[理学]理论力学第一章冯维明主编.ppt

第一篇运动学 第一篇运动学 制作与设计山东大学工程力学系 TheoreticalMechanics TheoreticalMechanics 第一篇运动学 一 运动学的研究任务1 研究物体的机械运动及运动的几何性质 2 研究机构传动规律 二 学习运动学的目的1 学习动力学的基础 受力分析和运动分析是学习动力学的两大基础 2 学习机械原理和设计传动机构的基础 3 解决工程问题 引言 TheoreticalMechanics 三 研究方法不考虑引起运动的原因 只研究运动的几何性质 四 研究对象将实际物体抽象化为两种力学模型 几何学意义上的点 或动点 和不考虑质量的刚体 点 无质量 无大小 在空间占有其位置的几何点 刚体 物体内任意两点之间的距离始终保持不变 第一篇运动学 引言 TheoreticalMechanics 第一章点的运动学 1 1点的运动的矢量表示法 1 2点的运动的直角坐标表示法 1 3点的运动的自然表示法 TheoreticalMechanics 第一章点的运动学 1 1矢量表示法 TheoreticalMechanics 运动方程 运动方程用点在任意瞬时t的位置矢量r t 表示 r t 简称为位矢 r r t 表示动点M在空间运动时 矢径r的末端将描绘出一条连续曲线 称为矢径端图 它就是动点运动的轨迹 1 1点的运动的矢量表示法 O TheoreticalMechanics 速度 t瞬时 矢径r t 点在t瞬时的速度 r t r t t r t t时间间隔内矢径的改变量 t t瞬时 矢径r t t 或r 动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数 1 1点的运动的矢量表示法 TheoreticalMechanics 速度 描述点在t瞬时运动快慢和运动方向的力学量 速度的方向沿着运动轨迹的切线 指向与点的运动方向一致 速度大小等于矢量的模 1 1点的运动的矢量表示法 TheoreticalMechanics 加速度 点在t瞬时的加速度 t t瞬时 速度v t t 或v t瞬时 速度v t 1 1点的运动的矢量表示法 TheoreticalMechanics 加速度 描述点在t瞬时速度大小和方向变化率的力学量 加速度的方向为 v的极限方向 指向与轨迹曲线的凹向一致 加速度大小等于矢量a的模 点的加速度为矢量 1 1点的运动的矢量表示法 TheoreticalMechanics 第一章点的运动学 1 2直角坐标表示法 TheoreticalMechanics 1 2点的运动的直角坐标表示法 运动方程 不受约束的点在空间有三个自由度 在直角坐标系中 点在空间的位置由三个方程确定 x f1 t y f2 t z f3 t r xi yj zk 矢径r与x y z的关系 TheoreticalMechanics 速度 矢径 结论 点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的一阶导数 1 2点的运动的直角坐标表示法 TheoreticalMechanics 已知速度的投影求速度 方向由方向余弦确定 大小 1 2点的运动的直角坐标表示法 TheoreticalMechanics 加速度 点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数 1 2点的运动的直角坐标表示法 TheoreticalMechanics 加速度 点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数 加速度大小 方向余弦 1 2点的运动的直角坐标表示法 TheoreticalMechanics 第一章点的运动学 1 3自然表示法 TheoreticalMechanics 1 3点的运动的自然表示法 运动方程 若点沿着已知的轨迹运动 则点的运动方程 可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述 弧坐标特点 1 在轨迹上任选一参考点作为坐标原点 2 有正 负方向 一般以点的运动方向作为正向 反之为负 即弧坐标是一代数量 3 坐标系为自然轴系 s f t TheoreticalMechanics 密切面与自然轴系 密切面 当P 点无限接近于P点时 过这两点的切线所组成的平面 称为P点的密切面 1 3点的运动的自然表示法 TheoreticalMechanics M点的密切面 1 3点的运动的自然表示法 TheoreticalMechanics 由密切面得到的几点结论 1 3点的运动的自然表示法 1 空间曲线上的任意点都存在密切面 而且是惟一的 2 空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长 可以看作是位于密切面内的平面曲线 3 对于平面曲线而言 