数学建模（方红）教学课件 18.微分方程.ppt

数学建模 微分方程模型 华中农业大学数学建模基地 微分方程模型 华中农业大学数学建模基地 微分方程模型 华中农业大学数学建模基地 在研究实际问题时 常常会联系到某些变量的变化率或导数 这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型 模型的使用背景 微分方程模型反映的是变量之间的间接关系 因此 要得到直接关系 就需要求解微分方程 微分方程建模是数学建模的重要方法 在科技工程 经济管理 生态环境 人口 交通等领域中有着广泛的应用 华中农业大学数学建模基地 微分方程模型的建立方法 根据规律列方程利用数学 力学 物理 化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型 微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式 与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律 华中农业大学数学建模基地 微分方程模型的建立方法 模拟近似法在生物 经济等学科的实际问题中 许多现象的规律性不很清楚 即使有所了解也是极其复杂的 建模时在不同的假设下去模拟实际的现象 建立能近似反映问题的微分方程 然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质 再去同实际情况对比 检验此模型能否刻画 模拟某些实际现象 华中农业大学数学建模基地 案例分析 缉私问题一艘缉私舰雷达发现距ckm处有一艘走私船正以匀速akm min沿直线行驶 缉私舰立即以最大的速度bkm min追赶 若用雷达进行跟踪 保持船的瞬时速度方向始终指向走私船 试求缉私舰追逐路线和追上的时间 华中农业大学数学建模基地 缉私问题 模型建立 建立如右坐标系 缉私船在 c 0 处发现走私船在 0 0 处 走私船逃跑方向为y轴方向 在t时刻 走私船到达R 0 at 缉私舰到达D x y 华中农业大学数学建模基地 缉私问题 根据题意有如下关系式 化简得 1 2 华中农业大学数学建模基地 将 2 代入 1 得 模型求解 1 求解析解 1 当 缉私问题 华中农业大学数学建模基地 当x 0时 缉私问题 华中农业大学数学建模基地 c 3km a 0 4 km min 分别取b 0 6 0 8 1 2 km min 缉私艇追赶路线图形如下 缉私问题 华中农业大学数学建模基地 2 求数值解 缉私问题 华中农业大学数学建模基地 2 zhui m x y ode23 zhuiji 500 1 0 0 调用ode23求解器求解方程组plot x y 1 画出图形 运行结果如右图 缉私问题 华中农业大学数学建模基地 人口增长模型 据考古学家论证 地球上出现生命距今已有20亿年 而人类的出现距今却不足200万年 纵观人类人口总数的增长情况 我们发现 1000年前人口总数为2 75亿 经过漫长的过程到1830年 人口总数达10亿 又经过100年 在1930年 人口总数达20亿 30年之后 在1960年 人口总数为30亿 又经过15年 1975年的人口总数是40亿 12年之后即1987年 人口已达50亿 我们自然会产生这样一个问题 人类人口增长的规律是什么 如何在数学上描述这一规律 华中农业大学数学建模基地 英国人口学家Malthus 模型假设 人口自然增长率r为常数即单位时间内人口的增长量与当时的人口呈正比 模型建立 1 指数增长模型 人口以几何级数增加 人口增长模型 华中农业大学数学建模基地 模型分析 人口将按指数规律无限增长 人口将始终保持不变 人口将按指数规律减少直至绝灭 模型求解 人口增长模型 华中农业大学数学建模基地 Malthus模型预测美国人口 华中农业大学数学建模基地 Malthus模型预测美国人口 华中农业大学数学建模基地 Malthus模型预测的优缺点 华中农业大学数学建模基地 2 阻滞增长模型 假设人口增长率r t 是t时刻人口x t 的减函数 其中 xm为考虑到受自然资源和环境条件限制所能容纳的最大人口数量 称最大人口容量 模型假设 模型建立 人口增长模型 华中农业大学数学建模基地 模型分析 定性分析 人口将递减并趋向于xm 人口将始终保持xm不变 人口将递增并趋向于xm 无论在哪种情况下 人口最终将趋向于最大人口容量 模型求解 人口增长模型 华中农业大学数学建模基地 人口增长模型 华中农业大学数学建模基地 阻滞增长模型预测美国人口 华中农业大学数学建模基地 阻滞增长模型预测美国人口 华中农业大学数学建模基地 阻滞增长模型预测的优缺点 华中农业大学数学建模基地 利用MATLAB求解Malthus模型和Logistic模型 预测美国人口数量 程序如下所示 k 197 273 xm 197 273r 0 03134 r 0 03134t 0 10 160 时间间隔为10年n0 3 929 n1 3 9295 3087 2407 63812 86617 06923 19231 44338 55850 15662 94875 99591 972105 711122 775131 669150 697 实际统计资料n2 n0 exp r t Malthus模型n3 k 1 k n0 1 exp r t Logistic模型t t 1790 plot t n1 k t n2 go t n3 华中农业大学数学建模基地 运行结果 黑色星号 Logistic模型预测值 绿色圆圈 Malthus模型预测值 蓝色曲线为实际统计值 华中农业大学数学建模基地 传染病模型 随着卫生设施的改善 医疗水平的提高及人类文明的不断发展 诸如霍乱 天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到了有效的控制 但是一些新的 不断变异着的传染病毒却悄悄地向人类袭来 20世纪80年代十分险恶的艾滋病毒开始肆虐全球 至今仍在蔓延 