电路原理第2章电路基本方法与定理.ppt

2 1二端网络与等效2 2电阻的等效变换2 3实际电源的模型和等效变换2 4支路电流法2 5网孔电流法与回路电流法2 6节点电压法 第2章电路的基本分析方法 返回 目的 找出求解线性电路的一般分析方法 对象 含独立源 受控源的电阻网络的直流稳态解 可推广应用于其他类型电路的稳态分析中 应用 主要用于复杂的线性电路的求解 复杂电路的分析法就是根据KCL KVL及元件电压和电流关系列方程 解方程 根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法 网孔电流法和节点电压法 元件特性 约束 对电阻电路 即欧姆定律 电路的连接关系 KCL KVL定律 相互独立 基础 返回 两类约束和电路方程 对具有b条支路 n个节点的电路 独立的KCL方程有 n 1 个 独立的KVL方程有b n 1 个 电路约束 拓扑约束 与电路联接方式有关 元件约束 与元件性质有关 KCL KVL 元件VCR 返回 2 4支路电流法 branchcurrentmethod 举例说明 b 3 n 2 支路电流法 以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法 1 标定各支路电流 电压的参考方向 2 对任意 n 1 1个节点列写KCL方程 i1 i2 i3 0 1 3 选定b n 1 2个独立回路 列写KVL方程 若以网孔为独立回路 则可得 R1i1 R2i2 us2 us1 0 2 R2i2 i3R3 us3 us2 0 3 4 联立求解 求出各支路电流 进一步求出各支路电压 返回 支路电流法的一般步骤 1 标定各支路电流 电压 的参考方向 2 任选 n 1 个节点 列写其KCL方程 3 选定b n 1 个独立回路 列写其KVL方程 元件特性代入 4 求解上述方程 得到b个支路电流 5 进一步计算支路电压和进行其它分析 支路法的特点 支路电流法是最基本的方法 在方程数目不多的情况下可以使用 由于支路法要同时列写KCL和KVL方程 所以方程数较多 且规律性不强 相对于后面的方法 手工求解比较繁琐 也不便于计算机编程求解 返回 例1 列写如图电路的支路电流方程 含理想电流源支路 b 5 n 3 KCL方程 i1 i2 i3 0 1 i3 i4 is 0 2 R1i1 R2i2 uS 3 KVL方程 解 R4i4 u 0 5 R2i2 R3i3 R4i4 0 4 R1i1 R2i2 uS 3 R2i2 R3i3 R4i4 0 4 问 若电流源在中间支路 该如何列写方程 返回 KCL方程 i1 i2 i3 0 1 i3 i4 is 0 2 R1i1 R2i2 us 0 3 KVL方程 R2i2 R3i3 R4i4 0 4 解 返回 解 列写下图所示含受控源电路的支路电流方程 方程列写分两步 1 先将受控源看作独立源列方程 2 将控制量用支路电流表示 KCL方程 i1 i2 i3 i4 0 1 i3 i4 i5 i1 0 2 例2 返回 KVL方程 R1i1 R2i2 uS 0 3 R2i2 R3i3 R5i5 0 4 R3i3 R4i4 u2 0 5 补充方程 u2 R2i2 6 返回 练习 求图示电路的各支路电流 解 各支路电流的参考方向如图所示 独立的KCL方程为 2U i2 3 i4 0 3 i4 i5 0 以网孔为独立回路 则独立的KVL方程为 2i2 2i4 U 0 将受控源的控制量用支路电流表示 U 8i5 联立求解得 U 2 4Vi2 3 3Ai4 3 3Ai5 0 3A i1 2U 4 8A end 2 5网孔法和回路法 网孔电流是在网孔中闭合的 对每个相关节点均流进一次 流出一次 所以KCL自动满足 若以网孔电流为未知量列方程来求解电路 只需对网孔列写KVL方程 对图示的两个网孔 