同步精品学案(人教A版必修1)：第2章 基本初等函数Ⅰ §21 指数函数 新课标人教A版.doc

2.1指数函数21.1指数与指数幂的运算1根式的两条基本性质(1)性质1：()na (n1，nN*，当n为奇数时，aR；当n为偶数时，a0)当n为奇数时，表示a的n次方根，由n次方根的定义，得()na；当n为偶数时，表示正数a的正的n次方根或0的n次方根，由n次方根的定义，得()na.若a1，nN*)当n为奇数时，anan，a是an的n次方根，即a；当n为偶数时，(|a|)nan0，|a|是an的n次方根，即|a|如2.2整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用即对任意实数r，s，均有(1)arasars (a0，r，sR)(指数相加律)；(2)(ar)sars (a0，r，sR) (指数相乘律)；(3)(ab)rarbr (a0，b0，rR)(指数分配律)要注意上述运算性质中，底数大于0的要求. 题型一有理指数幂的混合运算计算下列各式：(1)022(0.01)0.5；(2)(0.002)10(2)1()0.分析负化正，大化小，根式化为分数指数幂，小数化分数，是简化运算的常用技巧解(1)原式11.(2)原式(1)1(500)10(2)11010201.点评一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的 题型二有理数指数幂的化简 求值问题化简：(1)；(2) (a0)解(1)原式ab(ab)0.(2)原式a2a.点评一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的利用乘法公式解决分数指数幂的化简求值问题，是简化运算的常用方法，熟练掌握a(a)2 (a0)，a(a)3以及abab(aa)(aa)等变形 题型三灵活应用整体代入法已知xy12，xy9，且xy，求的值分析一般不宜采用直接求值的方法，要考虑把xy及xy整体代入求值解.xy12，xy9，(xy)2(xy)24xy12249108.xy，xy6.将式、代入式得.点评“整体代入”方法在条件求值中非常重要，也是高中数学的一种重要的解题思想、解题方法，它反映了我们“把握全局”的能力解题过程中不宜求出x、y后再代入，而应考虑把xy及xy整体代入求值化简：(1a)(a1)2(a).错解(1a)(a1)2(a)(1a)(a1)1(a)(a).错因分析错解的原因在于忽略了题中有(a)，即相当于告知a0，故a0，这样，(a1)2(a1)1.正解由(a)知a0，故a11，b0，且abab2，则abab的值为()A. B2或2C2 D2解析(abab)28a2ba2b6，(abab)2a2ba2b24.又abab (a1，b0)，abab2.答案D2(全国高考)如果a33，a10384，a3n3_.解析原式3n33(128)n332n3.答案32n31当a0时，下列式子中正确的是()Aaa0 BaaaCaaa2 D(a)2答案D2若(2x6)x25x61，则下列结果正确的是()Ax2 Bx3Cx2或x D非上述答案答案C解析由x25x60，得(x2)(x3)0.x2或x3，但x3时，00无意义由2x61，得x.故x2或x.3若aa13，则a2a2的值为()A9 B6 C7 D11答案C解析a2a2(aa1)223227.4根据n次方根的意义，下列各式：()na；不一定等于a；n是奇数时，a；n为偶数时，|a|.其中正确的有()A B C D答案A解析按分数指数幂规定全正确5化简 (a0，b0)的结果是()A. BabCa2b D.答案D解析原式a1b12.6计算：2027_.答案14解析原式(22)2133241314.7(1)计算：0.02722560.75031；(2)若2x2x3，求8x8x的值解(1)原式(0.33)(28)10.31366413664132.(2)8x8x(2x)3(2x)3(2x2x)(2x)22x2x(2x)23(2x2x)232x2x3(323)18 学习目标1了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性2理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算 自学导引1如果一个数的n次方等于a(n1，且nN*)，那么这个数叫做a的n次方根2式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数3(1)nN*时，()na.(2)n为正奇数时，a；n为正偶数时，|a|.4分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a(a0，n、mN*，且n1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a(a0，n、mN*，且n1)；(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义5有理数指数幂的运算性质：(1)arasars(a0，r、sQ)；(2)(ar)sars(a0，r、sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ). 一、根式的化简与求值例1求下列各式的值：(1)；(2)；(3).解(1)3.(2)3.(3).点评解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行解答变式迁移1计算下列各式的值：(1)；(2)；(3).解(1)8.(2)|10|10.(3)3. 二、根式与分数指数幂的互化例2用分数指数幂的形式表示下列各式(式中a0)：(1)a2；(2)a3；(3).分析先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可解(1)a2a2aa2a.(2)a3a3aa3a.(3)(aa)(a)a.点评此类问题应熟练应用a (a0，m，nN*，且n1)当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简变式迁移2将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)；(2)() (b0)解(1)原式x.