[经济学]第二章人身保险的数理基础.ppt

人身保险 PERSONINSURANCE 第二章人身保险的数理基础 2 1寿险精算概论2 2利息理论2 3生命表和生命函数2 4生存年金2 5人寿保险保费的确定2 6健康和人身意外伤害保险保费的确定 2 1 1寿险精算的概念2 1 2寿险精算的起源2 1 3寿险精算的内容2 1 4寿险精算的意义2 1 5寿险精算的基础 2 1寿险精算概论 2 1 1寿险精算的概念 保险精算的概念保险精算就是运用数学 统计学 金融学 保险学及人口学等学科的知识和原理 对保险业经营管理中的各个环节进行数量分析 为保险业提高管理水平 制定策略和做出决策提供科学依据和工具的一门学科保险精算 寿险精算和非寿险精算 一个案例 2000年初成立了XYZ人寿保险公司 注册资本为20亿元 假设该公司出售一种两全保单 一生如意 该保单是这样设计的 保险金额为10万元 当被保险人在60岁前死亡时或活到60岁时支付 问题 问题一 该保单应该如何定价 问题二 在资产负债表上 如何确定该保单相应的负债 问题三 被保险人如果退保 该返还其多少 问题四 如果该产品是分红保单 如何确定红利的分配原则 问题五 如何对该保单的利润进行敏感性分析 问题六 保费收入如何投资以及如何进行资产负债管理 问题七 怎样才能确保该公司的偿付能力 问题八 如何确定该公司的价值 寿险精算的概念 概念 是在对人身保险事故出险率及出险率的变动规律加以研究的基础上 考虑资金投资回报率及其变动 根据保险种类 保险金额 保险期限 保险金给付方式 保险费缴纳方式及保险人对经营费用等的估计等 对投保人需缴纳的保险费水平 保险人有不同时期必须准备的责任准备金以及人身保险的其他方面等进行的科学精确的计算 1693年 英国天文学家 数学家爱德华 哈雷根据德国布雷斯劳市居民的死亡资料 编制了世界上第一个完整的死亡表 有科学的方法精确地计算出各年龄段人口的死亡率 18世纪 托马斯 辛普森根据哈雷的死亡表构造了依据死亡率变化而变化的保险费率表 后来 詹姆斯多德森又根据年龄的差异确定了更为精确的保险费率表 1724年 法国数学家亚伯拉罕 德 莫伊维提出了死亡法则 寿险精算的起源 寿险精算的内容 人身保险按投保人数的不同 可分为一元生命人身保险复合生命人身保险 随机事件与概率大数定律及其在保险中的应用 2 1 5寿险精算的基础 寿险精算的基础 随机事件与概率随机试验符合符合以下特征的事件 1 可以在相同的条件下重复地进行 2 每次试验的可能结果不止一个 并且能事先明确实验的可能结果 3 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 概率 表示随机事件的可能性的大小 概率在就表示某种事件出现的可能性就大 0 P A 1 寿险精算的基础 大数定律及其在保险中的应用大数定律应用于保险时得出的最有意义的结论是 当保险标的的数量足够大时 通过以往统计数据计算出的估计损失概 精算师的职业排名 TheBestandWorstJobs 2008 什么是精算学和精算师 精算学是指综合运用数学 统计学和金融理论研究经济市场 特别是其中涉及保险 养老金计划中的随机现象的一门学科 精算师就是指那些运用精算学知识分析研究经济风险的专职从业人员 精算师的工作范围除了保险公司外 还遍及咨询机构 政府机构 大型企业的员工福利计划部门 医院 银行和投资公司等所有需要研究经济风险的部门 保险精算的发展和现状 精算职业范围的发展精算职业团体的发展精算学作为一门学科的发展 专门职业和精算师 它的基本目的是为公众及公众利益提供服务 它为成员个人提供支持 并提高成员集体的社会地位 它是一个学习性的社团 鼓励研究 促进成员之间的交流 它的成员具有专业技能 对那些在专业技能考试中达到必需标准的成员 它经常以签名证书的形式给予资格证明 它通过提供后续职业教育 帮助并要求成员保持职业技能 它建立了成员所必须遵循的行为规范和实践标准 它拥有惩戒程序以保证成员遵守行为规范和维护职业标准 精算职业的目标 正确和实用的理论 高尚的道德标准和服务客户 雇主或其他公共利益的意愿 精算师在为公共利益提供服务中的角色 比如保险公司的指定精算师 组织形成具有凝聚力的自我管理团体 愿意为解决公众和社会服务的争论作出贡献 保持资质标准 提高职业声誉 保险精算的发展和现状 从传统产品到非传统产品从寿险到非寿险 养老金 财务和投资从保险公司到咨询机构 政府部门从各个国家独立的精算制度到国际统一的精算标准 精算在我国的发展 精算职业团体在我国的发展精算教育在我国的发展精算师资格考试 如何才能成为合格的精算师 第一种以欧洲大部分国家和拉美国家为代表 一般只要在大学取得相应的学位后 在实务领域有一定工作经验后即可由精算职业组织认可其为精算师 第二种以北美和英联邦国家为代表 主要凭参加精算职业组织举行的职业资格考试来认可精算师资格 我们国家的精算考试体系属于上述第二种精算师资格认可体系 也就是说 考生必须通过专门的精算职业资格考试才能获得中国精算师资格 精算师应该具有的三项基本素质 职业道德 其基本原则有 精算师应该为公众利益服务 精算师有责任保护客户的隐私 精算师在明确自己有足够的知识和经验后才能提供精算建议 公司 客户和精算师本人的利益有冲突时 精算师应当向客户说明 精算师如果违背了职业道德的要求 将受到精算职业组织的惩罚 专业素质 精算师的专业素质主要表现为量化分析金融市场特别是保险市场中的随机现象的能力 