四川省内江市第二职业中学七年级数学《排 列》课件.ppt

排列 看下面的问题 问题1从甲 乙 丙3名同学中选出2名同学参加某天的一项活动 其中1名同学参加上午活动 1名同学下午参加活动 有多少种不同的排法 解决这一问题需分2步进行 第1步 确定参加上午活动的同学 从3人中任选1人 有3种选法 第2步 确定参加下午活动的同学 当参加上午活动的同学确定后 参加下午活动的同学只能从余下到人中去选 于是有2种选法 根据分步记数原理 在3名同学中选2名 按照参加上午活动在前 参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3x2 6种 如下图所示 上午下午 相应的排法甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙 我们把上面问题中取的对象叫做元素 于是 所提出的问题从3个不同的元素a b c中任取2个 然后按一定的顺序排成一列 求一共有多少种不同的排列方法 所有不同的排列是ab ac ba bc ca cb 这些排列的种数是3x2 6 问题2从a b c d这4个字母中 每次取出3个按顺序排成一列 共有多少种排法 第1步 先确定左边的字母 在a b c d这4个字母中任取1个 有4种方法 第2步 确定中间的一个字母 当左边的字母确定后 中间的字母只能从余下的3个字母中去取 有3种方法 第3步 确定右边的字母 当左边 中间的字母都确定后 右边的字母只能从余下的2个字母中去取 有2种方法 根据分步记数原理 从4个不同的字母中 每次取出3个顺序排成一列 共有4x3x2 24种不同的排法 由此可写出所有的排法 abcbaccabdababdbadcaddacacbbcacbadbaacdbcdcbddbcadbbdacdadcaadcbdccdbdcb 排列的定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 这一定义包含两个基本内容 一是 取出元素 二是 按照一定的顺序排列 一定顺序 就是与位置有关 这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志 根据排列的定义 两个排列相同 当且仅当两个排列的元素完全相同 且元素的排列顺序也相同 例如在问题2中 abc与abd的元素不完全相同 它们是不同的排列 又如abc与acb 虽然元素完全相同 但元素的排列顺序不同 它们也是不同的排列 排列数的定义 从n个不同的元素中取出m个 m n 个元素的所有排列的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 用符号amn表示 说明 amn a是排列的第一个字母 m是取出元素数 n是元素总数 m n所满足的条件是 1 m n n n 2 m n 前面的问题1 是从3个不同元素中取出2个元素的排列是 它记为a23 已经算出a23 3x2 6 前面的问题2 是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数记为a34 已经算出a34 4x3x2 24 那么 从n个不同元素中取出2个元素的排列数a2n是多少 a3n呢 amn m n 呢 求排列数a2n可以这样考虑 假定有排好顺序的2个空位 如图 从n个不同元素a1 a2 an中任意取2个去填空 一个空位填一个元素 每一种填法就得到一个排列 反过来 任一个排列总可以由这样的一种填法得到 因此 所有不同填法的种数就是排列数a2n 第1位n第2位n 1 现在我们计算有多少种不同的填法 完成填空这件事可分为2个步骤 第1步 先填第1个位置的元素 可以从这n个元素中任选1个填空 有n种方法 第2步 确定填在第2个位置的元素 可以从剩下的n 1个元素中任选1个填空 有n 1种方法 于是 根据分步记数原理 2个空位的填法种数为a2n n n 1 求排列数a3n可以按依次填3个空位来考虑 得到a3n n n 1 n 2 同样 求排列数amn可以按依次填m个空位来考虑 假定有排好顺序的m个空位 如图 从n个不同元素a1 a2 an中任意取m个去填空 一个空位填1个元素 每一种填法就对应一个排列 因此 所有不同填法的种数就是排列数amn 第1位n第2位n 1第3位n 2第m位n m 1 填空可分n个步骤 第1步 第1位可以从n个元素中任选一个填上 共有n种填法 第2步 第2位只能从余下的n 1个元素中任选一个填上 共有n 1中填法 第3步 第3位只能从余下的n 2个元素中任选一个填上 共有n 2种填法 第m步 当前面的m 1个空位都填上后 第m位只能从余下的n m 1 个元素中任选一个填上 共有n m 1种填法 根据分步记数原理 全部填满m个空位共有n n 1 n 2 n m 1 种填法 所以得到公式 这一公式的特点 m n n 且m n 1 m个连续正整数连乘积 2 最大因数为n以下已经次减1 最小因数是 n m 1 全排列 n个不同元素全部取出的一个排列 叫做n个不同元素的一个全排列 这时在排列数公式中 n m即有amn n n 1 n 2 3 2 1 阶乘 n个不同元素全部取出的排列数 等于正整数1到n的连乘积 正整数1到n的连乘积 叫做n的阶乘 用n 表示 所以n个不同元素的全排列数公式可以写成 说明 排列数公式两种不同形式的应用 一般的 1 连乘用于amn值的计算 2 阶乘形式用于有关amn的式子化简 amn n n 1 n 2 n m 1 n n 1 n 2 n m 1 n m 2 1 n m 2 1 n n m 因此 排列数公式还可以写成 当m n时 amn n 为了使上面的公式在m n时成立 我们规定0 1 应用 例1 1 a316 2 a66 3 a46 解 1 a316 16x15x14 3360 2 a66 6 720 3 a46 6x5x4x3 360 由于已知6 720 a46还可以这样计算 a46 6x