内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《命题及其关系、充分条件与必要条件》课件.ppt

第二讲命题及其关系 充分条件与必要条件 走进高考第一关考点关回归教材1 当命题 如果p 则q 为真命题时 我们说由p可推出q 记作p q 读作 p推出q 并且称p是q的充分条件 q是p的必要条件 2 如果p q且q p 则称p是q的充要条件 记作p q 又常说成当且仅当或p与q等价 3 设原命题为 如果p 则q 那么其逆命题为如果q 则p 否命题为如果非p 则非q 逆否命题为如果非q 则非p 4 原命题与它的逆命题是互逆的命题 它的否命题与它的逆否命题是互逆命题 它的逆命题与逆否命题是互否命题 它的逆命题与它的否命题是互逆否命题 5 两个命题互为逆否命题时 有相同的真假性 考点训练1 2009 陕西卷 m n 0 是 方程mx2 ny2 1表示焦点在y轴上的椭圆 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 c 2 2009 四川卷 已知a b c d为实数 且c d 则 a b 是 a c b d 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 b 3 2009 福建卷 设m n是平面 内的两条不同直线 l1 l2是平面 内的两条相交直线 则 的一个充分而不必要条件是 a m 且l1 b m l1且n l2c m 且n d m 且n l2 答案 b 解析 因m l1 若 则有m 且l1 故 的一个必要条件是m 且l1 排除a 因m n l1 l2 且l1与l2相交 若m l1且n l2 因l1与l2相交 故m与n也相交 故 若 痢桅 则直线m与直线l1可能为异面直线 故 的一个充分而不必要条件是m l1且n l2 故选b 4 2009 山东卷 已知 表示两个不同的平面 m为平面 内的一条直线 则 是 m 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 b 解析 当 时 平面 内的直线m不一定和平面 垂直 但当平面 内的直线垂直于平面 时 根据面面垂直的判定定理 两个平面一定垂直 故 是m 的必要不充分条件 5 2009 重庆卷 命题 若一个数是负数 则它的平方是正数 的逆命题是 a 若一个数是负数 则它的平方不是正数 b 若一个数的平方是正数 则它是负数 c 若一个数不是负数 则它的平方不是正数 d 若一个数的平方不是正数 则它不是负数 答案 b 解析 依题意得原命题的逆命题 若一个数的平方是正数 则它是负数 选b 解读高考第二关热点关题型一四种命题的关系和命题真假的判断例1写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断这些命题的真假 1 若ab 0 则a 0或b 0 2 若x2 y2 0 则x y全为0 3 若q 1 则方程x2 2x q 0有实根 解 1 原命题为真 逆命题 若a 0或b 0 则ab 0 为假 否命题 若ab 0 则a 0且b 0 为假 逆否命题 若a 0且b 0 则ab 0 为真 2 原命题为真 逆命题 若x y全为0 则x2 y2 0 为真 否命题 若x2 y2 0 则x y不全为0 为真 逆否命题 若x y不全为0 则x2 y2 0 为真 3 原命题为假 逆命题 若方程x2 2x q 0有实根 则q 1 为假 否命题 若q 1 则方程x2 2x q 0没有实根 为假 逆否命题 若方程x2 2x q 0没有实根 则q 1 为假 点评 1 写出一个命题的逆命题 否命题 逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论 2 在判断原命题及其逆命题 否命题和逆否命题真假时 要灵活应用 原命题与逆否命题同真同假 否命题与逆命题同真同假 变式1 写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断它们的真假 1 若ab 0 则a 0或b 0 2 等底等高的两个三角形全等 3 若在二次函数y ax2 bx c中 b2 4ac 0 则该二次函数的图象与x轴有公共点 解 1 原命题为真命题 逆命题 若a 0或b 0 则ab 0 是真命题 否命题 若ab 0 则a 0且b 0 是真命题 逆否命题 