向量代数与空间解析几何相关概念和例题.doc

第六章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数向量及其运算目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；重点与难点重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握 过程：一、向量既有大小又有方向的量称作向量通常用一条有向线段来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.向量的表示方法有两种: 、向量的模：向量的大小叫做向量的模. 向量、的模分别记为、. 单位向量： 模等于1的向量叫做单位向量. 零向量： 模等于0的向量叫做零向量, 记作.规定：方向可以看作是任意的. 相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量平行向量（亦称共线向量）： 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行.记作a / b.规定： 零向量与任何向量都平行. 二、向量运算向量的加法 向量的加法: 设有两个向量a与b, 平移向量使b的起点与a的终点重合, 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c=a+b . 当向量a与b不平行时, 平移向量使a与b的起点重合, 以a、b为邻边作一平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b. 向量的减法: 设有两个向量a与b, 平移向量使b的起点与a的起点重合, 此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。 , 2、向量与数的乘法向量与数的乘法的定义: 向量a与实数l的乘积记作la, 规定la是一个向量, 它的模|la|=|l|a|, 它的方向当l0时与a相同, 当l0时与a相反. (1)结合律 l(ma)=m(la)=(lm)a；(2)分配律 (l+m)a=la+ma；l(a+b)=la+lb. 例1在平行四边形ABCD中, 设=a, =b. 试用a和b表示向量、, 其中M是平行四边形对角线的交点. 解 ：a+b于是 (a+b). 因为, 所以(a+b). 又因-a+b, 所以(b-a). 由于, 所以(a-b). 定理1 设向量a 0, 那么, 向量b平行于a的充分必要条件是: 存在唯一的实数l, 使 b = la. 三、空间直角坐标系过空间一个点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点。这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴。三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。其中x轴与y轴所确定的平面叫做xOy面，y轴与z轴所确定的平面叫做yOz面，z轴与x轴所确定的平面叫做zOx面。三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。含x轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限叫做第I卦限，其它第，卦限，在xOy坐标面的上方，按逆时针方向确定。第到第卦限分别在第到第卦限的下方（如图）。zyOx 设P为空间一点，过点P分别作垂直x轴、y轴、z轴的平面，顺次与x轴、y轴、z轴交于PX，PY，PZ，这三点分别在各自的轴上对应的实数值x，y，z称为点P在x轴、y轴、z轴上的坐标，由此唯一确定的有序数组（x，y，z）称为点P的坐标。依次称x，y和z为点P的横坐标、纵坐标和竖坐标，并通常记为P（x，y，z）。坐标面上和坐标轴上的点, 其坐标各有一定的特征. 例如: 点M在yOz面上, 则x=0; 同相, 在zOx面上的点, y=0; 在xOy面上的点, z=0. 如果点M在x轴上, 则y=z=0; 同样在y轴上,有z=x=0; 在z轴上 的点, 有x=y=0. 如果点M为原点, 则x=y=z=0.四、利用坐标作向量的线性运算对向量进行加、减及与数相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算利用向量的坐标判断两个向量的平行: 设a=(ax, ay, az)0, b=(bx, by, bz), 向量b/ab=la , 即b/a(bx, by, bz)=l(ax, ay, az), 于是. 例2求解以向量为未知元的线性方程组,其中a=(2, 1, 2), b=(-1, 1, -2).解 如同解二元一次线性方程组, 可得x=2a-3b, y=3a-5b . 以a、b的坐标表示式代入, 即得x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2)=(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2)=(11, -2, 16). 例3已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数l-1, 在直线AB上求一点M, 使. 解 设所求点为M (x, y, z), 则, . 依题意有, 即 (x-x1, y-y1, z-z1)=l(x2-x, y2-y, z2-z), , . 点M叫做有向线段的定比分点. 当l=1, 点M的有向线段的中点, 其坐标为 , , . 空间向量数量积与向量积目的：掌握向量的数量积、向量积的定义及数量积的性质；掌握其计算方法。重点与难点：数量积与向量积的计算方法。过程：一、两向量的数量积数量积的物理背景: 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2. 以s表示位移. 由物理学知道, 力F所作的功为 W = |F| |s| cosq , 其中q 为F与s的夹角. 数量积: 对于两个向量a和b, 它们的模 |a|、|b| 及它们的夹角q 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作ab, 即 ab=|a| |b| cosq . 数量积与投影: 当a0时, |b| cos(a, b) 是向量b在向量a的方向上的投影 数量积的性质: (1) aa = |a| 2. (2) a、b, 为非零向量， ab =0是 ab的充要条件数量积的运算律: (1)交换律: ab = ba; (2)分配律: (a+b)c=ac+bc . (3) (la)b = a(lb) = l(ab), 数量积的坐标表示: 设a=(ax, ay, az ), b=(bx, by, bz ), 则ab=axbx+ayby+azbz .设q是a与b的夹角，则当a0、b0时, 有复习高中时的有代表性的例题例1 一质点在力F=4i + 2j +2k的作用下,从点A(2, 1, 0)移动到点B(5, 2, 6) ,求F所做的功及F与间的夹角. 解 由数量积的定义知, F所做的功是W=F.s, 其中s=3i 3j+6k是路程向量, 故 W=F.s=(4 i + 2j +2k).( 3i 3j+6k )=18.如果力的单位是牛顿(N),位移的单位是米(m),则F所做的功是18焦耳(J).再由式(6.7),有 cos =,因此, F与s的夹角为=.例2 求向量a=(5, 2, 5)在 b=(2, 1, 2)上的投影.解 Cos=6.