网孔电流分别为il1 il2 各支路电流可用网孔电流线性表示 i1 il1 i2 il2 il1 i3 il2 2 5 1网孔电流法 loopcurrentmethod 以网孔电流为未知量列写电路方程分析电路的方法 返回 网孔方程的建立 1 标明各网孔电流及其参考方向 2 以网孔电流为未知量 列写其KVL方程 3 解上述方程 求出各网孔电流 进一步求各支路电压 电流 返回 自电阻总为正 R11 R1 R2 网孔1的自电阻 等于网孔1中所有电阻之和 R22 R2 R3 网孔2的自电阻 等于网孔2中所有电阻之和 R12 R21 R2网孔1 网孔2之间的互电阻 等于两网孔公共电阻的正值或负值 当两个网孔电流以相同方向流过公共电阻时取正号 否则取负号 uS11 uS1 uS2 网孔1中所有电压源电压升的代数和 us22 uS2 网孔2中所有电压源电压升的代数和 当电压源电压方向与该网孔方向一致时 取负号 反之取正号 R1 R2 il1 R2il2 uS1 uS2 R2il1 R2 R3 il2 uS2 返回 由此得标准形式的方程 一般情况 对于具有m个网孔的电路 有 其中 Rjk 互电阻 两个网孔电流以相同方向流过公共电阻 两个网孔电流以相反方向流过公共电阻 0 无关 不含受控源的线性网络Rjk Rkj 系数矩阵为对称阵 Rkk 自电阻 为正 k 1 2 l 绕行方向取网孔电流参考方向 当网孔电流均取顺 或逆 时针方向时 互阻Rjk均为负 返回 网孔法的一般步骤 1 标明网孔电流及其参考方向 2 列写各网孔电流方程 3 求解上述方程 得各网孔电流 5 其它分析 4 指定各支路电流的参考方向 根据支路电流与网孔电流的线性组合关系 求各支路电流 返回 例1 用网孔电流法求各支路电流 解 1 设网孔电流ia ib和ic为顺时针方向 2 列网孔方程 R1 R2 Ia R2Ib US1 US2 R2Ia R2 R3 Ib R3Ic US2 R3Ib R3 R4 Ic US4 对称阵 且互电阻为负 3 求解回路电流方程 得Ia Ib Ic 4 求各支路电流 I1 Ia I2 Ib Ia I3 Ic Ib I4 Ic 返回 例2用网孔电流法求解电流I 解 由于I2 2A已知 所以只需对网孔1列写方程 20 30 I1 30I2 40 由此可得I1 0 4A 故I I1 I2 0 4 2 1 6A 问 若电流源在中间支路 又该如何列写网孔方程 20I1 u 40 1 u 50 30 I2 0 2 补充方程2 I1 I2 3 返回 将VCVS当作独立源建立方程 找出控制量和网孔电流关系 4Ia 3Ib 2 3Ia 6Ib Ic 3U2 Ib 3Ic 3U2 例3 用网孔电流法求含有受控电压源电路的各支路电流 解 将 代入 得 各支路电流为 I1 Ia 1 19A I2 Ia Ib 0 27A I3 Ib 0 92A I4 Ib Ic 1 43A I5 Ic 0 52A 由于含受控源 方程的系数矩阵一般不对称 返回 例4 列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程 方法1 以网孔为独立回路 引入电流源电压为变量 增加网孔电流和电流源电流的关系方程 返回 方法2 选取独立回路时 使理想电流源支路仅仅属于一个回路 该回路电流即IS 返回 2 5 2回路分析法 以b n 1 个独立回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法 网孔电流法是回路分析法的一个特例 网孔法只适用于平面电路 而回路法对非平面电路同样适用 例3用回路分析法求图示电路中的各支路电流 思路 为减少联立方程数目 选择回路的原则是使每个电流源支路只流过一个回路电流 解 选择图示三个回路电流 则i3 2A i4 1A已知 只需列写i1所在的回路方程 