[高等教育]概率论与数理统计 随机变量的独立性.ppt

两事件A B独立的定义是 若P AB P A P B 则称事件A B独立 随机变量的独立性 若X Y独立 则g X g Y 也独立 则相互独立等价于有 二维离散型随机变量的独立性 设二维离散型随机变量 X Y 的分布律为 解得或 或 设的分布律为 若相互独立 则 二维离散型随机变量的独立性 解 例1 则相互独立等价于有 二维离散型随机变量的独立性 设二维连续型随机变量 X Y 的联合密度为 设 X Y N 1 2 1 2 则 设的密度函数为 其它 问 X Y 是否独立 相互独立 例2 二维连续型随机变量的独立性 随机变量的分布是对随机变量的一种完整的描述 知道随机变量的分布就全都知道随机变量的所有特征 然后随机变量的概率分布往往不容易求得的 随机变量的数字特征 随机变量的这些统计特征通常用数字表示的 这些用来描述随机变量统计性的数字称为随机变量的数字特征 其中最重要的是数学期望和方差二种 加权平均 3 3 42 3 52 2 6 73 770 066 8 73 270 167 8 甲乙乙 学生甲乙参加数学竞赛 观察其胜负 4 1 数学期望的概念 设离散型随机变量X的分布律为 离散型随机变量的数学期望 P X xi pii 1 2 称为X的数学期望 数学期望是反映随机变量取值的集中趋势的量 例3某种产品每件表面上的疵点数服从参数为8的泊松分布 若疵点数不超过1为一等品 价值10元 疵点数大于1不多于4为二等品 价值8元 其它为废品 不值钱 求 1 产品的废品率 2 产品的平均值 解 1 设X为疵点数 则X P 0 8 其分布律为 离散型随机变量的数学期望 2 设Y为产品的价值 则Y的分布律为 离散型随机变量的数学期望 设连续型随机变量X的密度为f x 连续型随机变量的数学期望 称为X的数学期望 数学期望是反映随机变量取值的集中趋势的量 连续型随机变量的数学期望 例5X N 2 求E X 连续型随机变量的数学期望 数学期望 若X是离散型随机变量 Y g X 是X的随机变量函数 且E Y 存在 则 随机变量函数的数学期望 若X是连续型随机变量 Y g X 是X的随机变量函数 且E Y 存在 则 例7X U 0 求 随机变量函数的数学期望 例8 随机变量函数的数学期望 随机变量函数的数学期望 若 X Y 是二维离散型随机变量 Z g X Y 且E Z 存在 则 若 X Y 是二维连续型随机变量 Z g X Y 且E Z 存在 则 例9求E X E Y E XY 随机变量函数的数学期望 解X Y的边缘分布为 数学期望的性质 1 E C C 2 E aX aE X 3 E X Y E X E Y 4 当X Y独立时 E XY E X E Y 线性性质 例10 数学期望的性质 解设随机变量Xi为 则X X1 X2 X10 故E X E X1 E X2 E X10 而E Xi 1 9 10 20i 1 2 10 几种重要分布的数学期望 设有两种牌号的手表 其走时误差情况如下表 试问哪种牌号的手表质量较好 可见两种手表的平均误差一样 分析 设两种手表的走时误差分别为则 对于同一日误差值 甲表的概率比乙的大 即平均说来甲表中误差大的占的比例较多 故从直观上看 乙表的质量比甲好 方差的实际背景 平方偏差 平方偏差的数学期望 对考虑偏差 存在 则称为的方差称为标准差 随机变量的方差 方差的计