四维空间的构建.doc

第十二届“挑战杯”全国大学生课外学 术科技作品竞赛自然科学类学术论文 题目： 四维空间的构建学 院 西安理工大学 学科门类 材料学院 学 号 3100101301 姓 名 韩宁 专 业 材料成型与控制工程 指导教师 唐平 2011年9月1日目录一 引言3二 符号术语5三 四维空间的概念5四 四维空间坐标系的构建64.1 认识四维空间的坐标系64.2 坐标系中几何元素之间的关系74.3 坐标系中几何元素的垂直特征9五 结论11参考文献12四维空间的构建摘要空间几何学是数学学习中的一个重点和难点，许多人在认识空间几何尤其是四维空间的过程中存在很多误区。在这篇文章中我们将采用射影几何的方法和解析几何的方法来论证四维空间几何意义的存在性，研究四维空间坐标系中的几何元素之间的之间垂直关系，即两个共存的三维空间可以决定一个四维空间；在笛卡尔系统中，四维空间的坐标系中共有四个相互垂直的三维空间、六个相互垂直的平面、四条相互垂直且交与一点的直线。帮助大家充分认识四维空间。关键词：四维空间；三维空间；自由度；射影几何；解析几何；对偶原理一 引言推理四维空间基本概念的方法很多。这些方法主要是以二维和三维几何的几何原理为基础的扩展，及以我们处理熟知的三维对象和空间时所揭示的一些实际经验为基础的推理。 这种从熟知的经验进行推理的方法是一个可靠的方法。因为考虑到形成四维几何的系统中遇到的各种形状和位置的几何元素的完全思维图像的困难，它被推荐为着手了解和分析四维空间的第一步。不过，值得注意的是曾经有迹象表明有些人有能力想象出复杂的四维图形。根据HSM考克赛特的说法：“只有一两个人曾经达到想象出超立方体的能力，像我们凡人想象出普通立方体那样简单或者自然，可是在这个方向上的某种可能性，可以用一种推理的方法反复捉摸在一维和二维、二维和三维，以及同样的在三维和四维之间的类似性来得到”。考克赛特举出WM法林特皮特里爵士的儿子约翰皮特里的例子。这个伟大的埃及学者生于1907年。约翰皮特里在中小学是就在数学才能方面表现出惊人的前途。在精神高度集中期间，他可以用想象来回答关于复杂的四维图形的问题。尽管大多数人在想象四维图形是有困难，他们能够一步一步用从一维到二维，从二维到三维，和从三维到四维之间的类比来判别，这样就有了一个想象四维空间的方法。在这篇文章中，我们将采用射影几何的方法和解析几何的方法来论证四维空间几何意义的存在性以及四维空间坐标系中的一些垂直关系。依靠在三维世界的经历和对三维几何的经验，我们将提出以下一些概念：一个点可以看作是一个直径尺寸为零的球。这意味着点不占有空间，因此我们可以把点看作零维空间的代表。零维空间里的任何东西没有自由度，意味着没有度量或位移例如在这样的空间里可能发生的移动和转动。假如像上面那样定义的一个点，从一个位置移动到另一个位置，则可描绘出一条直线，沿着这条直线可以度量一个尺寸。因此，直线可以被看作是一维空间。一维空间允许有一个自由度，这意味着沿直线的方向可以发生度量和移动。我们再继续进行这种扩展，取一几何直线并将它从一个位置移动到另一个位置（可以是直线移动或旋转移动）。这个移动确定一个平面，在这个二维平面上可以度量两个尺寸，因此平面可以看作是二维空间。在这个空间里一个点有两个自由度，一个由移动的直线本身所确定，另一个由移动的方向所确定。其次，一平面沿一直线（不在该平面内）移动或作旋转移动，将描绘出一个具有长、宽、高三个尺寸的立体的几何图形。这个立体图形确定一个三维空间。三维空间里的一个点有三个自由度，两个由平面本身所确定，第三个由平面移动方向所确定。继续用这个方法，取一个专门的三维立体图形（或空间）并移动它（可以是直线移动或旋转移动）。这样就形成了一个被看作是四维立体的图形。四维空间里的一个点有四个自由度，三个由三维空间本身所确定，第四个由这个空间的移动方向确定。考虑从三维的一些几何性质和问题，进到四维的那些几何性质和问题的另一个途径是通过线性方程。为了确定点在一维空间、二维空间、三维空间或四维空间的位置，总是分别用一、二、三或四个自由度表示，而在二维空间、三维空间或四维空间里确定一任意元素，如一个点、一条直线或一个平面必须有两个、三个或四个变量明显或不明显的出现在它的方程里。