矩阵理论-第三讲 Jordan标准形.ppt

矩阵理论第3讲 1 矩阵理论 第三讲 兰州大学信息科学与工程学院2004年 矩阵理论第3讲 2 上节内容回顾 方阵相似的定义相似矩阵的性质自反性对称性传递性保秩性行列式相等矩阵函数相似特征多项式 特征值相同 矩阵理论第3讲 3 上节内容回顾 Continue 方阵可对角化的定义方阵可对角化的充要条件 矩阵理论第3讲 4 上节内容回顾 Continue 可对角化方阵的对角化方法由的基构成的矩阵可使 矩阵理论第3讲 5 上节内容回顾 Continue 定义Jordan块Jordan矩阵 矩阵理论第3讲 6 Jordan标准形 Continue 化方阵A为Jordan标准形特征向量法设如果是A的单重特征值在A的Jordan矩阵中构造一个1阶的Jordan块如果是A的重特征值有k个线性无关的特征向量或者此方法适用于以下能唯一确定Jordan块的特殊情形 个1阶的约当块 实际上是一个对角块 在A的Jordan矩阵中构造k个以为对角元素的Jordan块k个Jordan块的阶数之和等于 矩阵理论第3讲 7 Jordan标准形 Continue 特征向量法求矩阵的Jordan标准形举例 1 在A的Jordan矩阵中构造1个以1为对角元素的Jordan块此Jordan块的阶数等于2 单重根 矩阵理论第3讲 8 Jordan标准形 Continue 特征向量法求矩阵的Jordan标准形举例 2 在A的Jordan矩阵中构造2个以2为对角元素的Jordan块此Jordan块的阶数等于3 矩阵理论第3讲 9 Jordan标准形 Continue 初等变换法多项式矩阵 矩阵 元素都是变数 的复系数多项式 称为多项式矩阵或 矩阵多项式矩阵的初等变换和秩的定义与常数矩阵类似多项式矩阵等价的定义也与常数矩阵类似由经有限次初等变换得到 矩阵多项式对 定义为矩阵A的多项式 矩阵理论第3讲 10 Jordan标准形 Continue 多项式矩阵的Smith标准型可通过有限次初等变换化为其中都是首一多项式 且 多项式整除由唯一确定 称之为的Smith标准形等价的多项式矩阵具有相同的Smith标准形方阵的特征矩阵是一个特殊的多项式矩阵 矩阵理论第3讲 11 Jordan标准形 Continue 不变因子称的Smith标准形中非零的对角线元素为的不变因子初等因子将次数大于0的不变因子分解为互不相同的一次因式的幂的乘积 在复数域内 这样的分解是可能的 称为的一个初等因子不变因子和初等因子的性质多项式矩阵经过初等变换后 其秩 不变因子 初等因子均不变 规定 矩阵理论第3讲 12 Jordan标准形 Continue 例 求多项式矩阵的Smith标准形和不变因子解 矩阵理论第3讲 13 Jordan标准形 Continue 矩阵理论第3讲 14 Jordan标准形 Continue 矩阵理论第3讲 15 Jordan标准形 Continue 矩阵理论第3讲 16 Jordan标准形 Continue 用初等变换法求Jordan标准形的步骤用初等变换化特征矩阵为Smith标准形 求出不变因子 不恒等于0 将次数大于0的不变因子分解为互不相同的一次因式的幂的乘积写出的全部初等因子 其中 矩阵理论第3讲 17 Jordan标准形 Continue 写出每个初等因子对应的Jordan块以这些Jordan块构成的Jordan矩阵即为方阵A的Jordan标准形 矩阵理论第3讲 18 Jordan标准形 Continue 初等变换法求矩阵的Jordan标准形举例 1 矩阵理论第3讲 19 Jordan标准形 Continue 初等变换法求矩阵的Jordan标准形举例 1 Continue不变因子 初等因子 A的Jordan标准形 矩阵理论第3讲 20 Jordan标准形 Continue 初等变换法求矩阵的Jordan标准形举例 2 矩阵理论第3讲 21 Jordan标准形 Continue 初等变换法求矩阵的Jordan标准形举例 1 Continue不变因子 初等因子 A的Jordan标准形 矩阵理论第3讲 22 Jordan标准形 Continue 问题 求矩阵的特征矩阵的不变因子和初等因子解 A的特征矩阵为 矩阵理论第3讲 23 Jordan标准形 Continue 多项式矩阵的行列式因子设对于 