同济大学微积分第三版课件第二章第五节.ppt

第五节函数的微分与函数的线性逼近 一 微分的定义 本节要点 二 微分的计算 三 微分的意义与应用 温度变化的影响 其边长从 一 微分的定义 1 引例 首先我们来看一个具体的例 变化到问此薄片的面 分析 当边长为时 相应的 积改变了多少 子 一块正方形的金属薄片受 而当边长增加到时 薄片面积的改变量为 从中可以看出由两部分构成 第一部分是 变量可以近似地用第一部分来代替 由于第一部分是 线性函数 而且当越小时 近似程度也越好 这给 的线性函数 第二部分当是的高阶无 穷小 由此可见 如果边长的改变很微小 则面积的改 近似计算带来了很大的方便 面积为 还有其它许多具体问题中的出现的函数都 具有这样的特征 与自变量的增量相对应的函数的 增量可以表达为的线性函 数与的高阶无穷小的两部分和 由此 我 们引入以下概念 2 微分的定义 定义设函数在的某个邻域内有定义 当 自变量在处取得增量 点仍在该邻域 时 高阶无穷小 当 那么称函数在点 是可微的 称为函数在点相应于自变量 其中是与有关的而与无关的常数 是的 如果相应的函数增量可以表 示为 的增量微分 记为即 3 可微的条件 定理函数在点处可微的充要条件是函数 证必要性 设函数在点处可微分 则由 定义 对给定的自变量的增量相应函数的增量为 即 在点处可导且有 注意到 即有 充分性 设函数在处可导 即有 由极限与无穷小的关系 得 其中为无穷小 从而 即 函数在处可微分 且有 如果函数在区间内每一点可微 则称 分就称为函数的微分 也记为由前公式得 通常把自变量的的增量称为自变量的微分 记为 上式两端除以自变量的微分 得 为区间内的可微函数 函数在内的任意一点微 于是函数的微分可记为 因此 导数又称为微商 二 微分公式与运算法则 由前面的可微的充分必要条件 可得下面的基本公式 1 基本公式 2 运算法则 表中 3 复合函数的微分法则 设 则复合函数的 所以复合函数的微分为 由于故上式又可写成 导数为 总是正确的 这一性质称为微分形式不变性 比较两式 可以看到无论是中间变量或是直接变量 表 达式 例1求函数在处的微分 解因函数为初等函数 故为可微函数 由计算公式得 例2求函数当时的微分 解 例3求函数的微分 解由微分公式 三 微分的几何意义 由微分的定义 当函数在处可微时 有 当时 并且误差仅是的高阶无穷小 注意到当时 故 此即说明是的主要部分 故称微分是的线 性主部 当很小时 因此 曲线 从图中可以看到 对取定的值 当自变量有微小 的增量时 得到曲线上的相应点是曲线 在处的切线 由此得 在点附近的局部范围可由它在这点处的切线近似代 替 四 近似计算 由微分公式 得到如下的近似计算公式 或 注意到 若记则有 5 因此 5 式的右端就是曲线在点 处的切线表达式 因此 5 或 5 通常称为函数的一次近似或线性 近似 其近似误差是的 高阶无穷小 越小 则近似程度就越高 例4在的邻近 求 解在 5 中 取即有 因由此得 的一次近似 下面的图形表明了上述问题 下面的图形表明了上述问题 当很小时 还可得到其它函数的一次近似式 我们 把常用的几个函数的一次近似式列于下表 例5近似计算 解由上面的一次近似式 此时因而有 解镀层的体积等于两个同心球体的体积之差 故 故要用的铜大约为 例6在半径为的金属球表面上镀一层厚度为的 铜 估计要用铜多少克 铜的密度为 在生产实践中 需要测量各种数据 但是有的数据不 易直接测量 此时就需要通过测量其它数据后再经过计 算得出所需要的数据 由于测量仪器的精度 测量的条 件与方法等诸因素的限制 测得的数据往往都带有一定 的误差 相应的计算结果也会产生一定的误差 这种误 差称为间接测量误差 下面讨论如何利用函数的微分来 估计间接测量误差 绝对误差和相对误差 设某个量的精确值为其近似值为称为 设某个量的精确值为测量值为若能确定数值 使则称为绝