（1）一点在一空间里运动的自由度数等于这个空间的维数。一直线存在于二维、三维或四维空间里将有下列关系： 此处L表示线性关系，脚标表示确定这个元素所需要的方程数目，上标表示出现的变量数目.（2）二维空间里直线的方程也可以写成： 三维空间里平面的方程可以写成： 这样，线性方程就十分自然的成为讨论空间里的各几何元素的工具。我们可以立即写出如下方程： 一维空间里的点： 二维空间里的直线： 三维空间里的平面： 四维空间里的空间： 这些方程的结构都很简单,作为这种研究的工具，线性方程显得非常直接，可以帮助我们认识四维空间的一些性质。二 符号术语括号内的小写字母表示点：点（a）（b）（c）（d）等等。括号内的大写字母表示直线：点（A）（B）（C）（D）等等。小写希腊字母（没有括号）表示平面：、 等等。大写希腊字母（没有括号）表示三维空间：、等等。表示两个元素相交：、（1）（2）等等。表示相交结果：直线（2） 、（L）（S）点（P）等等。这个几何元素被另外两个几何元素所确定：（）空间 表示平面和确定空间。垂直（直线、平面、三维空间）。三 四维空间的概念在狭义相对论和广义相对论中，伟大的物理学家爱因斯坦先生提到四维空间是动态的，因为四维空间的第四维就是时间，因此我们之中的大多数人也想当然的认为四维空间的第四维不具有几何意义。实际上爱因斯坦先生所说的“四维空间”只是对几何学四维空间的应用而已。例如在二维空间中有两个自由度（具有几何意义），而在实际物理问题中如某质点的运动，我们将用其中一个自由度表示时间，另一个自由度表示位移。下面，我们将用射影几何的推理方法来介绍四维空间的概念及论证其几何意义。对于三维几何，有如下公设： 属于一条直线的两个点确定这条直线。 （1） 不属于同一条直线的三个点确定一个平面。 （2） 彼此不从属的一个点和一条直线确定一个平面。 （3）应用对偶原理，我们可以在上面三个公设的基础上得到一组新的公设。下列公设是应用这个原理的结果。属于一条直线的两个平面确定这条直线。 (4) 不属于同一直线的三个平面确定一个点。 (5) 另外四个公设可以看成是这六个公设的推论。其中两个是： 若一条直线上的两个点属于一个平面，那么这条直线也属于这个平面。 (7) 属于同一平面的两条直线，也属于同一个点。 (8)对1.7和1.8应用对偶原理 ：若两个不同的平面为一条直线和一个点所共有，则该直线属于该点。 (9)属于同一平面的两条直线也属于同一点。 (10) 通过对包含在上述十个公设中所涉及的几何元素的观察，我们可以得到一些结论。根据这些结论最后能导出不少于两个的附加推论和一个公设。即适当的排列这些元素中的两个或三个，总是确定一个不同的元素。将点看作零维空间，直线看作一维空间，平面看作二维空间，并仔细观察公设1.1、1.4、1.8和1.10，可以推断出：具有相同维数的两个空间，在某些条件下，确定另一个高一维空间。例如：两个点（两个零维空间）确定一条直线（一维空间）。从以上推论可以得到下述公设：四维空间的几何意义是很明显的，即两个不同的共存三维空间（沿一个平面共存）一定可以确定一个四维空间。 四 四维空间坐标系的构建4.1 认识四维空间的坐标系下面我们通过解析几何的方法来研究四维空间的坐标系。为了利用这个方法进行观察以导致对四维空间的理解，我们来研究三维空间体系中的三个几何元素点、直线和平面的方程。利用笛卡儿系统表示，可以写出：点的方程：（坐标系：直线上的一个点）。直线的方程：（坐标系：平面上的两条相交直线）。平面的方程：（坐标系：三维空间的三个互相垂直的平面）。从上面的研究可以看出：所表示的每一个几何元素（或空间）的方程中的变量数目等于这个空间的维数加1。根据上述观察，我们可以写出三维空间的下述方程： 现在可以断定：1.这个坐标系的几何元素有三维，即它们是四维空间。2.这个坐标系中有四个三维空间。3.这个坐标系位于一个四维空间里。4.2 坐标系中几何元素之间的关系下面，我们对四维空间的坐标系中各几何元素的关系作出论证。