和吉珍的论文定稿.doc

2009年度本科生毕业论文（设计）平面曲线的插值抛物线与渐近抛物线院 系： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2005 级 学生姓名： 和吉珍 学 号： 200505050210 导师及职称： 杨慧章（讲师） 2009年5月2009 Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate The parabolic interpolation and the parabolic asymptotes of plane curvesDepartment: Mathematics Department Major: Mathematics and Applied MathematicsGrade: 2005Students Name: He JizhenStudent No.: 200505050210Tutor: Lecturer Yang Huizhang May, 2009毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果.据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果.对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意. 作者签名： 日期： 毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版.有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅.学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容.保密的论文（设计）在解密后适用本规定. 作者签名： 指导教师签名：日期： 日期： 和吉珍 毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注陈德华教授红河学院主席（组长）龙瑶教授红河学院杨慧章讲师红河学院张德飞助教红河学院红河学院本科毕业论文（设计）摘要本文研究了平面曲线的插值抛物线与渐近抛物线的关系，并证明了具有二阶导数的凸函数的渐近抛物线（如果存在）必是该曲线的插值抛物线的极限位置.关键词：曲线；插值抛物线；渐近抛物线；极限；凸函数红河学院本科毕业论文（设计）ABSTRACTIn this paper, we discuss the relation between parabolic interpolation and the parabolic asymptotes of a plan curve, and prove that the convex function with the second derivative of its parabolic asymptotes ( if it exists ) must be the limit curve of the parabolic interpolation .Keywords: curve; parabolic interpolation; parabolic asymptotes; limit; convex function红河学院本科毕业论文（设计）目录第一章 引言1第二章 有关的概念与主要结果22.1 有关的概念22.2 主要结果2第三章 定理的证明33.1 定理2.1的证明3第四章 结论10参考文献11致谢12红河学院本科毕业论文（设计）第一章引言吕岚，谭宜家在文献中研究了平面曲线的插值抛物线与渐近抛物线的关系，并证明了平面曲线的插值抛物线的极限位置（如果存在）必是该曲线的渐近抛物线.文章最后提出了这样的问题：对于平面曲线的插值抛物线与渐近抛物线，已经证明了平面曲线的插值抛物线的极限位置（如果存在）必是该曲线的渐近抛物线.反过来，平面曲线的渐近抛物线（如果存在）是否一定为插值抛物线的极限位置？在本文中，我们将研究平面曲线的插值抛物线与渐近抛物线的关系，并推导出具有二阶导数的凸函数的渐近抛物线（如果存在）必是曲线的插值抛物线的极限位置.1第二章 有关的概念与主要结果第二章 有关的概念与主要结果2.1 有关的概念定义2.1设函数在区间内有定义，点，和是曲线上三个不同的点.那么存在惟一的多项式满足，其中，与是常数.则称曲线为曲线上经过点，和的插值抛物线(注:当三点，与共线时,此插值抛物线退化成曲线的割线).定义2.2设是一个多项式.如果，则称多项式为函数的渐近二次多项式,而相应的曲线称为曲线的渐近抛物线.2.2 主要结果本文对文献中所提出的问题进行了探讨，并得到如下结论.定理2.1 设函数是区间内具有二阶导数的凸函数，单调递减，且，函数在区间上有界.假定当时，函数有渐近二次多项式，即有.若，经过点，和的插值抛物线(有时可能退化成一条割线)是，则.2红河学院本科毕业论文（设计）第三章 定理的证明3.1 定理2.1的证明为了证明以上定理，需要下面引理.