5 3 1 i1 1 3 i3 5 3 i4 20 解得i1 4A 故i2 i1 i4 4 1 3A i5 i1 i3 4 2 2Ai6 i1 i3 i4 1A 返回 节点电压法 以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法 2 6节点电压法 nodevoltagemethod 选取某一个节点为参考节点 则其余的每一个节点到参考节点的压降称为该节点的节点电压 参考点电位为0 节点电压方程实质上是KCL方程 所以节点电压法的独立方程数为 n 1 个 与支路电流法相比 方程数可减少b n 1 个 返回 1 选定参考节点 标明其余n 1个独立节点的电压 2 对节点 列KCL方程 i1 i5 iS 0 i1 i2 i3 0 i3 i4 i5 0 由欧姆定律得 i1 G1 un1 un2 i2 G2un2i3 G3 un2 un3 i4 G4un3i5 G5 un1 un3 Us 返回 整理 得 上式简记为 G11un1 G12un2 G13un3 is11 uS11G G21un1 G22un2 G23un3 is22 uS22G 3 求解上述方程可得各支路电压 G31un1 G32un2 G33un3 is33 US33G 返回 G11 G1 G5 节点1的自电导 等于接在节点1上所有支路的电导之和 但不包括与理想电流源串联的电导 G22 G1 G2 G3 节点2的自电导 等于接在节点2上所有支路的电导之和 G12 G21 G1 节点1与节点2之间的互电导 等于接在节点1与节点2之间的所有支路的电导之和 并冠以负号 自电导总为正 互电导总为负或零 两节点无直接相连的支路时 电流源支路电导为零 返回 节点法的一般步骤 1 选定参考节点 标定n 1个独立节点 2 对n 1个独立节点 列写节点电压方程 3 求解上述方程 得到n 1个节点电压 5 其它分析 4 求各支路电流 用节点电压表示 iS11 iS 流入节点1的电流源电流的代数和 流入为正 uS11G usG5 与节点1相连的电压源串联电阻支路转换成等效电流源后流入节点1的源电流的代数和 电压源的正极与节点相连取正号 返回 用节点法求各支路电流 例1 1 列节点电压方程 UA 21 8V UB 21 82V I1 120 UA 20k 4 91mA I2 UA UB 10k 4 36mA I3 UB 240 40k 5 45mA I4 UB 40 0 546mA I5 UB 20 1 09mA 2 解方程 得 3 各支路电流 解 返回 1 先把受控源当作独立源列写方程 2 再把控制量用节点电压表示 例2 列写下图含VCCS电路的节点电压方程 uR2 un1 解 思路 返回 含纯理想电压源支路的节点电压法 1 对只含一条纯理想电压源支路的电路 可取纯理想电压源支路的一端为参考节点 取节点4为参考节点 则Un2 us4为已知 只需对节点1 3列节点电压方程 返回 2 对只含两条或两条以上纯理想电压源支路 但它们汇集于一节点的电路 可取该汇集点为参考节点 取节点4为参考节点 则Un1 us3 Un2 us4为已知 故只需对节点3列节点电压方程 返回 3 如果电路中含有一个以上的纯理想电压源支路 且它们不汇集于同一点 如下图 则Un2 US4成为已知值 则需对节点1 3列写方程 再补充约束方程 Un3 Un1 Us1 如图选择参考节点 返回 试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程 方法1 以电压源电流为变量 增加一个节点电压与电压源间的关系 方法2 选择合适的参考点 G1 G2 U1 G1U2 I G1U1 G1 G3 G4 U2 G4U3 0 G4U2 G4 G5 U3 I U1 U3 US U1 US G1U1 G1 