称的一切k阶子式的最大公因式为的k阶行列式因子是一个变数 的多项式 规定的最高次项的系数是1 降幂排列是首一的 规定 矩阵理论第3讲 24 Jordan标准形 Continue 必有相同的秩及相同的各级行列式因子 多项式矩阵的行列式因子和不变因子之间的关系设 则的k阶行列式因子为其中是的不变因子不变因子的等价定义设 为的k阶行列式因子 则称为的不变因子 矩阵理论第3讲 25 Jordan标准形 Continue 问题 求矩阵的特征矩阵的不变因子和初等因子解 A的特征矩阵为 矩阵理论第3讲 26 Jordan标准形 Continue 的行列式因子为的不变因子为的全部初等因子为 矩阵理论第3讲 27 Jordan标准形 Continue 行列式因子法求方阵的Jordan标准形的步骤求特征矩阵的n个行列式因子根据求出的不变因子求出的初等因子 并据此写出A的Jordan标准形 矩阵理论第3讲 28 Jordan标准形 Continue 行列式因子法求方阵的Jordan标准形举例 1 上三角阵考察的一个三阶子式 矩阵理论第3讲 29 Jordan标准形 Continue 行列式因子法求方阵的Jordan标准形举例 1 Continue显然 要让同时整除上面的三阶子式及是不可能的 所以 从而于是的不变因子为 的初等因子为 A的Jordan标准形为 矩阵理论第3讲 30 Jordan标准形 Continue 行列式因子法求方阵的Jordan标准形举例 2 考察的一个三阶子式 矩阵理论第3讲 31 Jordan标准形 Continue 行列式因子法求方阵的Jordan标准形举例 2 Continue考察的一个三阶子式 比较 显然 要让同时整除上面的三阶子式及是不可能的 所以 矩阵理论第3讲 32 Jordan标准形 Continue 行列式因子法求方阵的Jordan标准形举例 2 Continue从而于是的不变因子为 的初等因子为 A的Jordan标准形为 矩阵理论第3讲 33 Jordan标准形 Continue 的相似变换矩阵P的求法 设 对应的Jordan块 矩阵理论第3讲 34 Jordan标准形 Continue 的相似变换矩阵P的求法 Continue 首先进行相容性判定 则非其次线性方程组无解 则有解 且其解为 矩阵理论第3讲 35 Jordan标准形 Continue 的相似变换矩阵P的求解举例 1 设相似变换矩阵 由可得 矩阵理论第3讲 36 Jordan标准形 Continue 的相似变换矩阵P的求解举例 1 Continue 考察增广矩阵 矩阵理论第3讲 37 Jordan标准形 Continue 的相似变换矩阵P的求解举例 1 Continue 所以 的通解为 取k 1 则 那么所用的相似变换矩阵为 矩阵理论第3讲 38 Jordan标准形 Continue 的相似变换矩阵P的求解举例 2 设相似变换矩阵 由可得 矩阵理论第3讲 39 Jordan标准形 Continue 的相似变换矩阵P的求解举例 2 Continue 考察增广矩阵 矩阵理论第3讲 40 Jordan标准形 Continue 的相似变换矩阵P的求解举例 2 Continue 考察增广矩阵有解的条件是取 则 矩阵理论第3讲 41 Jordan标准形 Continue 的相似变换矩阵P的求解举例 2 Continue 由可得令 则 矩阵理论第3讲 42 Jordan标准形 Continue Jordan块的幂 定理 阶Jordan块的k次幂为 矩阵理论第3讲 43 Jordan标准形 Continue Jordan块的幂 证明 令考察 矩阵理论第3讲 44 Jordan标准形 Continue 因此 那么 矩阵理论第3讲 45 Jordan标准形 Continue 由于 并且由二项式定理 写成矩阵形式即为要证明的结果 关于的微分的形式如下 矩阵理论第3讲 46 Jordan标准形 Continue Jordan矩阵的幂 则 矩阵理论第3讲 47 Jordan标准形 Continue Jordan标准形应用举例 1 求已经求得 矩阵理论第3讲 48 Jordan标准形 Continue Jordan标准形应用举例 1 Continue 矩阵理论第3讲 49 Jordan标准形 Continue Jordan标