第六章 分子动理论2009.ppt

1 热运动的研究方法 1 宏观法 最基本的实验规律 逻辑推理 运用数学 称为热力学 thermodynamics 优点 可靠 普遍 缺点 未揭示微观本质 2 微观法 物质的微观结构 统计方法 称为统计物理学 statisticalphysics 其初级理论称为气体分子运动论 气体动理论 优点 揭示了热现象的微观本质 缺点 可靠性 普遍性差 热运动 thermalmotion 微观粒子永恒的杂乱无章的运动 2 第6章 气体动理论 3 一理解平衡态 平衡过程 理想气体等概念 二理解理想气体的压强公式和温度公式 教学基本要求 三理解能量均分定理 会计算理想气体的内能 四理解麦克斯韦速率分布律 速率分布函数和速率分布曲线的物理意义 会计算气体分子热运动的三种统计速度 五理解气体分子平均碰撞次数和平均自由程的概念和公式 4 6 1平衡态温度理想气体状态方程 6 1 1平衡态 1 热力学系统 热力学系统分类 根据系统与外界交换能量或物质的特点 可以分为三种 1 孤立系统 与外界既无能量交换 又无物质交换的系统 2 封闭系统 与外界只有能量交换 但无物质交换的系统 3 开放系统 与外界既有能量交换 又有物质交换的系统 由大量微观粒子 分子 原子等微观粒子 所组成的宏观物体或系统 平衡态 指在不受外界影响 或不变的 的条件下 系统的宏观性质不随时间变化的状态称热平衡态 5 箱子假想分成两相同体积的部分 达到平衡时 两侧粒子有的穿越界线 但两侧粒子数相同 例如 粒子数 说明 平衡态是一种理想状态 处在平衡态的大量分子仍在作热运动 而且因为碰撞 每个分子的速度经常在变 但是系统的宏观量不随时间改变 平衡态是一种热动平衡 6 对热力学系统的描述 宏观量 状态参量平衡态下描述宏观属性的相互独立的物理量 如压强p 体积V 温度T等 微观量描述系统内个别微观粒子特征的物理量 如分子的质量 直径 速度 动量 能量等 微观量与宏观量有一定的内在联系 7 6 1 2温度 表征物体的冷热程度 A B两体系互不影响各自达到平衡态 A B两体系达到共同的热平衡状态 8 若A和B B和C分别热平衡 则A和C一定热平衡 热力学第零定律 处在相互热平衡状态的系统拥有某一共同的宏观物理性质 温度 温标 温度的数值表示方法 摄氏温标 热力学温标 9 6 1 3理想气体状态方程 1 理想气体 2 理想气体的状态方程 热平衡态下 系统各个状态参量之间满足一定的关系 这样的关系叫系统的状态方程 克拉珀龙方程 式中 是气体普适常量 在 中 8 31 J mol 1 K 1 Mmol是气体的摩尔质量 过程方程 10 状态图 图 图 图 气体的平衡态除了可用一组状态参量来描述 还可用状态图来表示 而一组状态参量在状态图中对应的是一个点 不同的状态在状态图中对应点不同 在状态图中 一条光滑的曲线代表一个由无穷多个平衡态所组成的变化过程 如右图所示 曲线上的箭头表示过程进行的方向 由于非平衡态不能用一组确切的状态参量来描述 因此在状态图中 非平衡态过程也就无法找到相应的过程曲线与之对应 11 6 2理想气体压强公式 6 2 1分子模型 3 分子间 分子与器壁间的碰撞是完全弹性的 遵守动量和能量守恒定律 即 理想气体分子可看作彼此间无相互作用的遵守经典力学规律的弹性质点 1 分子可以看作质点 除特别考虑 2 除碰撞外 分子之间 分子与器壁不计相互作用力 12 6 2 2分子性质 每个分子运动具有偶然性 然而正是由于每个分子的偶然性 才使得大量分子运动出现了规律性 这种规律性具有统计平均意义 称为统计规律性 在平衡态 当重力的影响可以忽略时 容积内各处的压强 密度 温度都相同 而分子始终在作无规则的热运动 