(2)原式(b)bb. 三、利用幂的运算性质化简、求值例3计算下列各式：(1)(0.064)0(2)3160.75|0.01|；(2) (a0)解(1)原式(0.4)31(2)423(0.1)2(0.4)110.1.(2)原式(aa)(aa)a32a01.点评(1)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算，以便于运算，达到化繁为简的目的(2)对于根式计算结果，不强求统一的表示形式一般地用分数指数幂的形式来表示如果有特殊要求，则按要求给出结果但结果中不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式变式迁移3化简：15080.25()6.解原式12222332108110.1理解好方根的概念，是进行根式的计算和化简的关键2将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键3正整数指数幂的运算性质对于实数指数幂仍然适用，只是底数的范围缩小为a0.(想一想，为什么？)一、选择题1下列运算中，正确的是()Aa2a3a6 B(a2)5(a5)2C(1)00 D(a2)5a10答案D2化简得()A6 B2xC6或2x D2x或6或2x答案C解析原式|x3|(x3)3()2()2等于()Aa Ba2 Ca3 Da4答案B4把根式2改写成分数指数幂的形式为()A2(ab) B2(ab)C2(ab) D2(ab)答案A5化简(ab)2的结果是()A6a Ba C9a D9a答案D二、填空题6计算：64的值是_答案解析64(26)24.7化简的结果是_答案解析由题意知x0，且a1)叫做指数函数理解指数函数的定义，需注意的几个问题：(1)因为a0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.(2)规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a0，如果a0，且a1.(3)指数函数解析式的特征：ax的系数是1，a为常量，x为自变量，有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如yax1 (a0，a1)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，例如yax (a0，a1)，因为这可等价化归为yx .2yax (a0，a1)的图象图象0a1性质定义域(，)值域(0，)过定点a0且a1，无论a取何值恒过点(0,1)各区间取值当x0时，0y1当x1当x0时，y1当x0时，0yag(x) (a0，a1)不等式中变量x的取值范围(即比较指数大小)其基本思路是由指数函数的单调性得出不等式f(x)g(x)或f(x)g(x)，然后解不等式得到x的取值范围. 题型一函数的定义域、值域(1)函数y的定义域是_；(2)求函数y的定义域和值域(1)解析由13x0，得3x130，因为函数y3x在实数集上是增函数，所以x0，故函数y的定义域为(，0答案(，0(2)解由x20，得x2，所以此函数的定义域为2，)当x2，)时，0，又00，故此函数的值域为(0,1点评本题中的函数都不是指数函数，但都与指数函数有关根据指数函数的定义域为R，值域为(0，)，结合前一章求函数定义域和值域的方法，可以求解一些简单函数的定义域和值域在求解中要注意正确运用指数函数的单调性在求值域问题时，既要考虑指数函数的单调性，还应注意指数函数的值域为(0，) 题型二指数函数的图象如图是指数函数y=ax，y=bx，y=cx，y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()Aab1cdBba1dcC1abcdDab1dc解析由图象可知、的底数必大于1，、的底数必小于1，过点(1,0)作直线x1在第一象限内分别与各曲线相交，可知1dc，ba1，从而知a，b，c，d与1的大小关系为ba1d0，且a1)解(1)yx在上是减函数，又0.10.2，故0.1，即.(3)由0.821而.(4)当a1时，aa，当0aa.点评当两个幂函数底数相同时，要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指数函数，借助函数的单调性来比较大小此题中第(3)小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值，此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小，而第(2)小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂，可构造指数函数来比较大小因此，在利用指数函数的性质比较大小时，要注意以下几点：(1)同底数幂比较大小，可直接根据指数函数的单调性比较；(2)同指数幂比较大小，可利用作商和指数函数的性质判定商大于1还是小于1，从而得出结论；(3)既不同底也不同指数幂比较大小，可找中间媒介(通常是1或0)，或用作差法，作商法来比较大小 题型四综合应用已知函数f(x)x3.(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)求证：f(x)0.(1)解由2x10，得x0，所以函数的定义域为(，0)(0，)(2)解f(x)(x)3x3x3f(x)，又因为函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，所以f(x)为偶函数(3)证明当x(0，)时，2x1，即2x10，又0，x30，所以f(x)x30，由于f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，知当x(，0)时，f(x)0也成立，故对于x(，0)(0，)，都有f(x)0.