也是保险公司参与市场竞争最重要的比较优势之一 沟通能力 精算师不仅要懂得如何利用精算知识发现和解决问题 也必须懂得如何向包括政府监管部门 公司管理层和股东 投保人和其他相关公众交流自己的研究结果 保险精算的主要内容 寿险精算利息理论生命表理论寿险精算数学非寿险精算非寿险精算数学养老金精算和其它精算理论投资和财务理论 2 2 1利息概述及度量2 2 2利息力2 2 3利率 贴现率及息力之间的关系2 2 4现金流的现值与终值的计算2 2 5确定年金 2 2利息理论 是借贷关系中借款人为取得资金的使用权而支付给贷款人的报酬 从投资的角度看 利息是一定量的资本经过一段时间的投资后产生的价值增值 利息补偿了贷款者因为让度资金的使用权而可能遭受的损失理论上 利息可以是任何有价值的东西 未必一定是资本或货币实际中 利息多用货币资本表示 利息的基本概念 利息 得到的 付出的 基本概念 本金 每项业务开始时投资的金额称为本金 终值 业务开始一定时期后回收到的总金额称为该时刻的积累值 或积累值 利息 终值 本金 或积累值 本金 暂时假定 在投资期间不再加入或抽回本金 以后将放松这一假设 时间单位 度量期 或 期 除非特别声明 一个度量期就是一年 2 2 1利息概述及度量 利息的度量 终值函数1终值函数2第N期利息 单位货币的终值函数 期初投资的1元本金在时刻t时所得到的总价 是度量利息和利率最基本的工具 K个货币单位的终值函数 终值函数a t A t A 0 I t a t A t A 0 A t K a t A 0 K a t 有时也称为t期积累因子 累积函数简称a 1 为积累因子 终值函数金额函数贴现函数第N期利息 1 K 1 0 t 终值函数a t A t A 0 I t a t A t A 0 A t K a t A 0 K 性质 1 初始值 本金 2 3 若连续结转利息 则累积涵数为连续涵数 否则为非连续涵数 4 累积涵数必然通过 0 1 和 1 1 i 两点 四种常见终值函数的图形 贴现函数a 1 t 也叫为t期贴现因子 a 1 1 简称为贴现因子 并简记为v 为了在t期末得到某个积累值 而在开始时投资的本金金额 称为该积累值的现值 或折现值 现值函数 一个货币单位的终值在期初的价值 也称贴现函数 现值函数a 1 t A 1 t K a 1 t 终值函数金额函数贴现函数第N期利息 1 K 1 0 t 例题2 1 假设终值函数如果期初的100元在第三年末可以累积到172元 试计算在第五年末可以累积到多少元 例题 1 例题2 2 如果A t t2 2t 3 试确定对应的终值函数a t 并验证a t 是否满足三个基本性质 满足三个基本性质 2 2 1利息概述及度量 2 利息的定义 资本借入者因使用资本而支付给资本所有者的一种报酬 即使用资本的代价 影响利息大小的三要素本金利率时期长度 利率 利息 本金 利率的本质 反映资金增长速度 3 利息计算的方法 3 利息计算的方法 线形积累单利 指数积累复利 实际利率 是指在某一时期开始时 投资一单位本金时 在此时期内应获之利息 实际利率是在期末支付且整个时期内只支付一次利息 用i表示 如果一个时期内支付或结转若干次利息 相应的利率称为名义利率 3 利息计算的方法 例2 3 某人以1万元本金进行5年投资 前2年的利率为5 后3年的利率为6 分别以单利和复利计算5年后的累计积累值 答案 单利 simpleinterest 一 含义 1 每期只对本金计算利率2 每期的利息为常数3 利息总量与时期数线性正相关二 单利的累积涵数 单利具有线性累积涵数 三 单利累积涵数的特点 利息 本金 利率 时期数 实际利率是时间的减涵数 例题2 4如果 试计算i5 复利 compoundinterest 一 复利的含义 1 每期都对本金和上期的利息计算利息2 每期的利息是变数二 复利的累积涵数 三 特点 例题2 5 复利的实际利率就等于复利率 单利与复利的区别 相同点 1 单利和复利投资的本金在整个投资期间不变2 原始投资利率在整个投资期间不变 区别 1 单利的实际利率是时间的减涵数 复利的实际利率是一常数2 在时刻0和时刻1时 单利和复利的累积值相等 该期间内产生的利息相等3 单利在相等的期间内有相等的利息额 复利在相等的期间内有相等的利息增长率4 单利考虑绝对增量的变化 复利考虑相对增量的变化5 复利几乎用于所有的金融业务 单利只用于短期计算或复利的不足期近似计算 单复利计息之间的相关关系 单利的实质利率逐期递减 复利的实质利率保持恒定 时 相同单复利场合 单利计息比复利计息产生更大的积累值 所以短期业务一般单利计息 时 相同单复利场合 复利计息比单利计息产生更大的积累值 所以长期业务一般复利计息 单 复利场合积累函数示图 单利与复利的比较 例 以年利率5 为例 比较单利和复利计算方法的异同效果 解 1 单利情况下 每年的实际利率水平 6年内 实际利率水平降低了一个百分点 2 复利的实际利率等于复利率3 复利累计值超过单利累计值3 的时刻 可见 经过6年的时间 复利方式比相同单利方式的累积值超过了3 2 2 1利息概述及度量 4 利息的度量实际利率 i名义利率 i m 名义利率和实际利率的相互转化i 1 i m m m 1名义贴现率和实际贴现率D 1 1 d m m m 利息转换频率不同 实质利率 以一年为一个利息转换期 该利率记为实质利率名义利率 