对此，我们讨论如下：四个相互垂直的三维空间系统，三个三个地确定属于一个点（交点）的四条直线。 （11）相互垂直的四条直线确定四个三维空间（这是前面的逆叙述） （12）四条相互垂直的直线，两条两条的确定六个相互垂直的平面，这六个平面三个三个地属于一条直线，但不属于同一个空间。 （13）我们把1.14、1.15和1.16这三条陈述的证明分成两部分。首先处理与从属条件有关的关系。其次将研究垂直性。第一部分的证明以四维综合几何的下述命题为基础：属于同一平面的两个空间确定这一个平面。 （14）属于同一直线的两个平面也属于同一空间。 （15） 属于同一直线的两个空间也属于同一个平面。 （16）分别属于两个不同的空间的两个平面确定一个点。 （17） 彼此不从属的一条直线和一个空间属于一个点。 （18） 彼此不从属的一个平面和一个空间属于一条直线。 （19）不属于同 一空间的一平面和一直线没有公共点。 (20)命题1.20是一个定理，可以证明如下： 设和是两个已知平面，它们分别属于两个标记为和的三维空间，则依次有：两个共存的三维空间确定一个平面 (21)平面和属于同一个空间，并由三维综合几何知：直线（L） （22）平面和属于同一个空间直线（S） （23）平面上的直线（L）和平面上的直线（S）属于同一个平面，根据三维综合几何知：（L）（S）点（P） （24）注意点（P）是被上面所指出的几何关系所确定的唯一几何元素它是属于已知平面和的一条直线上的一个点。所以点（P）是同时属于那两个平面的唯一的一个点，即（P）是平面和的交点 点（P） （24）这就完成了（17）的证明。现在研究坐标系里的四个空间，并令它们为，和。四个对象，三个三个的产生四个排列；因此，这些相交的空间确定四条直线。（两个三维空间相交是一个平面，这个平面与第三个空间相交是一条直线）。在上述的基础上可写出直线（1） 直线（2） 直线（1） 直线（1） 可以看出：这些空间两个两个的六个平面。平面； 平面 平面 平面； 平面 平面 而且直线（1）属于空间、和，并属于平面、和。直线（2）属于空间、和，并属于平面、和。直线（3）属于空间、和，并属于平面、和。直线（4）属于空间、和，并属于平面、和。因此，我们可以断定：平面属于直线（1）和（2）。 平面属于直线（1）和（4）。平面属于直线（1）和（3）。 平面属于直线（2）和（4）。平面属于直线（2）和（3）。 平面属于直线（3）和（4）。即四条直线两个两个地确定六个平面。接着注意相交：直线（1） 直线（2） 直线（3） 直线（4） 也就是六个平面三个三个的属于同样的四条直线。 直线（1） 直线（1） 直线（1）直线（2） 直线（2） 直线（2）直线（3） 直线（3） 直线（3）直线（4） 直线（4） 直线（4）由于直线（1）和（2）确定一个平面，因此它们是共点的；而且直线（1）和（3），（2）和（3），（1）和（4），（2）和（4），（3）和（4）也是如此。研究直线（1）、（2）和（3）或平面、和可以看出：这些直线和平面属于同一点(p)。同样的，例如取平面、和，可以断定它们也属于同一个点。这意味着四条直线（1）、（2）、（3）和（4）属于用一个点。因为共点的直线都被包含了，所以所有六个平面都被确定。把这些平面两个两个的组合起来，我们得到：（）空间；（）空间；（）空间；（）空间；（）空间；（）空间；（）空间；（）空间；（）空间；（）空间；（）空间；（）空间；平面、和只由直线（1）（2）和（3）的组合所确定。平面、和只由直线（1）（2）和（4）的组合所确定。平面、和只由直线（1）（3）和（4）的组合所确定。平面、和只由直线（2）（3）和（4）的组合所确定。在这个基础上可以看出：四条直线三条三条的确定四个空间，并可最后归纳如下：（1 2 3）空间 （1 2 4）空间 （1 3 4）空间 （2 3 4）空间还可以看出：由于四条直线中的任一条直线最多属于三个平面，因此这六个平面将交于一点。点（p）4.3 坐标系中几何元素的垂直特征在上述讨论的基础上，我们将研究坐标系中各元素的垂直性。