第7章 气体动理论.ppt

第七章 气体动理论 7 1气体分子热运动的规律 宏观物体由大量分子 原子 组成 分子之间存在一定的间隙 1 分子观点 一 分子的热运动图像 2 分子运动观点 组成物质的分子在永不停息地作无规则运动 此运动与气体温度密切相关 称热运动 3 分子力观点 小球落入其中一格是一个偶然事件 大量小球在空间的分布服从统计规律 伽耳顿板演示 二 统计规律性 在一定的宏观条件下大量偶然事件在整体上表现出确定的规律 叫做统计规律 7 2平衡态及理想气体的状态方程 研究与分子热运动有关的问题时 通常将所研究的物体系统称为热力学系统 简称系统 研究与分子热运动有关的问题时 通常将所研究的物体系统称为热力学系统 简称系统 在不受外界影响的条件下系统宏观性质不随时间变化的状态 称为平衡态 一 几个基本概念 二 理想气体状态方程 M 质量 mol质量V 理想气体体积 R 普适气体恒量 其中 理想气体状态方程的另一种形式 其中 分子数密度 玻耳兹曼常数 其中 理想气体状态方程 一 理想气体的微观模型 分子本身的线度 分子之间的距离 以至可以忽略 重量也可忽略不计 除碰撞的一瞬间 10 8秒 分子与分子 分子与器壁之间无相互作用 分子之间及与器壁的碰撞是完全弹性碰撞 结论 理想气体的模型是 自由地无规则运动的弹性小球的集合 7 3理想气体的压强和温度的统计意义 二 统计假设 1 每个分子运动速度各不相同而且通过碰撞不断发生变化 2 分子数密度分布均匀 因研究的是处在平衡态的气体 各处的分子数密度应相等 3 分子向各方向运动机会相等 故分子速度在各方向分量平均值相等 0 三 理想气体的压强公式 推导依据 理想气体微观模型和统计假设 认为 压强是大量分子碰撞器壁在单位时间 作用于器壁单位面积的平均冲量 个别 间歇性 大量 持续 设一边长为的容器 内有N个每个质量为m的分子 1 一个分子与A1面碰撞一次给A1面的冲量 作用在A1面的冲量 2 一个分子在单位时间内作用在器壁上的冲力 考虑沿X方向第i个分子动量变化 依动量定理第i个分子所受冲量 第i个分子的速度 只须考虑沿X方向动量变化 由于分子速率在几百米 秒的数量级 分子在单位时间内要多次与器壁A1碰撞 两次碰撞之间的时间间隔为 第i个分子单位时间内给A1面的冲量 第i个分子单位时间内给A1面的碰撞次数 即器壁所受垂直于器壁方向的平均冲力为 3 所有分子与A1面碰撞时给A1面的平均冲力 4 气体的压强 其中 为分子数密度 为速度的X方向分量的平方的平均值 故 为分子平均平动动能 则 此式称为理想气体的压强公式 注意 1 压强决定于分子数密度和分子的平均平动动能 四 温度统计意义 理想气体温度公式 1 此式说明了温度的统计意义 气体温度乃是气体分子平均平动动能的量度 是大量分子运动的集体表现 2 此式给出了0K的经典物理意义 分子完全停止运动的状态 说明 3 只要温度相同 不同气体的平均平动动能相等 4 常用温度公式求速率的均方根值 方均根速率 可见 恒定时 T也是恒定的 所以是反映分子热运动剧烈程度的物理量 是一种统计速率 例1 一容器中贮有理想气体 压强为0 010mmHg高 温度为270C 问在1cm3中这些分子动能之总和为多少 求 EK 解 分子平均平动动能为 故N个分子总动能 例2 试推导道尔顿定律 同一容器中 有几种不发生化学反应的气体 当它们处于平衡态时 总压强等于各气体压强之和 解 处于平衡态 温度T相同 例3 在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体 如果压缩气体并对它加热 使它的温度从270C升到1770C 体积减少一半 求气体压强变化多少 这时气体分子的平均平动动能变化多少 解 7 4麦克斯韦速率分布律 一 速率分布函数 单个分子速率分布 