在一年里有m个利息转换期 假如每一期的利率为j 有 利息力 假如连续计息 那么在任意时刻t的瞬间利率叫作利息力 实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率 名义利率类似 名义利率与实际利率转化 名义利率 1 1 实际利率与名义利率关系 名义利率 1 一个度量周期内结转m次利息的利率 2 度量的是资本在一个小区间内的实际利率 3 必须于一个度量周期内所包含的小区间的个数相联系名义利率与实际利率的关系 在年名义利率一定的条件下 m越大 年实际利率越大 休息 名义贴现率 名义贴现率 1 1 名义贴现率 名义贴现率 1 一个度量周期内收取n次贴现值的贴现率 2 度量的是一个小区间内的实际贴现率名义贴现率与实际贴现率的关系 休息 在年名义贴现率一定的条件下 一年内结转的贴现次数越多 年实际贴现率越小 贴现函数与实际贴现率 贴现函数 贴现是累积的逆运算 是计算现在值 贴现函数是累积函数的倒数 贴现与累积是两种互相对称的计算货币时间价值的方法 时刻t的一个单位货币在时刻0的价值称为贴现函数 discountfunction 单利的贴现涵数 复利的贴现涵数 称v为贴现因子 贴现函数与实际贴现率 实际贴现率 一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值 其中的利息是在期末实现的 注意 1 d i2 对于同样一笔业务 利息值与贴现值相等3 利息在期末支付 贴现在期初收取4 利率说明了资本在期末获得利息的能力 贴现率说明了资本在期初获得利息的能力 单利的实际贴现率 单利的实际贴现率dt 例 i 10 单利 试计算d5 实际利率与实际贴现率的关系 1 2 3 贴现函数 4 累积函数 5 这一关系的字面意义是 借贷1元 在期末还1 i 等价于期初借1 d 在期末还1元 单贴现 1 单贴现 与单利相对应 每一时刻的贴现额相等 贴现涵数为 2 单贴现不同于单利 具有与单利相类似但反向的性质 3 当投资时期加长时 单利的实际利率递减 而单贴现的实际贴现率递增 复贴现 复贴现 每一时刻产生的贴现值不相等 贴现函数为 单贴现和复贴现对单个时期产生的结果相同 对较长的时期 单贴现比复贴现产生较小的现值 而对较短的时期则情况相反 例题2 6 已知某项投资在一年中能得到的利息金额为336元 而等价的贴现金额为300元 求投资本金 解 设本金为p 则pi 336 pd 300 例2 7 1 确定500元以季度转换8 年利率投资5年的积累值 2 如以6 年利 按半年为期预付及转换 到第6年末支付1000元 求其现时值 3 确定季度转换的名义利率 使其等于月度转换6 名义贴现率 1 2 3 例题 如何用贴现率比较收益 现有面额为100元的债券在到期前一年的时刻价格为95元 一年期储蓄利率为5 25 如何进行投资选择 解 从贴现的角度看 债券的贴现率为 储蓄的贴现率为 从年利率的角度看 债券的 而储蓄的年利率为5 25 因此 债券投资略优于储蓄 2 2 2利息力 利息力又简称息力 是衡量在某个确切点上利率水平的指标 用 表示a t e t dta 1 t e 1 t dt 利息力 利息强度 利息力 要求累积函数必须是连续的 且可微 既是每个瞬间都可以进行利息的换算 1 度量了资本在无穷小区间上的获利能力 2 刻画了资本在每一时刻上的获利强度 3 是累积函数的相对变化率 4 是连续结转利息时的名义利率 5 累积函数由利息力和时间长度唯一确定 利息力 定义 瞬间时刻利率强度 等价公式 一般公式恒定利息效力场合 例2 8 确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值1 2 例2 8答案 利息力 利息强度 例题3 如果 确定投资1000元在第1年末的累计值和第二年内的利息金额 解 常数利息力 1 资本在任一时点上的获利强度都相等 记为 2 利息力为常数时 实际利率也是常数 反之未必 常数利息力和实际利率的关系式 例题 已知年度实际利率为8 求等价的利息强度 解 例题 一笔业务按利息强度6 计息 求投资500元 经过8年的累计值 解 单利和复利的利息力 单利的累积函数 a t 1 it 复利为a t 1 i t 单利的利息力 是时间的减函数 复利的利息力 与时间无关 贴现力 贴现效力 1 贴现函数的单位变化率 2 度量每一时刻上获得贴现值的能力 记为 利息力与贴现力是等价的 关系 2 2 3利率 贴现率及息力之间的关系 名义利率与名义贴现率的关系 相同计息期内的 实际利率与实际贴现率之间的关系是 当李 名义利率与名义贴现率之间的关系为 实际利率与名义贴现率之间的关系 名义利率与实际贴现率之间的关系 例题2 9 1 初始投资500元 每季度结转一次利息的年利率为8 5年后的累积值是多少 2 年利率6 每半年结转一次 到第6年末时可得1000元 现时投资要多少 例题 3 已知每年计息12次的年名义贴现率为8 求等价的实际利率 解 例题 4 以每年计息2次的年名义贴现率为10 在6年后支付5万元 求其现值 解 设现值为PV 则 例题 5 一张100元的期票在到期前3个月被人以96元买走 试确定 1 购买者所得到的按季度转换的名义贴现率2 购买者所得到的年度年度实质利率 解 1 季度贴现额 100 96 4元 季度贴现率 年名义贴现率 4 4 16 2 季度实际利率 利率和贴现率 