1这个系统的四个空间，三个三个地确定四条互相垂直且属于同一点的直线。2四条直线三条三条地确定四个互相垂直的空间。3四条直线两个两个地确定六个平面，这些平面三个三个地形成四组属于同一直线且相互垂直的平面。4坐标系的任意一条直线垂直于这个坐标系的另外三条直线所确定的空间。我们将用四维几何中的下列综合几何定理来证明上述结论。一个点到一空间的距离是该点与它在该空间的正投影之间的距离。 （25）不属于一空间的一个点，属于一条且仅仅一条垂直于该空间的直线。 （26）一个点在一空间的投影，是从该点向该空间所作垂线的垂足。 （27）垂直于一空间的两条直线确定一个平面。 （28）通过平面内一已知点而垂直于该平面的直线，可以不止一条。 （29）过平面上的一点垂直于该平面的两条直线确定第二个平面，这两个平面的关系是：一个平面内属于该点的每条直线垂直于另一个平面内也属于该点的每条直线。 （30）如果这个点是两个平面的唯一公共点（即是它们的交点）则这两个平面绝对垂直。 （31）属于两个绝对垂直平面的交点，且垂直于其中一个平面的平面，也垂直于另一个平面。 （32）与两个绝对垂直平面中的每一个平面沿一条直线相交、且垂直于其中一个平面的平面，也垂直于另一个平面。 （33）若两个平面是垂直的，则在已知平面的交线上的任意一点与已知平面绝对垂直的两个平面也是垂直的。 （34）若一平面沿一直线垂直于一个空间，则在该空间里属于这条直线的任一平面，垂直于第一个平面；垂直于第一个平面的任意平面通过这条直线，或通过属于这个空间而本身与属于这个空间的第一条直线不垂直的任意直线。 （35） 沿一直线相交的两个平面，在该直线上的任一点有一对且只有一对公共的垂直平面，这个平面与已知平面绝对垂直。 （36）下面讨论最后一个定理（36）。通过证明这两个已知平面也是垂直的，我们将看出它们可以等同于坐标系的各平面。 设和是两个已知平面，而平面和是通过交线直线（1）上的一点（P），并分别与已知直线绝对垂直的平面。平面垂直于平面和，并属于四个平面、和在两条直线（2）和（3）上的交点（P）。按照国际惯例1.38设是平面和组成的空间，是平面和组成的空间。在空间里，我们可以有垂直于交线直线（1），并属于点（）的平面。平面不属于直线（4），因为如果这样，我们可以从定理1.39得出垂直于空间，而同时又属于空间的结论，这是不可能的。因此平面、和沿着直线（2）和（3）相交，并属于第一个空间。从这里可以看出：平面是空间和空间的相交面。的交线垂直于平面并属于点（p）。所以，平面同时垂直于平面和，而且垂直于分别与它们绝对垂直的平面和。同时垂直于平面、和的第二个平面是，它由交线直线（1）和直线（4）所确定(定理1.36和图15)。平面和是唯一的一对垂直平面。因为垂直于平面和的每一个平面，都必须属于它们的交线或属于它们的空间。而垂直于平面和的每一个平面，都必须属于它们的交线或属于它们的空间。换句话说，其它任何一对平面必须与和重合。考虑到上述这些定理，我们可以说：现在有六个平面，若每次取两个，则它们在一单独的三维空间里是互相垂直的；若每次取三个，形成四组（每三个平面一组），则在每一组里，这些平面是互相垂直的并属于四维空间的一条直线。这样就确定四条直线，这六个平面是、和。 在继续进行深入讨论之前，先介绍一组定理，这些定理对导出我们的结论是很有用的。若一直线垂直于一空间，则属于这条直线的任一平面也垂直于这一空间。 1.41若两个空间是垂直的，则在一个空间里垂直于这两个空间的相交平面的任一直线垂直于另一空间；而属于一个空间的一点、并垂直于另一空间的任一直线，完全处在前一个空间里。若一直线垂直于一空间，这直线的任一空间垂直于该空间。若三个空间垂直于第四个空间，则它们的交线垂直于第四个空间。若两个空间是垂直的，则在其中一个空间里，垂直于它们的相交平面的任一平面垂直于另一个空间。同时，属于一个空间里公费垂直于另一空间的一直线的任一平面，属于第一个空间。若一平面垂直于一已知空则属于这个平面的任一其它空间也垂直于该已知空间。若两个已知空间垂直于第三个空间，则它们的相交平面也垂直于第三个空间。一平面在一已知空间里的投影，是