若a 0且b 0 则ab 0 是真命题 2 原命题是假命题逆命题 若两个三角形全等 则这两个三角形等底等高 是真命题 否命题 若两个三角形不等底或不等高 则这两个三角形不全等 是真命题 逆否命题 若两个三角形不全等 则这两个三角形不等底或不等高 是假命题 3 原命题为假命题 逆命题 若二次函数y ax2 bx c的图象与x轴有公共点 则b2 4ac 0 是假命题 否命题 若二次函数y ax2 bx c中b2 4ac 0 则该二次函数的图象与x轴没有公共点 是假命题 逆否命题 若二次函数y ax2 bx c的图象与x轴没有公共点 则b2 4ac 0 是假命题 题型二充分条件与必要条件的判定例2 1 一元二次方程ax2 2x 1 0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 a a 0b a 1c a 1d a 1 d 2 设甲 乙 丙是三个命题 如果甲是乙的必要条件 丙是乙的充分条件 但不是乙的必要条件 那么 a 丙是甲的充分条件 但不是甲的必要条件b 丙是甲的必要条件 但不是甲的充分条件c 丙是甲的充要条件d 丙不是甲的充分条件 也不是甲的必要条件 a 方法二 利用图示法 依据题意画出图示 但丙不是甲的必要条件 应选a 点评 判断充分 必要条件时 第一是要分清命题的条件和结论 第二是要善于将文字语言转化为符号语言进行推理 第三是要注意等价命题的运用 当判断多个命题的关系时 常用图示法 它能使问题直观 易于判断 题型三充要条件的证明与探求 证明 先证必要性 设 an 是公差为d的等差数列 则bn 1 bn an 1 an 3 an an 2 an 1 an an 2 an 3 d1 d1 0 bn bn 1 n 1 2 3 成立 又cn 1 cn an 1 an 2 an 2 an 1 3 an 3 an 2 d1 2d1 3d1 6d1 常数 n 1 2 3 数列 cn 为等差数列 再证充分性 设数列 cn 是公差为d2的等差数列 且bn bn 1 n 1 2 3 cn an 2an 1 3an 2 cn 2 an 2 2an 3 3an 4 得cn cn 2 an an 2 2 an 1 an 3 3 an 2 an 4 bn 2bn 1 3bn 2 cn cn 2 cn cn 1 cn 1 cn 2 2d2 bn 2bn 1 3bn 2 2d2 从而有bn 1 2bn 2 3bn 3 2d2 得 bn 1 bn 2 bn 2 bn 1 3 bn 3 bn 2 0 bn 1 bn 0 bn 2 bn 1 0 bn 3 bn 2 0 由 得 bn 1 bn 0 n 1 2 3 由此不妨设bn d3 n 1 2 3 则an an 2 d3 常数 因此cn an 2 2an 1 3an 2 4an 2an 1 3d3 从而cn 1 4an 1 2an 2 3d3 4an 1 2an 5d3 两式相减得cn 1 cn 2 an 1 an 2d3 an 1 an cn 1 cn d3 d2 d3 常数 n 1 2 3 数列 an 是等差数列 点评 充分必要条件的证明 一般要分两步证明 即证充分性和必要性 也就是证明原命题和它的逆命题都成立 变式3 2009 九江 已知抛物线c y x2 mx 1与线段ab有两个不同的交点a 3 0 b 0 3 求抛物线c与线段ab有两个不同交点的充要条件 将y 3 x代入y x2 mx 1 得x2 1 m x 4 0 0 x 3 即关于x的方程x2 1 m x 4 0在上有两个不同的实数解 反过来 若方程x2 1 m x 4 0在上有两个不同的实数解x1 x2 分别代入x y 3可得到y1和y2 故抛物线c与线段ab有两不同的交点 x1 y1 和 x2 y2 于是问题转化为求关于x的方程x2 1 m x 4 0在上有两个不同实数解的充要条件 令f x x2 1 m x 4 如图所示 点评 将问题不断地进行等价转化是探求充要条件的一个有效途径 它可以将不熟悉的问题向熟悉的问题转化 将复杂的问题转化为简单问题 从而有利于问题的解决 反过来 对于有些问题的解决 我们也需要探求问题的充要条件 即进行等价转化 从而使问题得到解决 笑对高考第三关技巧关判断充要条件的方法 1 定义法 若p q 则p是q的充要条件 2 逆否法 若证非p是非q的充要条件 只需证明q是p的充要条件 3 集合法 从集合的观点出发 建立命题p和q相应的集合 a x p x