G3 G4 U2 G3U3 0 G2U1 G3U2 G2 G3 G5 U3 0 例3 end 支路法 网孔法和节点法的比较 2 对于非平面电路 选独立回路不容易 而独立节点较容易 3 网孔法 节点法易于编程 目前用计算机分析网络 电网 集成电路设计等 采用节点法较多 1 方程数的比较 end 在线性电路中 任一支路电流 或电压 都是电路中各个独立电源单独作用时 在该支路产生的电流 或电压 的代数和 2 4叠加定理 SuperpositionTheorem 单独作用 一个电源作用 其余电源不作用 即置0 返回 举例证明定理 i i 同样可以证明 线性电阻电路中任意支路的电压等于各独立源在此支路产生的电压的代数和 返回 叠加定理解题步骤 1 标出需求未知量的参考方向 2 画出单电源作用分解图 不作用的电压源均用短路代替 电流源均用开路代替 3 在分解图中求出未知量的各分量 4 进行叠加 求得未知量 返回 例1 求图中电压u 解 1 10V电压源单独作用时 4A电流源开路 u 4V 2 4A电流源单独作用时 10V电压源短路 u 4 2 4 9 6V 共同作用 u u u 4 9 6 5 6V 返回 例2 求电压Us 1 10V电压源单独作用 2 4A电流源单独作用 解 返回 Us 10I1 U1 10I1 4I1 10 1 4 1 6V Us 10I1 U1 10 1 6 9 6 25 6V 共同作用 Us Us Us 6 25 6 19 6V 返回 例3 求图中电压U 解 当电压源单独作用时 当电流源单独作用时 1 叠加定理只适用于线性电路求电压和电流 不能用叠加定理求功率 功率为电源的二次函数 不适用于非线性电路 应用叠加定理时注意以下几点 4 叠加时注意参考方向下求代数和 2 不作用的电压源短路 不作用的电流源开路 3 含受控源 线性 电路亦可用叠加 受控源应始终保留 若I I I U U U 则P U I P U I P UI U U I I U I U I U I U I P P U I U I 返回 齐性原理 homogeneityproperty 当电路中只有一个激励 独立源 时 则响应 电压或电流 与激励成正比 返回 解 设IL 1A 法一 分压 分流 法二 电源变换 法三 用齐性原理 单位电流法 U K Us U UL KILRL 返回 可加性 additivityproperty 线性电路中的任一电压 电流均可以表示为以下形式 线性 例4 例5 返回 已知N1为线性含源单口 N2为线性电阻网络 当U1 2V U2 3V时 Ix 45A 当U1 1V U2 1V时 Ix 25A 当U1 U2 0V时 Ix 10A 试求当U1 U2 5V时 UX 解 设N1中独立电源单独作用产生的电流为IX 电源U1 U2单独作用时 其电流分别为Ix 和Ix 且IX K1U1 IX K2U2 由叠加定理得IX IX IX IX K1U1 K2U2 Ix 由已知得 求得 当U1 U2 5V时 Ix 10 5 5 5 10 85AUx RIx 85 2 170V end 2 5替代定理 SubstitutionTheorem 任意一个电路 其中第k条支路的电压已知为uk 电流为ik 那么就可以用一个电压等于uk的理想电压源 或电流等于ik的独立电流源 来替代该支路 替代前后电路中各处电压和电流均保持不变 返回 证明 AC等电位 返回 说明 1 替代定理适用于线性 非线性电路 定常和时变电路 2 被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系 1 原电路和替代后的电路必须有唯一解 2 替代定理的应用必须满足下列条件 返回 3 替代后其余支路及参数不能改变 例1在如图所示电路中 已知U 1 5V 试用替代定理求 U 解 设电流I如图所示 将3 支路用0 