期末计息 利率第N期实质利率期初计息 贴现率第N期实质贴现率 单利场合利率与贴现率的关系 复利场合利率与贴现率的关系 复利场合利率与贴现率的关系 某人投资1万元 如果以5 的利率复利计息 那么此人利息获取的方式是怎样的 两年后一共获得多少利息 如果该投资项目是以5 的贴现率复利计息 那么此人利息获取的方式是怎样的 两年后一共获得多少利息 已知利息率 求a t 已知利息率 求a 1 t 已知贴现率 求a t 已知贴现率 求a 1 t 已知息力 求a t 或a 1 t 2 2 4现金流的现值与终值的计算 已知利息率 求a t 设本金为了 经过t后的终值 1 在单利的条件下 a t 1 it 2 在复利的条件下 a t 1 i t 3 在实际利率的条件下 a t 1 i1 1 i2 1 it 4 在名义利率的条件下 a t 1 i m m mt 已知利息率 求a 1 t 设时期t的终值为1 1 在单利的条件下 a 1 t 1 it 1 2 在复利的条件下 a 1 t 1 i t 3 在实际利率的条件下 a 1 t 1 i1 1 1 i2 1 1 it 1 4 在名义利率的条件下 a 1 t 1 i m m mt 已知贴现率 求a t 1 在单贴现率的条件下 a t 1 dt 1 0 t 1 d 2 在复贴现率的条件下 a t 1 d t 3 在实际贴现率的条件下 a t 1 d1 1 1 d2 1 1 dt 1 4 在名义贴现率的条件下 a t 1 d m m mt 已知贴现率 求a 1 t 1 在单贴现率的条件下 a 1 t 1 dt 2 在复贴现率的条件下 a 1 t 1 d t 3 在实际贴现率的条件下 a 1 t 1 d1 1 d2 1 dt 4 在名义贴现率的条件下 a 1 t 1 d m m mt 利息问题求解 利息问题求解四要素原始投资本金投资时期长度利率及计息方式期初 期末计息 利率 贴现率积累方式 单利计息 复利计息利息转换时期 实质利率 名义利率 利息效力本金在投资期末的积累值 利息问题求解原则 本质 任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题工具 现金流图方法 建立现金流分析方程 求值方程 原则 在任意时间参照点 求值方程等号两边现时值相等 例2 10 求本金 某人为了能在第7年末得到1万元款项 他愿意在第一年末付出1千元 第3年末付出4千元 第8年末付出X元 如果以6 的年利率复利计息 问X 答案 以第7年末为时间参照点 有以第8年末为时间参照点 有请同学们自己练习以其他时刻为时间参照点 例2 11 求利率 1 某人现在投资4000元 3年后积累到5700元 问季度计息的名义利率等于多少 2 某人现在投资3000元 2年后再投资6000元 这两笔钱在4年末积累到15000元 问实质利率 答案 1 2 例2 12 求时间 假定分别为12 6 2 计算在这三种不同的利率场合复利计息 本金翻倍分别需要几年 答案 近似答案 ruleof72 例2 13 求积累值 某人现在投资1000元 第3年末再投资2000元 第5年末再投资2000元 其中前4年以半年度转换名义利率5 复利计息 后三年以恒定利息力3 计息 问到第7年末此人可获得多少积累值 答案 年金 在一定时期内在相等的时间间隔上所作的一系列给付 并不局限于每年给付一次 只要相等时间间隔每次的给付额可以是固定量 也可以是非固定量 2 2 5确定年金 年金 annuity 间隔相等的一系列收付款或间隔相等的一系列资金流 如 房屋的租金 抵押贷款 分期付款 利息付款 保险费的缴纳 保险费的领取及养老金 手机和电话的月租费 公用事业费等 是许多复杂现金流的基础 是利率计算的最直接的一种应用 分类基本年金 比如等额年金 间隔周期相等的等额资金流 等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金 年金的种类 1 确定年金和风险年金 确定年金的支付时间和支付金额事先确定风险年金的支付时间和支付金额不确定2 定期年金和永续年金 定期年金的支付期限是有限期间 有固定的到期日 付息债券的息票永续年金的支付期限是无限的 没有到期日 股息 休息 3 期初付年金和期末付年金 期初付年金的支付是在每个周期的期初 月初发工资和养老金期末付年金的支付是在每个周期的期末 月末发工资和养老金4 即期年金和延期年金 即期年金是指当期开始支付 延期年金是指一定时期后开始支付5 等额年金和变额年金 等额年金的每期支付额相等 变额年金的每次支付额不全相等 确定年金 年金的一种形式 只要事先约定 就必定支付的年金 仅与利率有关 而与人的生死无关分类 付款时刻不同 期初付年金 期末付年金 即期年金 延期年金付款期限不同 有限年金 永久年金 年金支付期等于利息结算期的确定年金 期末付年金an i V V2 Vn 1 Vn ISn 1 1 i 1 i n 1 期初付年金期末付年金和期初付年金的关系 年金支付期大于利息结算期的确定年金 期末付年金期初付年金 年金支付期小于利息结算期的确定年金 期末付年金期初付年金 年金的现值 年金现值 年金在期初的价值1 期末付定期年金的现值 单位资金的收付 时期0年金 2 1 n 1 n 1 1 1 1 example 1 Findthepresentvalueofanannuitywhichpays 500attheendofeachhalf