b x q x 若a b 则p是q的充分条件 若b a 则q是p的充分条件 若a b 则p是q的充要条件 例1 2010 名校模拟 a 1 是 函数f x x a 在区间 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 a 例2设全集为u 在下列条件中 1 a b a 2 ua b 3 ua ub 4 a ub u能作为b a的充要条件的有 把正确的序号都填上 答案 1 2 3 4 解析 利用韦恩图解答 作韦恩图 如图所示 1 a b a b a 2 ua b b a 3 ua ub b a 4 a ub u ua ub a ub u是b a的充要条件 点评 借助韦恩图是解决本例的最好方法 答案 d 解析 本题考查集合 解 坏仁 充要条件等基础知识 考查分析 综合运用知识的能力 若直接求解 相当于解一道大题 根据选择支的特点 不妨用特殊值法 将b 0代入题目条件 知d正确 2 已知命题p 2x 3 1 命题q lg x 2 0 则命题p是命题q的 条件 答案 必要不充分 解析 p 2x 3 1 2x 3 1或2x 32或x 1 q 0 x 2 1 2 x 3 故p d q 而q p p是q的必要不充分条件 课时作业 二 命题及其关系 充分条件与必要条件 一 选择题1 2009 浙江高考 设 是两个不同的平面 l是一条直线 以下命题正确的是 a 若l 则l b 若l 则l c 若l 则l d 若l 则l 答案 c 解析 对于a b d选项均有可能l 2 2009 天津高考 设x r 则 x 1 是 x3 x 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 a 解析 x 1 x3 x 反过来x3 x不一定有x 1 还可以x 0或 1 3 2009 山东潍坊 下列判断错误的是 a 命题 若q则p 与命题 若非p则非q 互为逆否命题b am2 bm2 是 a b 的充要条件c 矩形的两条对角线相等 的否命题为假d 命题 1 2 或4 1 2 为真 答案 b 解析 m 0时 a b 不能推出 am2 bm2 故 am2 bm2 不是 a b 的充要条件 答案 b 5 2008 天津 4 设a b是两条直线 是两个平面 则a b的一个充分条件是 a a b b a b c a b d a b 答案 c 6 2008 浙江 已知a b都是实数 那么 a2 b2 是 a b 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案 d 二 填空题7 在空间中 1 若四点不共面 则这四点中任何三点都不共线 2 若两条直线没有公共点 则这两条直线是异面直线 以上两个命题中 逆命题是真命题的是 答案 2 解析 命题 1 的逆命题是 若四点中任何三点都不共线 则这四点不共面 是假命题 命题 2 的逆命题是 若两条直线是异面直线 则这两条直线没有公共点 是真命题 8 令p x ax2 3x 2 0 若对任意x r p x 是真命题 则实数a的取值范围是 9 2009 江苏 设 和 为不重合的两个平面 给出下列命题 1 若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线 则 平行于 2 若 外一条直线l与 内的一条直线平行 则l和 平行 3 设 和 相交于直线l 若 内有一条直线垂直于l 则 和 垂直 4 直线l与 垂直的充分必要条件是l与 内的两条直线垂直 上面命题中 真命题的序号是 写出所有真命题的序号 答案 1 2 解析 1 内两条相交直线分别平行于平面 则两条相交直线确定的平面 平行于平面 正确 2 平面 外一条直线l与 内的一条直线平行 则l平行于 正确 3 如图 l a a l 但不一定有 错误 4 直线l与 垂直的充分必要条件是l与 内的两条相交直线垂直 而该命题缺少 相交 两字 故为假命题 综上所述 真命题的序号为 1 2 三 解答题10 设a x r 2 x a b y y 2x 3 x a c z z x2 x a 则命题c b的充要条件是什么 11 现有命题 若c b 且f x 在两个区间 上都是增函数 则f x 在区间 上是增函数 若认为该命题为真 请给出证明 若认为该命题为假 请对原命题予以补充条件 不允许变更原命题的内容 不允许举反例 使原命题成立 请先写出补充条件 然后证明给出的真命题 解 原