故我们可以认为 1 每个分子向各个方向运动的机会均等 2 对于大量分子 向各个方向运动的分子数平均相等 13 以上就是用统计平均的观点所得出的气体分子的性质 4 每个分子运动速度不尽相同 由于分子不停地发生碰撞而发生变化 因而分子具有各种可能的速度 对于全同分子 不会因碰撞而丢失具有某一速度的分子 例如 3 分子速度在各个方向上的分量的各种平均值平均相等 14 压强的统计解释 设器壁光滑 考虑速度为vi的分子 现讨论其对于 面的碰撞 设一容器 边长为 1 2 3 内有 个分子 对于i分子 先考察一个分子 例如i分子 一次碰撞中给予器壁A1的冲量 由牛顿第三定律 i分子给予器壁的冲量为 15 i分子在单位时间内施于A1面的平均冲力 i分子单位时间内与A1面碰撞的次数为 则i分子单位时间内施于A1面的总冲量 冲力 为 所有分子在单位时间内对器壁的冲力 对i求和 故若令 表示分子在X方向速率平方的平均值 16 那么 于是所有分子在单位时间内施于A1面的冲力为 求压强的统计平均值 令 为分子数密度 即单位体积内的分子数 又由统计平均的观点有 所以 17 引入分子平均平动动能 压强的微观解释 气体压强是指 容器壁的单位面积上受到的大量分子碰撞冲力的时间平均值 因此 对少量分子或个别分子上述公式不成立 气体压强与大气压强的区别 前者如上所述 后者则是空气重量所致 1 压强是对大量分子的分子数密度和分子平均平动动能的统计平均结果 这就是宏观量P与微观量之间的关系 18 6 3温度的统计解释 6 3 1温度的统计解释 理想气体方程 玻尔兹曼恒量 为阿伏加德罗常数 19 则有 或 温度是描述热力学系统平衡态的一个物理量 宏观量温度T是一统计概念 上式给出的是 动态 的含义 非平衡态系统不能用温度来描述 是大量分子无规则热运动的集体表现 是分子平均平动动能的量度 此即宏观量T与微观量的关系 这说明 20 3 温度所描述的运动是分子无规则运动 热运动 是相对质心参照系 平动动能是系统的内动能 4 上式结果与分子的种类无关 即只要温度相同 则分子的平均平动动能就相同 5 阿伏加德罗定律的一种表述 即在相同的压强 相同的温度下 各种气体的分子数密度相同 温度和系统的整体运动无关 21 A 温度相同 压强相同 B 温度 压强都不同 C 温度相同 但氦气的压强大于氮气的压强 D 温度相同 但氦气的压强小于氮气的压强 解 1一瓶氦气和一瓶氮气密度相同 分子平均平动动能相同 而且它们都处于平衡状态 则它们 22 2理想气体体积为V 压强为p 温度为T 一个分子的质量为m k为玻尔兹曼常量 R为摩尔气体常量 则该理想气体的分子数为 A B C D 解 23 6 3 2气体分子的方均根速率 称之为气体分子的方均根速率 24 6 4 1自由度i Degreeoffreedom 确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目 以刚性分子 分子内原子间距离保持不变 为例 平动自由度t 3 6 4能量均分定理理想气体的内能 25 6 4 2能量按自由度均分定理 26 气体分子沿X Y Z三个方向运动的平均平动动能完全相等 可以认为分子的平均平动动能均匀分配在每个平动自由度上 平衡态下 不论何种运动 相应于每一个可能自由度的平均动能都是 能量按自由度均分定理 如果气体分子有i个自由度 则分子的平均动能为 27 6 4 3理想气体的内能 什么是内能 内能是指系统内所有分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和 内能是态函数 理想气体内能 由于理想气体不计分子间相互作用力 