yearfor20years iftherateofinterestis9 convertiblesemiannually example 2 Ifapersoninvests 1000at8 perannumconvertiblequarterly howmuchcanhewithdrawattheendofquartertouseupthefundexactlyattheendof10years 年金的现值 2 预付定期年金的现值 单位资金的收付 时期0年金 2 1 n 1 n 1 1 1 休息 1 1 年金现值的关系 年金的现值 3 期末付永续年金的现值 4 期初付永续年金的现值 休息 年金的终值 年金终值 年金在支付结束时的累积值 永续年金没有终值1 期末付定期年金终值 单位资金的收付 0 1 2 n 2 n 1 n 时期年金 1 1 1 1 1 1 i 休息 年金的终值 2 期初付定期年金的终值 0 1 2 n 2 n 1 n 时期年金 1 1 1 1 i 1 期初付定期年金终值与期末付定期年金终值的关系 1 2 例题2 14 1 一位投资者希望投资一笔年金 到第12年之末积累到1000元 为此他打算每年年底存入一笔钱 最后一次存款将在投资时期结束前一年 如果此基金的实质利率为7 问他每年应存入多少钱 解 视为期初付款 建立求值方程 课堂练习题 有一笔1000元的贷款 为期10年 若实际利率为年率9 试对下面三种还款方式比较其利息总量 1 第10年末 本金利息一次还清2 每年支付利息 本金第10年末归还3 贷款在10年期内按每年付款数相同的原则还清解 2 每年的利息 1000 0 09 90 所以支付的利息总量为90 10 900元 3 设相等的付款为R 为何第三种方式的利息较小 例题2 15 1 某银行客户想通过零存整取的方式在1年后获得10000元 在月复利0 5 的情况下 每月初需要存入多少钱 才能达到其要求 解 依具题意 设每月初的存款额为D 有 年金现值与终值的关系 1 年金现值与终值之间的换算关系 1 期末付定期年金的终值与其现值的关系 2 期初付定期年金的终值与其现值的关系 2 年金现值与终值之间的倒数关系 1 期末付定期年金 2 期初付定期年金 年金在任意时点上的值 1 年金在支付期限开始前任意时点上的值2 年金在支付期限内任意时点上的值3 年金在支付期限结束后任意时点上的值 假定 计算的日期离开每次付款日期为整数个时期 年金在支付期限开始前任意时点 m 上的值 现值 1 期末付定期年金 1 将现值往前贴现 2 计算总的现值 再减去前m个时期的现值 2 期初付定期年金 1 将现值往前贴现 2 计算总的现值 再减去前m个时期的现值 3 期末付永续年金 通过求极限的方式计算 前m个时期的现值为 当m为非整数时 上述结论同样成立 年金在支付期内任意时点上的值 计算原则 将年金分成两个期限较短的年金 年金在任意时点上的值就等于前一个年金的终值加上后一个年金的现值 一般而言 一项经过m次付款 m n 的n个时期年金 其当前值为 对期初付年金而言 年金在支付期结束后任意时点上的值 计算原则 先计算年金的终值 再按复利往后累计 计算出累计值即可 1 期末付年金 2 期初付年金 例题2 16 A留下一笔100000元的遗产 这笔遗产头十年的利息付给受益人B 第2个10年的利息付给受益人C 此后的均付给慈善事业D 若此项财产的年实际利率为7 试确定B C D在此项财产中各得多少份额 B所占的份额为 C所占的份额为 D所占的份额为 练习题 1 某家庭从子女出生时开始积累大学教育费用5万元 如果他们前十年每年底存款1000元 后十年每年底存款1000 X 年利率7 计算X 651 72 2 价值10000元的新车 购买者计划分期付款 每月底还款250元 期限4年 月结算年利率18 计算首次付款金额 1489 36 3 已知a7 5135 a11 7036 a18 9180 计算i 8 3 4 从1990年6月7日开始 每季度年金100元 直到2001年12月7日 季度结算的年利率为6 计算 1 该年金在1989年9月7日的现值2 该年金在2002年6月7日的终值 3256 88 6959 37 年金的利率问题求解 任何一个年金问题都包含四个变量 1 现值或终值 a s 2 收付额 R 3 利率 i 4 支付期数 n 计算其中的未知利率 1 建立求值方程2 求解未知的利率可以用 1 解析法 2 线性插值法 3 迭代法 基本年金图示 111 100 111 1000 11 111 111 111 延付永久年金 初付永久年金 延付年金 初付年金 基本年金公式推导 例2 17 有一企业想在一学校设立一永久奖学金 假如每年发出5万元奖金 问在年实质利率为20 的情况下 该奖学金基金的本金至少为多少 利息理论在人身保险定价中的运用保险人应在其所收入的保险费中设立责任准备金用于其在以后要承担的给付保险金的责任 责任准备金在履行给付之前 保险公司可以利用它进行投资 其收益由保险公司在计算保险费率时 按照一定的收益率计算给被保险人 人寿保险期限越长 利息的作用就显得越为重要 对保险费率的影响也就越大 一般情况下存在两种常见的计算利息的方式 即单利和复利 通常的情况下 保险公司在厘定保险费率和进行保险投资是考虑的都是复利 保险金额的确定 财产保险合同的保险金额的确定有客观依据 即 实际值 保险利益等 