理论力学经典课件-第六章 质点系动能定理.ppt

动量定理和动量矩定理完整描述外力系对质点系效应 但不反映内力效应 第六章质点系动能定理 动能定理揭示了质点系动能的改变量与作用力 内 外力 的功之间的关系 6 1 1力的功 6 1功与动能 6 1功与动能 6 1 2质点系的动能 时 功为零 功是标量 有正负 力的作用点不变时 1 元功 则有 2 功 物理中力对质点元功 1 功的一般概念 6 1 1力的功 6 1功与动能 图示绕线轮沿斜面下滑S距离 计算所受外力的功 6 1 1力的功 6 1功与动能 一对内力 两点距离变化时 内力功不为零 且引力变化时 距离减小 内力功为正 反之为负 变形体中内力功不为零 刚体中内力功为零 可见 2 内力的功 6 1 1力的功 6 1功与动能 1 弹力的功 初 末状态两质点之距离 2 万有引力的功 可见时 内力作正功 释放能量 反之 功为负 初 末绝对伸长量 6 1 1力的功 6 1功与动能 发动机内力作正功 汽车加速行驶 机器中内摩擦作负功 人骑自行车 内力作功 弹性体中 外力使弹性体变形 内力作负功 内力功实例 6 1 1力的功 6 1功与动能 3 力对刚体的功 可得 合力FR在刚体平移中做功 合力偶在刚体绕C转动中做功 力向质心简化 6 1 1力的功 6 1功与动能 2 重物由平衡位置下移 求弹簧力的功 6 1 1力的功 6 1功与动能 3 均质轮滚动S后静止 求摩擦阻力的功 6 1 1力的功 6 1功与动能 6 1 2质点系的动能 1 质点系动能一般概念 1 正的标量 柯尼西定理 6 1功与动能 只能随质心平移分解 其它基点不成立 故 求坦克履带动能 已知 6 1 2质点系的动能 6 1功与动能 由柯氏定理 6 1 2质点系的动能 6 1功与动能 1 平移 2 定轴转动 3 平面运动 2 刚体的动能 由柯氏定理 6 1 2质点系的动能 6 1功与动能 1 均质轮滚动 已知 求 6 1 2质点系的动能 6 1功与动能 应考虑是否变化 6 1 2质点系的动能 6 1功与动能 6 2质点系动能定理 包括内 外力功 6 2 1动能定理的三种形式 第六章质点系动能定理 6 2 2动能定理的应用 1 微分式 2 积分式 对于理想约束 约束力功为零 如光滑铰 光滑面 外主动功 内功 约束功 6 2 1动能定理的三种形式 6 2质点系动能定理 3 守恒式 故 即 势力场中 主动力有势 6 2质点系动能定理 6 2 1动能定理的三种形式 1 动能定理与动量矩定理数学上独立吗 一般不独立 例如均质轮纯滚 故 动量矩定理 即 6 2质点系动能定理 6 2 1动能定理的三种形式 2 子弹射入后求T与W 射入后瞬时 设 系统质心在中点C 在质心系中考察A B运动 A B分别以2k弹簧 在各自初始条件下 作简谐振动 6 2质点系动能定理 6 2 1动能定理的三种形式 弹簧内力作负功 弹簧内力作功为 由柯尼西定理 6 2质点系动能定理 6 2 1动能定理的三种形式 对 弹簧静力与重力在转动时仍平衡 其功之和为零 可同时不考虑 又如图 b 6 2质点系动能定理 6 2 1动能定理的三种形式 已知力求加速度 由 对t求导数 6 2 2动能定理的应用 1 特点 3 常结合动量定理 动量矩定理某些分量方程求解 2 对一个自由度理想约束系统 整体研究 方程中不出现约束力 已知力求速度 由 已知运动求力 由 1 与位形变化有关 突出空间过程 4 计入内力功 可广泛用于变形体静 动力问题 6 2质点系动能定理 1 绞接机构已知均质轮由图 a 位置开始滚动 求A B C水平时 图 b 示瞬时 C为BC杆瞬心 由 而 6 2质点系动能定理 6 2 2动能定理的应用 代入式 a 得 1 如何求任意位置时 6 2质点系动能定理 6 2 2动能定理的应用 题型 已知各构件质量为m OA l在力偶M作用下 n转后 求 类似 若已知常数 判断轮受摩擦力方向 已知力求运动 再考虑 功 6 2质点系动能定理 6 2 2动能定理的应用 在任意位置时 轮与杆的速度瞬心分别为和 且有 a 6 2质点系动能定理 6 2 2动能定理的应用 b 由 有 将式 b 代入 有 再将式 a 代入上式 