f x 0 所以f x 在 2 0 和 1 上是单调递增 在 2 和 0 1 上是单调递减 3 由 1 可知f x x2ex 1 x3 x2 故f x g x x2ex 1 x3 x2 ex 1 x 令h x ex 1 x 则h x ex 1 1 令h x 0 得x 1 因为x 1 时 h x 0 所以h x 在x 1 上单调递减 故x 1 时 h x h 1 0 因为x 时 h x 0 所以h x 在x 上单调递增 故x 时 h x h 所以对任意x 恒有h x 0 又x2 0 因此f x g x 0 故对任意x 恒有f x g x 考向精测1 2009 高考 设函数f x 在r上的导函数为f x 且2f x xf x x2 下面的不等式在r上恒成立的是 a f x 0b f x xd f x x 答案 a 解析 由f 0 0可排除b d 设f x x2 符合题目条件 但c不恒成立 故选a 答案 3 课时作业 十六 导数的应用第一课时 一 选择题1 函数y x2 x 3 的减区间为 a 0 b 2 c 0 2 d 2 2 答案 c 解析 y 3x2 6x 令y 0 得0 x 2 2 已知函数f x 的导函数f x 4x3 4x 且图象过点 0 5 当函数f x 取得极大值 5时 x的值是 a 1b 0c 1d 1 答案 b 3 已知函数f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值 则实数a的取值范围是 a 16d a2 答案 c 解析 y 3x2 2ax a 6 由题意得 0 得a6 4 如果函数y f x 的图象如图所示 那么导函数y f x 的图象可能是 答案 a 解析 由图象可知 5 已知对任意实数x 有f x f x g x g x 且x 0时 f x 0 g x 0 则x0 g x 0b f x 0 g x 0d f x 0 g x 0 答案 b 解析 由题可知f x 为奇函数 g x 为偶函数 又x 0时 f x 0 g x 0 由奇 偶函数的性质可知 当x0 g x 0 故答案为b 6 2009 广东汕头 若函数y x3 x2 mx 1是r上的单调函数 则实数m的取值范围是 a b c d 答案 c 解析 y 3x2 2x m 由题意得 4 12m 0 得m 二 填空题7 函数f x xlnx x 0 的单调增区间是 8 2009 湖南郴州 已知函数f x 是r上的偶函数 且在 0 上有f x 0 若f 1 0 那么关于x的不等式x f x 0的解集为 答案 1 0 1 解析 由f x 为偶函数 且x 0时 f x 0 知f x 在 0 上为增函数 在 0 上为减函数 又f 1 0 可知x f x 0的解集为x 1或0 x 1 9 已知a 0 函数f x x3 ax在 1 上是单调函数 则a的最大值是 答案 3 解析 f x 3x2 a 由题意得f x 0 在 1 上恒成立 又 3x2 min 3 a 3 故a的最大值为3 10 2010 山东模拟 已知f x 的导数f x a x 1 x a 若f x 在x a处取到极大值 则a的取值范围是 答案 1 0 解析 由三次函数的图象可知 1 a 0 三 解答题11 2009 北京 设函数f x x3 3ax b a 0 1 若曲线y f x 在点 2 f 2 处与直线y 8相切 求a b的值 2 求函数f x 的单调区间与极值点 解 1 f x 3x2 3a 因为曲线y f x 在点 2 f 2 处与直线y 8相切 2 f x 3 x2 a a 0 当a0 函数f x 在 上单调递增 此时函数f x 没有极值点 当a 0时 由f x 0得x 当x 时 f x 0 函数f x 单调递增 当x 时 f x 0 函数f x 单调递增 此时x 是f x 的极大值点 x 是f x 的极小值点 12 2009 天津 已知函数f x x2 ax 2a2 3a ex x r 其中a r 1 当a 0时 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率 2 当a 时 求函数f x 的单调区间与极值 解 1 当a 0时 f x x2ex f x x2 2x ex 故f 1 3e 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率为3e 2 f x x2 a 2 x 2a2 4a ex 令f x 0 解得x 2a或x a 2 由a 知 2a a 2 以下分两种情况讨论 若a 则 2a a 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以f x 在 2a a 2 内是增函数 在 2a a 2 内是减函数 函数f x 在x 2a处取得极大值f 2a 且f 2a 3ae 2a 函数f x 在x a 2处取得极小值f a 2 且f a 2 4 3a ea 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以f x 在 a 2 2a 内是增函数 在 a 2 2a 内是减函数 函数f x 在x a 2处取得极大值f a 2 且f a 2 4 3a ea 2 函数f x 在x 2a处取得极小值f 2a 且f 2a 3ae 2a 第二课时 一 选择题1 正弦曲线y sinx上一点p 以点p为切点的切线为直线l 则直线l的倾斜角的范围是 答案 a 2 2010 安徽模拟 已知函数的两个极值分别为f x1 f x2 若x1 x2分别在区间 0 1 与 1 2 内 则b 2a的取值范围是 a 4 2 b 2 7 c 2 7 d 5 2 答案 c 3 2009 广东珠海模拟 如图是二次函数f x x2 bx a的部分图象 则函数g x lnx f x 的零点所在的区间是 答案 b 解析 二次函数的对称轴满足 0 1 00 又f x 2x b g x lnx 2x b g ln 1 b0 在 1 内有一个零点 故选b 4 已知m 0 f x mx3 x 且f 1 的最大值是 12 则实数m的值为 a 2b 2c 4d 4 答案 b 解析 f 1 3m m 0 且f 1 的最大值为 12 知m 2 5 已知f x 2x3 6x2 m m为常数 在 2 2 上有最大值3 那么此函数在 2 2 上的最小值