人寿保险合同的保险金额是由合同当事人双方协议产生 确定人寿保险合同的保险金额时 应考虑投保人的交费能力和被保险人对保险保障的需求两个因素 关于交费能力 1 限制交费年期2 限制交费比例3 规定保险金额不得超过被保险人年收入的若干倍 关于被保险人对保险保障需求的分析 1 本人需求 2 他人需求 考虑上述两点 就可以粗略确定被保险人的保险金额了 此外 保险人从控制个别巨额风险考虑 通常还规定每个被保险人所能投保的最高限额 关于人寿保险合同的保险金额确定方法人们进行了广泛的研究 这里介绍两种具有代表性的方法 1 生命价值 理论 TheConceptofHumanLifevalue 2 人身保险设计 法 TheMethodofPersonalInsuranceProgramming 1 生命价值 理论 TheConceptofHumanLifevalue 该理论是美国宾夕法尼亚大学休布纳 S S Huebner 教授在1924年首次提出的 该理论认为 人的生命价值由其工资收入扣除个人生活费用之后剩余部分的资本化价值来决定 生命价值就是应该投保的保险金额 假如某人现年35岁 已婚 每年能为家庭提供10000元的净收入 直到65岁退休时为止 则收入分布如下图 1000010000 1000010000353637 6465假如平均的年利率为8 则由年金现值公式可以求出30年期 每年收入10000元的年金现值为 其中 10000 10000 112577 8 元 因此 可以以120000元作为该人的投保金额 如果该人死亡 其家属可以得到120000元的保险金 该保险金以8 的投资收益率进行投资所产生的年投资收益为9600元 与该被保险人生存时为家庭提供的净收入基本相等 以上就是生命价值理论的基本原理 2 人身保险设计 法 TheMethodofPersonalInsuranceProgramming 即根据被保险人的经济需要来确定保险金额方法主要通过对下列有关项目估计来进行 丧葬费用医疗费用抵押贷款其它债务子女教育费用遗属生活费用其它 对比归纳 生命价值 理论着眼点是被保险人所能提供的经济收入 适用于设计死亡保险合同的保险金额 由此得出的保险金额一般不存在交费能力问题 人身保险设计 法着眼点是被保险人对保险的需求 适用于各种寿险合同的保险金额设计 但其设计的保险金额存在与交费能力不协调的矛盾 思考题 若你或你的亲人准备购买人身保险 请你根据具体情况确定最适合的险种和合理的保险金额 例2 18 某人以月度转换名义利率5 58 从银行贷款30万元 计划在15年里每月末等额偿还 问 1 他每月等额还款额等于多少 2 假如他想在第五年末提前还完贷款 问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱 答案 1 2 例2 19 某人在30岁时计划每年初存入银行300元建立个人帐户 假设他在60岁退休 存款年利率假设恒定为3 1 求退休时个人帐户的积累值 2 如果个人帐户积累值在退休后以固定年金的方式在20年内每年领取一次 求每年可以领取的数额 答案 1 退休时个人帐户积累值计算 2 退休后每年可领取退休金 基本年金公式总结 二 一般年金 一般年金利率在支付期发生变化付款频率与利息转换频率不一致每次付款金额不恒定分类支付频率不同于计息频率的年金支付频率小于计息频率的年金支付频率大于计息频率的年金变额年金 支付频率不同于计息频率年金 分类支付频率小于利息转换频率支付频率大于利息转换频率方法通过名义利率转换 求出与支付频率相同的实际利率 年金的代数分析 支付频率小于计息频率年金 0 k 2k nk 计息 支付 1 1 1 某人每年年初在银行存款2000元 假如每季度计息一次的年名义利率为12 计算5年后该储户的存款积累值 方法一 利率转换法方法二 年金转换法 有一永久年金每隔k年末付款1元 问在年实质利率为i的情况下 该永久年金的现时值 支付频率大于利息转换频率 0 第m次每次支付 第2m次每次支付 第nm次每次支付 计息 支付 1 2 n 年金分析方法 方法一 利率转换法 年金转换法 某购房贷款8万元 每月初还款一次 分10年还清 每次等额偿还 贷款年利率为10 98 计算每次还款额 方法一 方法二 永久年金 一笔年金为每6个月付1元 一直不断付下去 且第一笔付款为立即支付 问欲使该年金的现时值为10元 问年度实质利率应为多少 年金关系 一般年金代数公式 变额年金 等差年金递增年金递减年金等比年金 等差年金 一般形式积累值现时值 特殊等差年金 例2 20 某人第1年末存近银行1000元 以后每年都在前一年的基础上加存100元 假如此人共存了10年钱 在年实质利率为5 的情况下 求第10年末此人帐户上的积累值 答案 例2 21 有一项延付年金 其付款额从1开始每年增加1直至n 然后每年减少1直至1 试求其现时值 答案 等比年金 例2 22 某期末付永久年金首付款额为5000元 以后每期付款额是前一期的1 05倍 当利率为0 08时 计算该永久年金的现时值 答案 例2 23 我国城镇职工基本养老保险采取社会统筹与个人帐户相结合的方式个人帐户以个人缴费工资的8 记入如果某职工从20岁参加个人帐户保险 当年工资为6000元工资年增长率为2 个人帐户的累计利率为4 求他在60岁退休时个人帐户的积累值 答案 3 3 1生命表3 3 2生命函数 2 3生命表和生命函数 生存状况 