5A的电流源替代 例2求如图所示电路中的电流I 解 将受控源支路用电流源替代 例3电路如图所示 已知的VCR为 试用替代定理求 解 求出的VCR 将用电流源替代 例4求图示电路在I 2A时20V电压源发出的功率 解 利用替代定理 将右边部分用2A电流源代替 列写网孔方程 4I1 2 2 20 解得I1 6A 20V电压源发出的功率为120W P 20 I1 120W 例5 若要使 试求Rx 解 用替代 返回 U U U 0 8 0 6 Ix 0 2Ix Rx U Ix 0 2Ix Ix 0 2 或U 0 1 0 075 I 0 025I end 单口网络 由元件组成的 对外只有两个端钮的网络整体 又称二端网络 2 6戴维南定理和诺顿定理 Thevenin NortonTheorem 返回 无源单口网络可用端口的入端电阻来等效 例 求图示单口网络的等效电路 用加流求压法可得 U I I R 1 RI 其等效电路为 返回 注意 含有受控源的无源单口网络等效电阻可能为负值 有源单口网络可等效为实际电压源或者实际电流源 用实际电流源来等效代替有源单口网络的分析法称诺顿定理 用实际电压源来等效代替有源单口网络的分析法称戴维南定理 返回 任何线性含源单口网络N 对外电路来说 可以用一个独立电压源UOC和电阻Ro的串联组合来等效替代 其中电压UOC等于该网络的开路电压 电阻Ro等于网络中所有独立电源置零后所得网络的入端等效电阻 2 6 1戴维南定理 TheveninTheorem 返回 证明 u Uoc 外电路开路时a b间开路电压 返回 戴维南定理的解题步骤 在电路分析中 如果被求量集中在一条支路上 由可利用戴维南定理求解 解题步骤如下 1 将分离出被求支路后的电路作为一个有源单口网络 则该有源单口网络可用戴维南定理等效 2 求有源单口网络的开路电压UOC 3 求有源单口网络的等效内阻R0 4 在第 1 步的等效电路中求被求量 返回 求内阻R0方法一 当电路是由独立电源与电阻构成时 求内阻的无源网络由纯电阻构成 一般情况下 可利用电阻的串联与并联变换求出内阻R0 R0 R1 R2 R3 R4 返回 求内阻R0方法二 当单口网络含有受控电源时 求内阻时可采用外加电压求电流法 I0 返回 求内阻R0方法三 当单口网络含有受控电源时 求内阻时可采用开路电压短路法 返回 法2 外加电源法 如果含源单口网络中含有受控源 则将内部独立源全部置零后 在其端口外加电压源u时 求出端口电流i 则Ro u i 求等效电阻Ro方法小结 法1 电阻化简法 如果含源单口网络中不含有受控源 则将内部独立源全部置零后 根据串并联化简或Y 等效变换求得Ro 法3 开路短路法 如果含源单口网络中含有受控源 则将外电路直接短路 求出短路电流iSC 则Ro uoc isc 注意 此法内部独立源始终保留 返回 思路 将ab以左的有源单口网络用戴维南等效电路代替 返回 解 1 求uoc 由节点电压法得 解得 Un1 21 25VUn2 22 5V 所以uOC Un2 22 5V 2 求R0 利用电阻化简法 Ro 20 10 10 10 返回 3 原电路等效为 当R为10 20 100 时的电流分别为1 125A 0 75A 0 205A 返回 例2试证明 若含源单口网络的开路电压为uOC 短路电流为iSC 则戴维南等效电路的串联电阻为Ro uoc isc 证明 由戴维南定理可知 显然 iSC UOC Ro 所以 Ro uoc isc 返回 解 1 求开路电压UoC UoC 6I1 3I1 返回 当含源单口网络中含有受控源时 只要受控源是线性的 且含源单口网络内外无控制与控制的关系 控制量若为端口的电压或电流也可 则戴维南定理仍适用 注意 2 求等效电阻Ro 方法1开路短路法 求出短路电流ISC 则Ro Uoc ISC 3I1 6I1 Isc 1 5A Ro Uoc