点评指数函数是一种具体的初等函数，常与第一章学习的函数单调性、奇偶性等知识点融合在一起，此时按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可，本例在第(3)问中，巧妙地应用了偶函数的性质而使问题巧妙地求解求函数y9x23x2的值域错解设3xt，则9xt2，yt22t2(t1)23，ymin3，从而y9x23x2的值域为3，)错因分析若y3，则9x23x1，显然不成立错因在于没有注意t3x0这一隐含条件，在利用换元法时，一定要注意换元后新变量的取值范围正解设3xt (t0)，则yt22t2(t1)23，当t0时，y2，y9x23x2的值域为(2，)1指数函数的图象和性质是高考的重要考点之一，常在与其他知识的交汇处考查2本节内容在高考中几乎每年都涉及，多以选择题或填空题的形式出现1(山东高考)已知集合M1,1，N，则MN等于()A1,1 B1 C0 D1,0解析Nx|1x12，xZx|2x1，且xZ1,0，MN1答案B2(江苏高考)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则有()AfffBfffCfffDfff解析当x1时，函数递增，且以x1为对称轴所以自变量与1的差值的绝对值越大，函数值越大答案B1函数f(x)2|x|的值域是()A(0,1 B(0,1)C(0，) DR答案A解析|x|0，02 Ba2C0a1 D1a2答案D解析由题意知0a11，解得1ay1y2 By2y1y3Cy1y2y3 Dy1y3y2答案D解析y140.921.8，y280.4821.44，y31.521.5.因为函数y2x在实数集上是增函数，且1.81.51.44，所以y1y3y2.6已知1nm0，则指数函数ymx，ynx的图象为()答案C解析由0mn1可知应为两条递减曲线，故只可能是选项C或D，进而再判断与n和m的对应关系，判断方法很多，不妨选择特殊点，令x1，则对应的函数值分别为m和n，由mn知选C.7函数y的定义域是(，0，则a的取值范围是_答案(0,1)解析由ax10，得ax1.根据指数函数的性质知a(0,1)8解不等式ax50，且a1)解当a1时，原不等式可变为x52；当0a4x1.解得x1时，原不等式的解集为(2，)；当0a0，函数f(x)是定义域为实数集R的偶函数(1)求实数a的值；(2)证明：f(x)在(0，)上是增函数(1)解f(x)是R上的偶函数，f(x)f(x)，即，即3x0，0，又根据题意，可得a0，又a0，所以a1.(2)证明由(1)知f(x)3x，设任意的x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)3x13x2(3x13x2).因为0x1x2，所以3x10，所以3x1x21，则10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2指数函数的图象和性质a10a0时，y1；当x0时，0y1；当x0时，0y1.当x1单调性是R上的增函数是R上的减函数 一、指数函数定义的应用例1函数y(a23a3)ax是指数函数，求a的值分析由题目可获取以下主要信息：函数解析式中ax的系数为a23a3；此函数为指数函数解答本题只需紧扣指数函数的定义解由y(a23a3)ax是指数函数，可得，解得，a2.点评判断一个函数是否为指数函数：(1)切入点：利用指数函数的定义来判断；(2)关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x.变式迁移1指出下列函数哪些是指数函数？(1)y4x；(2)yx4；(3)y4x; (4)y(4)x；(5)yx；(6)y4x2；(7)yxx；(8)y(2a1)x (a且a1)；(9)y4x；(10)y42x.解(1)、(5)、(8)、(9)、(10)为指数函数其中(9)y4xx，(10)y42x(42)x16x符合指数函数的定义而(2)中底数x不是常数，而4不是变数；(3)是1与指数函数4x的乘积；(4)中底数40且y1(2)定义域为R.|x|0，y|x|的值域为y|y1点评求定义域要根据函数自身的要求，找出关于x的不等式，解不等式或不等式组可得定义域求值域要根据定义域，根据函数的单调性，解答本题可利用换元思想化成指数函数变式迁移2求下列函数的定义域和值域：(1)y3；(2)y .解(1)定义域为2，)，0，y31，值域为1，)(2)1x0，x1，即x0，函数y 的定义域为0，)令tx，0t1，01t1，01，所以指数函数y1.7x在(，)上是增函数，2.53，1.72.51.73.(2)1.250.20.80.2，00.81，指数函数y0.8x在(，)上为减函数，0.80.11.701,0.93.10.93.1.(4)利用指数函数的单调性知4.54.14.53.6，又4.53.60,3.73.60，3.6，1,3.61，3.61，从而4.53.63.73.6，4.54.13.73.6.点评两数比较大小问题，一般方法是将其转化为同一函数的两个函数值的大小比较问题对于1.70.3与0.93.1，不能直接看成某一个指数函数的两个值，所以(3)题无法用(1)、(2)两题的方法来进行比较可在这两个数值之间找到中间量1，使这两个数值分别与数值1进行比较，进而比较出1.70.3与0.93.1的大小(4)题直接比较有困难，可找中间变量4.53.6.变式迁移3比较，2，3，的大小解将，2，3，分成如下三类：(1)负数3；(2)大于0小于1的数；(3)大于1的数，2.4，而42，30，a1)在区间1,2上的最大值比最小值大，求a的值分析解答本题可结合函数单调性，对a进行分类讨论求值解(1)若a1，则f(x)在1,2上递增，最大值为a2，最小值为a.a2a，即a或a0(舍去). (2)若0a0，a1)在区间1,2上的最大值与最小值之和为6，求a的值解f(x)ax在1,2上是单调函数，f(x)在1或2时取得最值aa26，解得a2或a3，a0，a2.1指数函数的定义及图象是本节的关键通过图象可以求函数的值域及单调区间2利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小(1)当两个正数指数幂的底数相同时，直接利用指数函数的单调性比较大小(2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时，可利用两个指数函数的图象比较它们的大小(3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时，可考虑能否利用“媒介”数来比较它们的大小3通过本节