2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间 给人们的生命财产带来了极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的手段等 一直是有关专家关注的一个热点问题 华中农业大学数学建模基地 已感染人数 病人 i t 每个病人每天有效接触 足以使人致病 人数为 模型1 假设 若有效接触的是病人 则不能使病人数增加 建模 传染病模型 华中农业大学数学建模基地 模型2 区分已感染者 病人 和未感染者 健康人 假设 1 总人数N不变 病人和健康人的比例分别为 2 每个病人每天有效接触人数为 且使接触的健康人致病 建模 日接触率 SI模型 传染病模型 华中农业大学数学建模基地 模型2 传染病模型 华中农业大学数学建模基地 tm 传染病高潮到来时刻 日接触率 tm t tm di dt最大 传染病模型 华中农业大学数学建模基地 传染病模型II的函数图像 华中农业大学数学建模基地 模型3 传染病无免疫性 病人治愈成为健康人 健康人可再次被感染 增加假设 SIS模型 3 病人每天治愈的比例为 日治愈率 建模 日接触率 1 感染期 一个感染期内每个病人的有效接触人数 称为接触数 传染病模型 华中农业大学数学建模基地 编写MATLAB程序如下 y dsolve Dy 0 01 y 1 y 0 05 y y 0 0 7 x ezplot y 0 120 y2 dsolve Dy 0 3 y 1 y 0 15 y y 0 0 7 x y3 dsolve Dy 0 3 y 1 y 0 15 y y 0 0 3 x figure ezplot y2 0 25 figure ezplot y3 0 25 传染病模型 华中农业大学数学建模基地 传染病模型 不难看出 接触数 1 阈值 华中农业大学数学建模基地 模型4 传染病有免疫性 病人治愈后即移出感染系统 称移出者 SIR模型 假设 1 总人数N不变 病人 健康人和移出者的比例分别为 2 病人的日接触率 日治愈率 接触数 建模 需建立的两个方程 传染病模型 华中农业大学数学建模基地 模型4 SIR模型 华中农业大学数学建模基地 MATLAB程序如下 ts 0 50 x0 0 02 0 98 t x ode45 ill ts x0 调用ode45求解 ill 方程组plot t x 1 t x 2 grid 画出健康者和病人的变化曲线figure plot x 2 x 1 grid 画出相图functiony ill t x 函数ill 表示模型IVa 1 b 0 3 y a x 1 x 2 b x 1 a x 1 x 2 传染病模型 华中农业大学数学建模基地 画出健康者和病人的变化曲线 华中农业大学数学建模基地 结论 在初始时刻健康者和病人百分比的总和为1 病人的数量先增加然后下降 说明在某时刻传染病得到抑制 而治愈的人群退出此系统 所以最后系统的人群数量为0 这时所有的人群均是免疫者 传染病模型 华中农业大学数学建模基地 意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究 他从第一次世界大战期间 地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中 发现鲨鱼等的比例有明显增加 见下表 而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降 显然战争使捕鱼量下降 食用鱼增加 鲨鱼等也随之增加 但为何鲨鱼的比例大幅增加呢 他无法解释这个现象 于是求助于著名的意大利数学家V Volterra 希望建立一个食饵 捕食系统的数学模型 定量地回答这个问题 地中海鲨鱼问题 华中农业大学数学建模基地 地中海鲨鱼问题 华中农业大学数学建模基地 地中海鲨鱼问题 华中农业大学数学建模基地 模型 二 考虑人工捕获 设表示捕获能力的系数为e 相当于食饵的自然增长率由r1降为r1 e 捕食者的死亡率由r2增为r2 e 设战前捕获能力系数e 0 3 战争中降为e 0 1 则战前与战争中的模型分别为 地中海鲨鱼问题 华中农业大学数学建模基地 实线为战前的鲨鱼比例 线为战争中的鲨鱼比例 结论 战争中鲨鱼的比例比战前高 地中海鲨鱼问题 华中农业大学数学建模基地 微分方程模型稳定性 华中农业大学数学建模基地 常微分方程模型平衡点的稳定性 华中农业大学数学建模基地 一阶微分方程模型平衡点的稳定性 华中农业大学数学建模基地 一阶微分方程模型平衡点的稳定性 易知x0也是方程 4 2 的平衡点 4 2 的通解为 关于x0是否稳定有以下结论 这个结论对于 4 1 也是成立的 华中农业大学数学建模基地 微分方程组的平衡点的稳定性 华中农业大学数学建模基地 如果 则称平衡点P0是稳定的 微分方程组的平衡点的稳定性 华中农业大学数学建模基地 判别平衡点P0是否稳定的判别准则 则当p 0且q 0时 平衡点P0是稳定的 当p 0或q 0时 平衡点P0是不稳定的 微分方程组的平衡点的稳定性 华中农业大学数学建模基地 稳定性模型 建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定 不求解微分方程 而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性 华中农业大学数学建模基地 再生资源 渔业 林业等 与非再生资源 矿业等 再生资源应适度开发 在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益 问题及分析 在捕捞量稳定的条件下 如何控制捕捞使产量最大或效益最佳 如果使捕捞量等于自然增长量 渔场鱼量将保持不变 则捕捞量稳定 背景 实例 捕鱼业的持续收获 华中农业大学数学建模基地 假设 无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 建模 捕捞情况下渔场鱼量满足 r 固有增长率 N 最大鱼