偶然大量分子速率分布 必然 由氧分子速率分布图可以知道 实验证明 1 平衡态时 分布在不同区间的 Ni不同 但却是确定的 表示第i个速率间隔中的分子数占总分子数的百分比或表示单个分子速率值落在该区间内的概率 2 所有小面积的和恒等于一 3 当速率区间 0 小矩形面积的端点连成一函数曲线 分子速率分布函数 按函数的定义 故 或 当 分子速率分布函数的意义 由归一化条件 间隔内的分子数占总分子数的百分比 分子速率在 分布函数表示 在速率v的附近 单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比或单位速率间隔内分子的分布几率 几率 概率 密度 二 麦克斯韦速率分布率 式中 T为热力学温度 m为分子的质量 k为波尔兹曼常数 2 速率分布曲线极大值对应的速率为最概然速率 用vp表示 3 以上分布函数还可写成 内的分子数占总分子数的百分比 还可写成 在v附近dv速率间隔内的分子数 满足归一化条件 4 温度越高 速率大的分子数越多 温度越高 分布曲线中的最概然速率vp越大 但归一化条件要求曲线下总面积不变 因此分布曲线宽度增大 高度降低 5 同温度下 分子质量较小的气体中 速率大的分子数较多 以下表达式的含义是什么 三 三种统计速率 1 平均速率 所有分子的速率的算术平均值 dw为在v附近dv区间内分子出现的几率 由分布函数 2 方均根速率 速率平方的平均值的根 3 最可几速率 2 都与温度平方根成正比 与质量平方根成反比 比较可得 1 都有概率表达式得到 例1 解 1 气体分子的分布曲线如图 由归一化条件 平均速率 方均速率 方均根速率为 3 速率介于0 v0 3之间的分子数 4 速率介于0 v0 3之间的气体分子平均速率为 玻耳兹曼推广 当系统在保守力场中处于平衡态时 其中坐标介于位置区间x x dx y y dy z z dz内 同时速度介于速度区间vx vx dvx vy vy dvy vz vz dvz内的分子数为 7 5玻尔兹曼能量分布律 一 玻耳兹曼能量分布律 保守力场中分子总能量 麦克斯韦速度分布律 因子 分子的能量越大 其分子数就越小 即分子处于低能量状态的概率较大 结论 在温度为T的平衡态下 系统在某一状态区间内的粒子数与该状态区间的一个粒子的能量 有关 在数值上是与e kT成正比 玻耳兹曼能量分布律 n0表示在势能 p为零处单位体积内各种速度的分子总数 系统中分子处于某一有限空间 位置区间在x x dx y y dy z z dz 内具有各种速度的分子数为 由麦克斯韦速度分布的归一化条件 即 则 二 重力场中微粒按高度的分布 no为z 0处的分子数密度 n为z高度的分子数密度 分子热运动 使分子趋于均匀分布 重力 使分子趋于向地面降落 选海平面为势能零点 气体分子按势能的分布律 等温气压公式 结论 随着高度升高 气体越稀薄 压强也越低 po为z 0处的压强 p为z高度的压强 例1 已知拉萨的高度为海拔3600m 若大气温度处处相同 且为27 问拉萨的压强为多少 空气摩尔质量为2 89 10 2kg mol 海平面处的压强为1 013 105Pa 解 由题意知空气的温度为 因此位于3600m高空的压强只有海平面处压强的0 66 T 273 27 300 K 拉萨的高度z 3600m 7 6能量均分定理 引言 前面我们研究气体动能时把分子看作弹性小球的集合 我们发现当我们用这一模型去研究单原子气体的比热时 理论与实际吻合得很好 但当我们用这一模型去研究多原子分子时 理论值与实验值相差甚远 1857年克劳修斯提出 要修改模型 不能将所有分子都看成质点 对结构复杂的分子 我们不但要考察其平动 而且还要考虑分子的转动 振动等 下面我们来考察包括平动 转动 乃至包括振动在内的理想气体能量 一 自由度 1 