引理函数在区间内二阶可导，且单调，函数在的密切二项式为：. 假定当时，函数有渐近二项式，则.即在时，密切抛物线趋向于渐近抛物线.引理假设是个互异基点，函数在这组基点的值是给定的，那么存在唯一的多项式，其中表示所有的次数不高于次的实系数多项式和零多项式构成的集合，满足，称多项式为插值多项式，其中多项式， 为基本多项式.引理假设函数在点，处的值已知分别为，.此时，在公式中取，得插值多项式：3第三章 定理的证明.这是一个二次函数，若，三点不在同一直线上，则经过这三点的曲线就是一条抛物线.因此，这种插值法称为二次插值或抛物线插值.引理设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸函数的充要条件是，.引理函数为上的凸函数的充要条件是：对于上的任意的三点，总有.引理若函数是区间上单调递减的凸函数，且，则.下面证明定理.定理的证明分三个步骤：当时，求出的渐近二次多项式；，求出经过点，和的插值抛物线；证明.证明:因为函数在区间内二阶可导，且单调递减，则函数在点的密切二项式为：.则由引理1可知：4红河学院本科毕业论文（设计） ，使得 .记是函数的渐近二项式.现在我们来求函数经过点，和的插值抛物线，其中是区间上的任意一点.，若在引理中取，分别为：，所对应的函数值为，.则由引理，引理可推知：经过点，和的插值抛物线为： .现在证明.因为，把上式展开后可得 .现令，则在区间内有定义，且在5第三章 定理的证明此区间上有界，由可以得到以下三个式子:. （2-1）. （2-2） . （2-3）下面证明当时，式（2-1），（2-2），（2-3）的极限都存在且为零.需要证明：.而.由极限的性质很容易推得，所以.即. （2-4）需要证明:.因为6红河学院本科毕业论文（设计）.而，在区间内具有二阶导数，所以在区间内也具有二阶导数，且.为了证明函数在区间上是凸函数，下面首先证明0.因为（已证），即.从而有，即.而已知函数是凸函数，单调递减且.所以，由引理可知，函数在区间上是凸函数，而.因此函数在区间上单调递减.由上述可知函数在区间上是单调递减的凸函数，且=0，则由引理可知：，所以，而 7第三章 定理的证明 .即 .所以 . （2-5）需要证明：.因为.所以.因为，（已证）.所以 ，.则上式可化简为：8红河学院本科毕业论文（设计).所以，即. （2-6） 而 .由式（2-4），（2-5），（2-6）可知：上式.即.证毕.9第四章 结论第四章 结论本文研究并证明了具有二阶导数的凸函数的渐近抛物线（如果存在）必是曲线的插值抛物线的极限位置.对于一般的函数，其渐近抛物线（如果存在）是否一定为插值抛物线的极限位置？这个问题有待进一步探讨.10红河学院本科毕业论文（设计）参考文献 吕岚，谭宜家. 平面曲线的插值抛物线与渐近抛物线J. 大学数学，2003，19（1）：3-6. 张君施. 密切多项式与渐近多项式J. 大学数学，2003，19(1):103-107. 林成森. 数值分析M. 北京： 科学出版社出版，2006：119-123. 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）M. 北京：高等教育出版社出版，2001：150-151. 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）M. 北京：高等教育出版社出版，2001：148-149. 杨延龄. 平面曲线的割线与渐近线J. 北京工商大学学报（自然科学版），2002，20（3）：57-58. M. Revers. On Lagrange interpolatory parbolas to x at equally spaced nodes .Arch Math, 2000,74, 74 :385391 . MIN Guo-hua. On Lp convergence of Grunwald interpolation .Approx Theor Appl, 1992,83, 8(3) :28-37 .11红河学院本科毕业论文（设计）致 谢在学士学位论文即将完成之际，我想向曾经给我帮助和支持的人表示衷心的感谢.首先我要感谢，非常感谢我的指导老师杨慧章老师，她为人随和热情，治学严谨细心.在闲聊中她总是能像知心朋友一样鼓励你，在论文的写作和措辞等方面她也总会以“专业标准”严格要求你，从选题、定题开始，一直到最后论文的反复修改、润色，杨老师始终认真负责地给予我深刻而细致地指导，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励，从她那里学到的不只是专业知识，更多的是做人的道理.正是杨老师的无私帮助与热忱鼓励，我的毕业论文才能够得以顺利完成，谢谢杨老师.感谢黄晓昆、何应辉老师四年来担任我们的班主任，对我们生活、学习方面都付出了许多努力，没有他们的带领，我们不会成为合格的毕业生，另外还要感谢我们学院的其他老师，他们在学习方面给了我大量的指导，让我学到了知识，也获得了实践锻炼的机会.他们严谨的治学态度、对我的严格要求以及为人处世的坦荡将使我终身受益.除此之外，他们对我生活的关心和照顾也使得我得以顺