定积分与微积分.doc

1定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：，其中积分号，积分上限，积分下限，被积函数，积分变量，积分区间，被积式。说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）记为，而不是 （2）用定义求定积分的一般方法是：分割：等分区间；近似代替：取点；求和：；取极限：（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分的几何意义。说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号。分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。考察和式不妨设于是和式即为阴影的面积阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？3定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1；性质2（定积分的线性性质）；性质3（定积分的线性性质）；性质4（定积分对积分区间的可加性）(1) ； (2) ； 说明：推广： 推广: 性质解释：性质4性质14、微积分基本定理一般地，如果是在上有定义的连续函数，是在上可微，并且，则，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式，为了方便，常常把，记作，即.5、常见求定积分的公式（1）（2）（C为常数）（3）（4）（5）（6）（7）6.利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：第一步：画出图形，确定图形范围第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置第四步：计算定积分，求出平面图形面积1将和式的极限表示成定积分（ ）A B C D2下列等于1的积分是（ ）A B C D3=（ ） 4已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为（ ）A B C D5曲线与坐标周围成的面积（ ）A4 B2 C D36=（ ）A B2e C D7求由围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为（）A0，B0，2 C1，2D0，18由直线，及x轴围成平面图形的面积为（ ）A B CD9若是上的连续偶函数，则 （）AB0CD10变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为，则当秒末它所在的位置为（）ABCD11.设 则=（ ）A.B. C. D.不存在12将和式表示为定积分 13曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为14由及轴围成的介于0与2之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为15按万有引力定律，两质点间的吸引力，为常数，为两质点的质量，为两点间距离，若两质点起始距离为，质点沿直线移动至离的距离为处，试求所作之功（a） 16. 17.已知求函数的最小值.18.求在上，由轴及正弦曲线围成的图形的面积.19.已知,当= 时, .恒成立20.求曲线，及所围成的平面图形的面积.21.抛物线y=ax2bx在第一象限内与直线xy=4相切此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S求使S达到最大值的a、b值，并求Smax22.设直线与抛物线所围成的图形面积为S,它们与直线围成的面积为T, 若U=S+T达到最小值,求值;一、1B；2C；3C；4C；5D；6D；7B；8C；9C；10B；11解析选C二、12；13；14；15；16. (1)【解题思路】：我们要直接求的原函数比较困难，但我们可以将先变式化为，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果，方法简便易行.解析： (2).【名师指引】较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.17.求出与，再用导数求法求出的最小值.解析： 当时，最小=1 当时，最小=1【名师指引】这是一道把积分上限函数、二次函数最值，参数混合在一起综合题，重点是要分清各变量关系. 积分、导数、函数单调些，最值、解析式交汇出题是近几年高考命题热点，把它们之间的相互关系弄清是我们解此类问题的关键。18.【解题思路】：因为在上，其图象在轴上方；在上，其图象在轴下方，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才表示面积.y解析：作出在上的图象如右0x 与轴交于0、，所2求积19. 20.思路分析：图形由两部分构成，第一部分在区间上，及围成，第一部分在上由与围成，所以所求面积应为两部分面积之和.y=x2y=2xy解：作出，及的图如右B(2,4)解方程组 得 A(1,1)y=x21xo解方程组 得 所求面积 答：此平面图形的面积为21.解 依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=b/a，所以(1)又直线xy=4与抛物线y=ax2bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2(b1)x4=0，其判别式必须为0，即(b1)216a=0于是代入（1）式得：，；令S(b)=0；在b0时得唯一驻点b