何谓自由度 1 何谓自由度 决定物体在空间位置的独立坐标数 举例 质点在三维空间运动三个独立坐标 刚体 既有平动又有转动 决定质心 X Y Z 确定角位置 确定一个刚体位置要三个平动自由度 三个转动自由度共计六个自由度 注意 独立坐标数是能确定物体做自由运动的最少坐标数 当物体运动受到一定限制或约束时 自由度减少 例 质点限制在某一平面内运动 如图 X Y Z 多了一个方程 有固定轴的门 因转轴固定 质心相对门的位置固定 所以 结论 一个自由度对应着一个独立的坐标 2 气体分子的运动自由度 理想气体的刚性分子 A 单原子分子 3个自由度 B 双原子分子 决定质心 3个自由度 确定转轴方位 2个自由度 C 三原子以上的分子 6个自由度 视为刚体 实际气体 不能看成刚性分子 因原子之间还有振动 例如 氢气 H2 在高温下两氢原子之间就有振动 氯气 Cl2 在常温下便有振动 这时可以看作由两质点组成的弹性谐振子 对双原子分子 6个自由度 多了一个振动自由度 对多原子系统 N 3 3个平动自由度 t 3个转动自由度 r 3N 6 个振动自由度 s 有了自由度的概念 下面介绍分子热运动的能量的统计规律 二 能量按自由度均分原理 分析单原子分子的平均平动动能 两边同乘 上式表示沿各坐标运动的平均平动动能都相等 都等于 这说明 分子的平均平动动能3 2kT是均匀地分配在对应的每一个自由度的运动上的 即对应每一个自由度 就有对应的一份能量1 2kT 麦克斯韦将以上情况推广到分子的转动和振动 即对应于转动和振动的每个自由度的运动也都有一份能量 1 2kT 这就是能量均分原理 即在平衡态 一个自由度 代表一种独立的运动和一份能量1 2kT 如某种分子有t个平动自由度 r个转动自由度 则分子具有 则 分子的平均总能量 三 理想气体的内能 1 内能是状态量 一般言之 分子除有动能外 分子之间还有势能 动能与温度有关 势能与分子之间的距离有关 即与体积有关 即与温度 体积有关 令 分子的总自由度为i 2 理想气体的内能表达式 理想气体之间的相互作用可以忽略 故内能应为各分子总动能之和 一摩尔刚性理想气体的内能 M克刚性理想气体的内能 例1 贮存有氮气的容器以速度100米 秒运动 若该容器突然停止 问容器中温度将升多少 已知 求 解 依能量守恒 氮气的宏观动能将转化为其内能 例2 就质量而言 空气是由76 的N2 23 的O2和1 的Ar三种气体组成 它们的分子量分别为28 32 40 空气的摩尔质量为28 9 10 3kg 试计算1mol空气在标准状态下的内能 解 在空气中 N2质量 摩尔数 O2质量 摩尔数 Ar质量 摩尔数 1mol空气在标准状态下的内能 一 问题的提出 分子速率在几百米 秒的数量级 但为什么打开酒瓶时并不能马上闻到酒味呢 原来分子速率虽高 但分子在运动中还要和大量的分子碰撞 碰撞是分子的第二特征 7 7气体分子平均自由程 分了碰撞也是 无规则 的 相隔多长时间碰撞一次 每次飞多远 都是随机的 偶然的 只能用一些平均值来描写 二 分子作用球 通常把分子视为具有一定体积的弹性小球 称为分子作用球 注意 分子作用球并不是分子本身的大小 而是代表入射的分子能否被另一个分子散射的范围 把两个分子相碰时质心间最小距离的平均值 称为分子的有效直径 以d表示 入射分子的中心位置如果通过有效碰撞截面 时就会被散射掉 d2 一个分子在一秒钟内和其它分子碰撞的次数Z 假设 1 分子为直径为d的小球2 分子数密度为n 3 分子的平均速率为 三 平均碰撞频率 显然 凡离折线距离小于分子直径d的分子都将和A分子相碰撞 即弯折的圆柱体内所有分子都将与A分子碰撞 也就是说问题由求分子碰撞次数转化为求弯折圆柱体中的分子数 下面的问题是要求相对速率与平均速率的关系 设所有分子都以平均速率运动 则其一个分子相对其它分