密切面就是该曲线所在的平面 4 曲线在密切面内的弯曲程度 称为曲线的曲率 用1 表示 5 曲线在垂直于密切面的平面内的曲率 称为第二曲率 TheoreticalMechanics 自然轴系 M为空间曲线上的动点 b为过动点P垂直于切线和主法线的直线 其正向由确定 自然轴系M nb 为过动点P的密切面内的切线 其正向指向弧坐标正向 n为密切面内垂直于切线的直线 其正向指向曲率中心 过M点作垂直于 的平面 称为曲线在M点的法面 1 3点的运动的自然表示法 TheoreticalMechanics 自然轴系 自然轴系M nb 1 3点的运动的自然表示法 TheoreticalMechanics 自然轴系的特点 跟随动点在轨迹上作空间曲线运动 自然轴系的基矢量 n b 自然轴系的单位矢量 n b是方向在不断变化的单位矢量 固定的直角坐标系的单位矢量i j k 则是常矢量 1 3点的运动的自然表示法 TheoreticalMechanics 弧坐标中的速度表示 点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数 1 3点的运动的自然表示法 TheoreticalMechanics 跟随动点在轨迹上作空间曲线运动 自然轴系的特点 1 3点的运动的自然表示法 式中 TheoreticalMechanics 有关两点讨论 1 3点的运动的自然表示法 和分别表示速度的大小与方向 TheoreticalMechanics 根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式 弧坐标中的加速度表示 1 3点的运动的自然表示法 TheoreticalMechanics 1 3点的运动的自然表示法 当时 和以及同处于M点的密切面内 这时 的极限方向垂直于 亦即n方向 TheoreticalMechanics 加速度表示为自然轴系投影形式 1 3点的运动的自然表示法 TheoreticalMechanics 几点讨论 1 3点的运动的自然表示法 TheoreticalMechanics 几点讨论 点的加速度的大小和方向 1 3点的运动的自然表示法 例在图的摇杆滑道机构中 滑块M同时在固定圆弧槽BC和摇杆OA的滑道中滑动 圆弧BC的半径为R 摇杆的转轴O在BC弧的圆周上 摇杆绕O轴以匀角速度转动 当运动开始时 摇杆在水平位置 求 1 滑块相对于BC弧的速度 加速度 2 滑块相对于摇杆的速度 加速度 TheoreticalMechanics 第一章点的运动学 例题 TheoreticalMechanics 先求滑块M相对圆弧BC的速度 加速度 解法1 BC弧固定 故滑块M的运动轨迹已知 宜用自然法求解 以M点的起始位置为原点 逆时针方向为正 方向如图 方向如图 第一章点的运动学 例题 TheoreticalMechanics 解法2 直角坐标法 建立图示坐标系 第一章点的运动学 例题 TheoreticalMechanics 在轨迹已知情况下 用自然法不仅简便 而且速度 加速度的几何意义很明确 讨论 第一章点的运动学 例题 TheoreticalMechanics 求滑块M相对于摇杆的速度与加速度 将参考系Ox 固定在OA杆上 此时 滑块M在OA杆上作直线运动 相对轨迹是已知的OA直线 M点相对运动方程为 方向沿OA且与x 正向相反 其方向沿指向x 轴负向 第一章点的运动学 例题 TheoreticalMechanics 第一章点的运动学 例题 例一炮弹以初速和仰角射出 如图所示的直角坐标系的运动方程为 求时炮弹的切向加速度和法向加速度 以及这时轨迹的曲率半径 解 炮弹的运动方程以直角坐标给出 因此它的速度和加速度在x y轴上的投影分别为 TheoreticalMechanics 第一章点的运动学 例题 当t 0时 炮弹的速度和全加速度的大小分别为 若将加速度在切线和法线方向分解 则有 TheoreticalMechanics 第一章点的运动学 例题 式中 当t 0时 由上式得 由 求得时轨迹的曲率半径为 则 TheoreticalMechanics 第一章点的运动学 例题 解 取点M与直线轨道的接触点O为原点 建立如图所示的直角坐标系Oxy 当轮子转过角时 轮子与直角轨道的接触点为C 由于是纯滚动 有 TheoreticalMechanics 第一章点的运动学 例题 M点的直角坐标运动方程为 a M点的速度沿坐标轴的投影为 b M点的速度为 c 运动方程式 a 是一个摆线 这表明M点的运动轨迹是摆线 如图所示 TheoreticalMechanics 第一章点的运动学 例题 取M的起始点O作为弧坐标原点 将式 c 的速度v积分 即得用弧坐标表示的运动方程为 加速度在直角坐标系上的投影为 d 全加速度为 TheoreticalMechanics 第一章点的运动学 例题 将式 c 对时间t求导 得点M的切线加速度为 法线加速度为 e 由