因此理想气体的内能仅为热运动能量之总和 是热力学状态参量P V T的函数 即 P V T 是相对量 因为状态参量是相对量 28 设热力学体系内有N个刚性分子 则N个分子的平均总动能的总和 即内能为 由于我们只讨论刚性分子 所以理想气体刚性分子的内能只是 所有分子的平均总动能之总和 29 I 这说明理想气体的内能仅为温度的单值函数 因此当理想气体的状态发生变化时 其内能的增量仅与始末状态的温度有关 而与过程无关 即 II 单原子气体双原子气体多原子气体子 30 例1 就质量而言 空气是由76 的N2 23 的O2和1 的Ar三种气体组成 它们的分子量分别为28 32 40 空气的摩尔质量为28 9 10 3kg 试计算1mol空气在标准状态下的内能 解 在空气中 N2质量 摩尔数 O2质量 摩尔数 31 Ar质量 摩尔数 1mol空气在标准状态下的内能 32 统计规律性基本概念 什么是统计规律性 statisticalregularity 大量偶然性从整体上所体现出来的必然性 例 扔硬币 统计规律有以下几个特点 1 只对大量偶然的事件才有意义 2 它是不同于个体规律的整体规律 量变到质变 6 5麦克斯韦分子速率分布定律 33 算术平均值 统计平均值 称为出现的概率 34 对于连续型随机变量 统计平均值为 涨落 现象 测量值与统计值之间总有偏离 处在平衡态的系统的宏观量 如压强P 不随时间改变 但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样 分子数越多 涨落就越小 35 6 5 1气体分子的速率分布分布函数 如果我们将气体分子在平衡态下 所有可能的运动速率 在经典物理中为0 按照从小到大的排列 分成一系列相等的速率区间 例如从 i 如果跟踪考察某些个别分子 在某一瞬间 到底在哪个速率区间内运动 那么 我们发现这种运动完全是偶然的 无规则的 即随机的 毫无意义的 对某一分子 其任一时刻的速度具有偶然性 但对于大量分子 其速率的分布从整体上会出现一些统计规律 36 ii 如果我们考察的对象 不是个别的具体的分子 而是大量分子的整体 例如我们考察 在某一平衡态下 分布在各个速率区间内的分子数 占总分子数N的百分比 这时就会发现 它是存在确切的统计规律的 按照这个思路考虑下去 就可得到速率分布律 37 1 速率分布曲线 图中小方块面积的物理意义 小方块的面积为 表示分子速率分布在v附近 v v v区间内的分子数占总分子数N的百分比 若以v为横轴 以分布函数的值为纵轴 作曲线 这就是速率分布曲线 单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比 38 2 速率分布函数 1 速率分布函数 3 归一化条件 速率在 附近的单位速率区间的分子数占分子总数的百分比 分子出现在v1 v2区间内的分子数与总分子数的百分比 出现在v v dv区间内的分子数占总分子数的百分比 平衡态下的气体系统中以分子速率为随机变量的气体分子速率分布函数 39 式中T为气体的热力学温度 m是分子的质量 是玻尔兹曼恒量 6 5 2麦克斯韦速率分布规律 一个分子在v v dv区间内的概率为 1860年 麦克斯韦导出f v 的表达式 40 6 5 3分子速率的三个统计值 1 最概然速率 与气体分子速率分布曲线极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率vp 物理意义是 对所有相同的速率区间而言 速率在含有vp区间内的分子数占总分子数的百分比最大 或 气体分子的速率取vp附近值的概率为最大 将函数f v 对v求导得 41 2 平均速率 