生存表与生存模型 通常 我们把寿险公司出售的合同称为寿险保单 按寿险保单的约定 保险人 即寿险公司 将根据被保险人在约定时间内的生存或死亡决定是否给付保险金 这种只有在特定事件发生时才给付的保险金称作条件支付 contingentpayment 其最重要特征就是它发生的不确定性 一个人的未来生存时间是不确定的 只有在特殊情况下才是预先可知的 被保险人在未来某个时期的生死是一个不确定性事件 对这个不确定性事件的研究是寿险精算中最重要的工作之一 它决定着保险金的给付与否 它的研究把数学和生存与死亡概率结合在一起 从数学的角度 生存状况是一个简单的过程 这个过程有如下的特征 存在两种状态 生存和死亡 单个的人 经常称作生命个体 可被划分为生存者或死亡者 生命个体可从 生存 状态到 死亡 状态 但不能相反 任何个体的未来生存时间都是未知的 所以我们应从生存或死亡概率的探讨而着手生存状况的研究 生命表 生存模型 生命表 生存模型 生命表 又称死亡表 是对一定时期的特定人群生存和死亡情况的记录 生存模型就是对此过程建立的一个数学模型 用数学公式进行清晰的描述 从而对死亡率的问题作出了一些解释 1 生命表 又称死亡表 是对一定时期某一国家或地区的特定人群自出生直至全部死亡这段时间内的生存和死亡情况的记录 生命表中记载的生存数 死亡数 生存率 死亡率及平均余命等是寿险精算的基础 生命表一般具有几个特点 1 人群基数为L0 2 集合是封闭的 即一旦选定 就不再有人进入 集合人数减少的唯一原因是自然死亡 3 集合中各成员在每一年龄段上的死亡率是确定 2 3 1生命表 下面就是生存模型可回答的例子 一个45岁的人在下一年中死亡的概率是多少 假若有1000个45岁的人 那么他们中有多少人可能在下一年内死亡 如果某一45岁的男性公民 在投保了一个10年的定期的某种人寿保险 那么应该向他收多少保费 一些特定因素 如一天吸50根烟 对于45岁的男性公民的未来生存时间的影响是怎样的 2 生存模型 T x 表示x岁人的余命 即年龄为X岁的人未来存活的时间 通常简写为TFx t 表示T的分布函数 定义为Fx t P T t 表示x岁的人在t年内死亡的概率 Sx t 表示x岁人的生存函数 定义Sx t 1 Fx t 表示x岁的人将至少活到x t岁的概率 Sx t S0 x t S0 x 年龄为x岁 x 0 的人的未来生存时间 新生婴儿的未来生存时间 未来生存时间的密度函数 一 未来一年的生存与死亡概率 二 未来任意期限内的生存与死亡概率 一 未来一年的生存与死亡概率 和 二 未来任意期限内的生存与死亡概率 未来生存时间的密度函数 3 生命表的结构 X 被观察的人口年龄Lx 生存数 指x岁的生存人数dx 死亡数 指x岁的在一年内死亡的人数Px 生存率 指x岁的人在一年后仍生存的概率Qx 死亡率指x岁的人在一年内死亡的概率 生命表的结构 Lx Lx 1 dxPx Lx 1 LxQx dx LxPx Qx 1 lx 存活到确切整数年龄x岁的人口数 x 0 1 1 ndx 在x x n岁死亡的人数 当n 1时 简记为dxnqx x岁的人在x x n岁死亡的概率 当n 1时 简记为qx 196 Lx Lx 1 dxPx Lx 1 LxQx dx LxPx Qx 1 4 生命表的选择 生命表是针对确定的人群 依不同的划分标准 生命表可分为不同的类型国民生命表和经验生命表男子表和女子表及男女混合表选择表 综合表和截断表寿险生命表和年金生命表 生命表一般分为国民生命表 nationallifetable 和经验生命表 experiencelifetable 两大类 国民生命表是以全体国民或特定地区的人口生存状况统计资料编制成的经验表是人寿保险公司依据过去其承保的被保险人实际的生存状况统计资料编制的 在同一时期内 国民生命的死亡率一般要高于经验表的死亡率 国民生命表又可分为 完全生命表 completelifetable 和简易生命表 abridgedlifetable 完全生命表是根据准确的人口普查资料 依年龄分别计算死亡率 生存率 平均余命等生命函数而编制的 简易生命表则采取每年的人口生存状况动态统计资料和人口抽样调查的资料 按年龄段 如5岁或10岁为一段 计算的死亡率 生存率 平均余命等生命函数 经验生命表又可分为 终极表 ultimatetable 选择表 selecttable 综合表 aggregatetable 等 终极表是指剔除了被保险人投保后5至15年的经验数据 根据被保险人最终的死亡率编制的生命表 也就是按照承保选择的影响消失后的死亡率来编制生命表 1958年美国保险监督官标准普通生命表是一种终极生命表 选择表是一种不同与终极表的生命表 在人寿保险的承保过程中 经过体检等选择的被保险人的死亡率等风险低于一般人口的风险 而且最近几年选择的被保险人的死亡率风险低于前些年选择的被保险人的死亡率风险 考虑到这种选择因素的影响之后编制的生命表称为选择表 综合生命表是指不考虑保险契约有效后经过的年数 以整个保险期间为对象 根据不同年龄的被保险人的死亡率数据编制的生命表 由于根据人寿保险的经验数据编制的生命表不适用于年金保险 寿险公司常常要结合预测的将来较低的死亡率为年金保险专门编制一份年金生命表 人寿保险所使用的生命表一般都是静态表 随着社会科技与经济的发展 死亡率逐步降低 要定期地用根据较近经验数据编制的静态表代替原来的静态表 例如 