二、两向量的向量积向量积: 设向量c、 a、b满足：c的模 |c|=|a|b|sin q , 其中q 为a与b间的夹角；c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则从a转向b来确定. 则称向量c是a与b的向量积, 记作ab, 即c = ab. 向量积的运算律: (1) 交换律ab = -ba; (2) 分配律: (a+b)c = ac + bc. (3) (la)b = a(lb) = l(ab) (l为数). 向量积的坐标表示: 若a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k. 则 =i j + k . = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. . 例3 设a=(1,2,2), b=(2,1,0), 求ab及与a、b都垂直的单位向量. 解 ab =i j +k = 2i +4j +5k .所求的单位向量为(2i +4j +5k)=(2i +4j +5k ).例4 已知三角形ABC的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面积. 解 根据向量积的定义, 可知三角形ABC的面积. 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i-6j+2k.于是 . 例5设a=(2, 3, 1), b=(0,1, 1), c=(1, 1, 4),三个向量是否共面?解 因为r =ab与a、b所确定的平面垂直,所以当a、b、c三个向量共面时, 应该有 rc ,即r .c=0. r =ab=(4, 2, 2) ,所以有 r .c= (4i +2j +2k).( i j +4k)=42+8=100,因此三个向量不共面.空间简单图形及其方程方程目的：掌握直线、平面、常见曲面的方程及其求法；会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。重点与难点：直线、平面方程及其求法。 过程：一、 平面方程1、平面的点法式方程已知平面上一点M0 (x0, y0, z0)和它的一个法线向量n=(A, B, C) 则其方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.例1求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程. 解 得所求平面的方程为 (x-2)-2(y+3)+3z=0, 即 x-2y+3z-8=0. 例2已知空间两点M1(1,2，-1)、M2(3,-1,2)，求过M1点且与直线M1 M2垂直的平面方程。例3 求过三点M1(2, -1, 4)、M2(-1, 3, -2)和M3(0, 2, 3)的平面的方程. 解：我们可以用作为平面的法线向量n. 因为, , 所以 . 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 14(x-2)+9(y+1)-(z -4)=0, 即 14x+9y- z-15=0. 2、平面的一般方程 由平面的点法式方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z- z0)=0知，任一平面都可用x, y, z的一次方程来表示。方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程, 其中x, y, z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标, 即 n=(A, B, C). 例如, 方程3x-4y+z-9=0表示一个平面, n=(3, -4, 1)是这平面的一个法线向量. 例4 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x轴, 即A=0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D=0. 因此可设这平面的方程为 By+Cz=0. 又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有 -3B-C=0, 将其代入所设方程并除以B (B0), 便得所求的平面方程为y-3z=0. 二、两平面的位置关系两平面的位置关系不外是相交、垂直、平行与重合，利用两平面法向量位置关系就可判定两平面的法线向量分别为n1=(A1, B1, C1)和n2=(A2, B2, C2),由于 .: 是两平面夹角，则有A1 A2 +B1B2 +C1C2=0充要条件为平面垂直; 则平面重合或平行 例5 求两平面 x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角. 解 n1=(A1, B1, C1)=(1, -1, 2), n2=(A2, B2, C2)=(2, 1, 1), , 所以, 所求夹角为. 例6 一平面通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, -1)且垂直于平面x+y+z=0, 求它的方程. 解1:由M1到点M2的向量为n1=(-1, 0, -2), 平面x+y+z=0的法线向量为n2= (1, 1, 1). 设所求平面的法线向量为n=(A, B, C). 则有nn1, 即-A-2C=0, A=-2C. 又因为所求平面垂直于平面x+y+z=0, 所以nn1, 即A+B+C=0, B=C. 所求平面为 -2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0, 即2x-y-z=0. 解2 从点M1到点M2的向量为n1=(-1, 0, -2), 平面x+y+z=0的法线向量为n2= (1, 1, 1).设所求平面的法线向量n 可取为n1 n2. 因为 , 所以所求平面方程为2x-y-z=0. 三 直线的方程直线是两平面的交线，即直线的一般式方程： 直线上一点M0(x0, y0, z0)和方向向量s=m, n, p，直线的对称式方程：例7 将直线表为对称式解 取x0=1，代入方程组得y0=0、z0= -2，即点(1,0,-2)在直线上。 两平面的法向量分别为n1=1,1,1和n2=2,-1,3，则s= n1n2=4ij3k，所求对称式方程为：设直线l1和l2的方向向量为a=x1, y1, z1、b=x2, y2, z2，则=|cos(a,b)|=。四 几个曲面方程例8 方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎样的曲面？解 通过配方, 原方程可以改写成 (x-1)2+(y+2)2+z2=5. 这是一个球面方程, 球心在点M0(1, -2, 0)、半径为. 一般地, 设有三元二次方程Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0, 这个方程的特点是缺xy , yz , zx 各项, 而且平方项系数相同, 只要将方程经过配方就可以化成方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 的形式, 它的图形就是一个球面. 例9方程x2+y2=R2表示怎样的曲面？ 解 方程x2+y2=R2在xOy 面上表示圆心在原点O、半径为R的圆. 在空间直角坐标系中, 这方程不含竖坐标z, 即不论空间点的竖坐标z怎样, 只要它的横坐标x和纵坐标y能满足这方程, 那么这些点就在这曲面上. 也就是说, 过xOy 面上的圆x2+y2=R2, 且平行于z轴的直线一定在x2+y2=R2表示的曲面上. 所以这个曲面可以看成是由平行