将麦氏速率分布函数式代入得 42 3 方均根速率 43 44 温度越高 速率大的分子数越多 温度越高 分布曲线中的最可几速率vp增大 但归一化条件要求曲线下总面积不变 因此分布曲线宽度增大 高度降低 45 例2试计算下列气体在大气中的逃逸速度与方均根速度之比 H2 2 He 4 H2O 18 N2 28 O2 32 Ar 40 CO2 44 括弧内的数字是分子量 设大气的温度为290K 已知地球质量M 5 98 1024kg 地球半径R 6378km 解 逃逸速度可由分子动能等于相对于无穷远的引力势能 分子质量 46 当代宇宙学告诉我们 宇宙中原初的化学成分绝大部分是氢 约占3 4 和氦 约占1 4 任何行星形成之初 原始大气中都应有相当大量的氢和氦 但是现在地球的大气里几乎没有H2和He 而其主要成分却是N2和O2 为什么 大气分子的热运动促使它们逸散 万有引力阻止它们逃脱 方均根速度标志着前者动能的大小 逃逸速度标志着后者势能的大小 例题中的比值K标志着二者抗衡中谁占先的问题 47 K值愈大 表示引力势能愈大 分子不易逃脱 K值刚刚大于1显然不足以有效地阻止气体分子的散失 因为这时仅仅具有平均热运动动能的分子被引力拉住 但是按麦克斯韦分布律 气体中有大量的分子速率大过 甚至远大过方均根速度 它们仍然可以逃脱 对于某种气体需要多大的K值才能将它保住 例题的结果表明 K 6 8是不够大的 这未能把地球大气里的H2和He保住 K大到22 24肯定是够了 因为这数值没有让N2和O2散失 48 例3 解 1 气体分子的分布曲线如图 由归一化条件 49 平均速率 方均速率 方均根速率为 50 3 速率介于0 v0 3之间的分子数 4 速率介于0 v0 3之间的气体分子平均速率为 51 讨论 速率介于v1 v2之间的气体分子的平均速率的计算 对于v的某个函数g v 一般地 其平均值可以表示为 52 若气体分子处于恒定的外力场 如重力场 中 气体分子分布规律如何 在麦克斯韦速度分布律中 6 玻耳兹曼分布律 53 玻尔兹曼对麦克斯韦分布律的推广 1 分子在外力场中 2 粒子的分布不仅按速率区间v v dv分布 还应按位置空间x x dx y y dy z z dz分布 气体分子按势能分布的规律 分子数密度按势能分布的规律 54 对于任意两个能级 有 在正常状态下 能级越低 粒子数越多 粒子总是优先占据低能级状态 处于Ei状态的粒子数 55 例5 证 由气体状态方程 56 两边取对数 测知地面和高空处的压强与温度 可估算所在高空离地面的高度 57 例4 氢原子基态能级E1 13 6eV 第一激发态能级E2 3 4eV 求出在室温T 270C时原子处于第一激发态与基态的数目比 解 在室温下 氢原子几乎都处于基态 58 6 7分子的平均碰撞次数和平均自由程 问题的提出 前面已经说过 分子速率在几百米 秒的数量级 但为什么食堂炸油饼时并不能马上闻到油香味呢 原来分子速率虽高 但分子在运动中还要和大量的分子碰撞 59 6 7 1平均碰撞次数 碰撞频率 指一个分子在单位时间内与其它分子相碰的次数Z 平均碰撞频率 一个分子在单位时间内受到的碰撞次数的平均值 60 6 7 2平均自由程 自由程 平均自由程 分子在连续两次碰撞之间所经历的直线路径 分子在连续两次碰撞之间所经历的直线自由程的平均值 当温度恒定时 平均自由程与气体的压强成反比 压强越小 空气越稀薄 平均自由程越长 61 决定和的因素 这样 在A分子运动的路径上 凡分子中心与A分子中心的距离小于或等于分子有效直径d的分子都会与A分子发生碰撞 为此我们以A分子中心的运动轨迹为曲线 以分子直径d为半径 做一曲折圆柱体 那么 凡分子中心在圆柱体内的分子