美国1980年保险监督官标准普通生命表已取代了1958年保险监督官标准普通生命表 该表是根据1970年至1975年的死亡率数据编制而成的 分为男性生命表和女性生命表 显示了较低的死亡率 不同寿险业务的精算 应结合不同分类 选择适当的生命表作为预定死亡率的基础 选择生命表作为精算基础时 应考虑生命表人群的死亡状况与计算对象的死亡状况接近 一般整数年龄生命函数 1 tpx P T t Sx t S0 x t S0 x 2 tqx P T t Fx t 1 tpx 3 ux S 0 x S0 x 2 3 2生命函数 剩余寿命 定义 已经活到x岁的人 简记 x 还能继续存活的时间 称为剩余寿命 记作T x 分布函数 Fx t Fx t 基本函数 剩余寿命的生存函数 特别 Sx t 基本函数 x岁的人至少能活到x 1岁的概率 x岁的人将在1年内去世的概率 X岁的人将在x t岁至x t u岁之间去世的概率 个新生生命能生存到年龄X的期望个数 个新生生命中在年龄x与x n之间死亡的期望个数 特别 n 1时 记作 个新生生命在年龄x至x t区间共存活年数 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数 生命表基本函数 210 1 2 3 生命表基本函数 211 npx x x n岁的存活概率 与nqx相对的一个函数 当n 1 简记为px 生命表基本函数 212 nLx x岁的人在x x n生存的人年数 人年数是表示人群存活时间的复合单位 1个人存活了1年是1人年 2个人每人存活半年也是1人年 在死亡均匀分布假设下 x x n岁的死亡人数ndx平均来说存活了n 2年 而活到lx n岁的人存活了n年 故 当n 1时 生命表基本函数 213 x岁人群的平均余寿 表明未来平均存活的时间 当x为0时 表示出生时平均余寿 即出生同批人从出生到死亡平均每人存活的年数 Tx x岁的人群未来累积生存人年数 在均匀分布假设下 死亡效力 定义 的瞬时死亡率 简记死亡效力与生存函数的关系 死亡效力 死亡效力与密度函数的关系死亡效力表示剩余寿命的密度函数 死亡力 216 死亡力 217 实际上生命表x岁平均余寿 正是T x 随机变量的期望值 死亡力 218 生命表x岁死亡人数dx正是生存人数函数lx t与死亡力之积在0 1上的积分 生命表x岁生存人年数Lx正是生存人数函数lx t在0 1上的积分 生命表x岁累积生存人年数Tx正是生存人数函数lx t在0 上的积分 死亡力 219 对于x岁期望剩余寿命 可以证明 220 生命函数 余命 1 取整的余命 2 平均余命完全平均余命取整平均余命 整值剩余寿命 定义 未来存活的完整年数 简记概率函数 剩余寿命的期望与方差 期望剩余寿命 剩余寿命的期望值 均值 简记剩余寿命的方差 整值剩余寿命的期望与方差 期望整值剩余寿命 整值剩余寿命的期望值 均值 简记整值剩余寿命的方差 生命表实例 美国全体人口生命表 例2 24 已知计算下面各值 1 2 20岁的人在50 55岁死亡的概率 3 该人群平均寿命 答案 229 230 231 中国的生命表 中国生命表结构生命曲线生命特点 目前 各个人寿保险公司普遍在用的是 中国人寿保险业经验生命表 2000 2003 英文名称为 ChinaLifeInsuranceMortalityTable 2000 2003 简称 CL 2000 2003 其中包括 非养老金业务表两张 养老金业务表两张 分别是 非养老金业务男表 简称CL1 2000 2003 非养老金业务女表 简称CL2 2000 2003 养老金业务男表 简称CL3 2000 2003 养老金业务女表 简称CL4 2000 2003 选择 终极生命表 选择 终极生命表构造的原因需要构造选择生命表的原因 刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员 需要构造终极生命表的原因 选择效力会随时间而逐渐消失选择 终极生命表的使用 选择 终极表实例 生命函数 保险领域常用的死亡法则 1 亚伯拉罕 德 莫伊夫拉 AbrahamdeMoivre 死亡法则 2 戈姆珀兹 Gompertz 死亡法则 3 梅克汉姆 Makeham 死亡法则 生存函数保险领域常用的死亡法则AbrahamdeMoivre死亡法则 为极限 最终 年龄Gompertz死亡法则 令 对上式积分得 C为常数 Makeham死亡法则 A C为常数 有关寿命分布的参数模型 DeMoivre模型 1729 Gompertze模型 1825 有关寿命分布的参数模型 Makeham模型 1860 Weibull模型 1939 参数模型的问题 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型 这四个常用模型的拟合效果不令人满意 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布 而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布 在非寿险领域 常用参数模型拟合物体寿命的分布 2 4 1生存年金概述2 4 2年付一次的生存年金2 4 3年付m次的生存年金2 4 4每年连续给付的生存年金 2 4生存年金 生存年金概述 生存年金也是年金的一种形式 它是以人的生存作为年金支付的条件 即以特定的人仍在生