Isc 9 1 5 6 返回 方法2外加电压法 独立源置零 受控源保留 U 6I1 3I1 9I1 3 等效电路 返回 例4 用戴维南定理求图中电流I 解 将1 电阻支路断开 求出以a b为端口的戴维南等效电路 a b 1 求Uoc 2 求RO 3 原电路等效为 例5 求如图所示电路的戴维南等效电路 解 1 求Uoc 2 求RO 开路短路法 3 戴维南等效电路为 任何一个含源线性单口网络 对外电路来说 可以用一个电流源和电阻的并联来等效替代 其中电流源的电流等于该端口的短路电流 而电阻等于把该端口的全部独立电源置零后的等效电阻 2 6 2诺顿定理 NortonTheorem 返回 例6用诺顿定理求电流I 解 断开4 电阻所在支路 求出其余电路的诺顿等效电路 1 求短路电流ISC 由叠加原理求得 2 求等效电阻RO 3 原电路等效为 例7求诺顿等效电路 解 1 求短路电流ISC 此时i1 0 所以Isc 10 100 5 0 095A 2 求等效电阻R0 返回 法1 开路短路法 Un1 Un2 用节点电压法求解 求得Uoc Un2 1 27V 法2 外加电源法 0 98i1 5k 16k 100k i1 U I 故R0 Uoc Isc 1 27 0 095 13 34 i1 U 16k i2 0 98i1i3 u 100 I i1 5又I i1 i2 i3 所以R0 U I 13 34 返回 3 其诺顿等效电路为 返回 由此得Rf R0 称其为匹配条件 此时 最大功率传递定理 当Rf Ro时 负载上获得的功率最大 最大值为 2 6 3最大功率传递定理 返回 例8 R多大时能从电路中获得最大功率 并求此最大功率 解 返回 R 4 29 获最大功率 返回 戴维南定理总结 求开路电压网孔法 节点法 叠加定理求内阻加压求流 短路电流戴维南等效端口的选取受控源及其控制量均在被等效电路中什么时候考虑用戴维南定理求电路一个支路电量 最大功率传输问题 end 2 7特勒根定理和互易定理 2 7 1特勒根定理 Tellegen sTheorem 特勒根功率定理 对任一具有n个节点 b条支路的电路 都有 该定理表明 对任何电路 在任何瞬间t 各支路吸收功率的代数和恒等于0 返回 具有相同拓扑结构的电路 N 返回 N 例 各支路电压 电流均取关联的参考方向 对应支路取相同的参考方向 返回 网络N和N 具有相同的拓扑结构 2 各支路电压 电流均取关联的参考方向 1 对应支路取相同的参考方向 取 N 特勒根似功率定理 则 返回 例已知如图 求电流ix 解 设电流i1和i2 方向如图所示 由特勒根定理 得 返回 例 1 R1 R2 2 Us 8V时 I1 2A U2 2V 2 R1 1 4 R2 0 8 Us 9V时 I1 3A 求U2 解 利用特勒根定理 由 1 得 U1 4V I1 2A U2 2V I2 U2 R2 1A 返回 例 U1 10V I1 5A U2 0 I2 1A 解 返回 2 7 2互易定理 ReciprocityTheorem N0 u1 u2 由特勒根定理可得 对纯电阻网络 有 返回 可得 i1 i2 第一种形式 激励 电压源 响应 电流 对图 a u1 uS u2 0 对图 b u1 0 u2 uS 代入 当激励电压源与短路端口互换位置时 短路端口的电流响应不变 结论 返回 当us us时 则i1 i2 使用时注意方向 返回 可得 u1 u2 第二种形式 对图 a i1 iS i2 0 对图 b i1 0 i2 iS 代入 当激励电流源与开路端口互换位置时 开路端口的电压响应不变 结论 激励 电流源 响应 电压 返回 第三种形式 对图 a i1 iS u2 0 对图 b i1 0 u2 uS 可得 u1 i2 代入 结论 以相同大小的激励电压源uS取代激励电流源is并换位 则短路端口的电流响应与开路端口的