并经整理得 c 6 2质点系动能定理 6 2 2动能定理的应用 将 代入式 c 得 若时 则 2 本题若将动能定理积分形式或机械能守恒式两边对时间t求导 可获同样结果 1 若取AB与水平方向的夹角为变量时 与正方向相同 而与实际方向相反 6 2质点系动能定理 6 2 2动能定理的应用 2 为何值时 杆端B离开墙面 离墙后运动如何 1 如何求运动中杆端B的约束力 6 2 2动能定理的应用 6 2质点系动能定理 3 已知滑块A 均质轮B 质量均为 均质杆长 质量为m 三者铰接 f 0 由静止释放 求时 研究整体 因 研究轮B 轮B平移 6 2质点系动能定理 6 2 2动能定理的应用 时 速度如图 6 2质点系动能定理 6 2 2动能定理的应用 1 如何求时 由 2 如何求任意位置时与及铰B处约束力 3 若将轮与杆固结 情形有何不同 4 若改变初始位置 情形如何 6 2质点系动能定理 6 2 2动能定理的应用 碰撞与冲击的实例 6 3碰撞 第六章质点系动能定理 飞行员座椅弹射装置 第六章质点系动能定理 6 3碰撞 汽车碰撞实物试验 第六章质点系动能定理 6 3碰撞 汽车碰撞虚拟试验 研究的问题 车体间的碰撞 人体与车体的碰撞 人体内脏的碰撞 第六章质点系动能定理 6 3碰撞 6 3 1碰撞过程特点与简化 2 简化 时间短 速度突变 受力大且复杂 不计非碰力 不计碰撞过程位移 绕过复杂受力过程并简化 1 特点 6 3碰撞 1 A B相碰后 C怎样运动 B向前运动 靠B C间摩擦力 使C加速 碰后瞬时 2 子弹水平射入物A 子弹与物A沿斜面方向动量守恒吗 物A受斜面法向冲量 同时受斜面方向摩擦力冲量 故不守恒 若水平面光滑 则整体守恒 若水平面不光滑 出现摩擦力冲量 不守恒 6 3 1碰撞过程特点与简化 6 3碰撞 6 3 2材料对碰撞的影响 恢复系数 6 3碰撞 1 挤压变形 2 弹性恢复 1 两个阶段 2 恢复系数 1 正碰 v沿法向 定义 6 3碰撞 6 3 2材料对碰撞的影响 恢复系数 e 0完全非弹性或塑性 e 1完全弹性 一般0 e 1 为材料常数 2 斜碰 不计摩擦 6 3 2材料对碰撞的影响 恢复系数 6 3碰撞 3 一般情形 6 3碰撞 6 3 2材料对碰撞的影响 恢复系数 1 小车突然以运动 求碰后小球相对车的速度 相对速度仍为 a c b 6 3碰撞 6 3 2材料对碰撞的影响 恢复系数 6 3 3碰撞过程的动能损耗 1 正碰过程的动能损耗 已知 求 有 设碰后速度为 而 6 3碰撞 2 锻压与打桩的能量损失 故 重锤打桩 大砧打铁 要大 大铁砧 1 锻压 2 打桩 6 3 3碰撞过程的动能损耗 6 3碰撞 研究A B杆 碰撞前后速度如图 有 6 3 3碰撞过程的动能损耗 6 3碰撞 有 又 故 6 3 3碰撞过程的动能损耗 6 3碰撞 由式 a b c 得 1 本题是否有更简捷的求解途径 2 若考虑水平面摩擦 情况怎样 6 3 3碰撞过程的动能损耗 6 3碰撞 6 3 4碰撞对定轴转动刚体作用 由冲量定理 设冲击后速度如图 1 图为对称面已知为质心 起始静止 如何消除或减少受冲击时轴承的约束冲量 撞击中心 6 3碰撞 由冲量矩定理 解之得 6 3碰撞 用锄头 挥大锤 击棒球 若碰点与撞击中心接近 手感轻松 6 3 4碰撞对定轴转动刚体作用 1 何时不可避免约束冲量 6 3碰撞 6 3 4碰撞对定轴转动刚体作用 2 求图示刚体撞击中心 6 3碰撞 6 3 4碰撞对定轴转动刚体作用 6 3 5碰撞系统的动能定理 碰撞过程 不计位移 只有碰撞力的功为有限值 非碰撞力功无限小 有 6 3碰撞 这里既含有外碰撞冲量 也含约束碰撞冲量 故 对于理想约束刚体系统 只含速度实变方向外冲量的功 设冲击后速度如图 由碰撞系统动能定理有 2 已知匀质轮m r 均质杆m AB 2r 铰接不计滑块B质量和摩擦 D处受水平冲量I 求 得 6 3碰撞 6 3 5碰撞系统的动能定理 1 试用冲量定理和冲量矩定理求解 并比较两种方法特点 2 如何求铰O及滑块B所受约束力冲量 3 若改变AB杆倾角为30 并设滑块B质量亦为m 如何求解 6 3碰撞 6 3 5碰撞系统的动能定理 动力学普遍定理 三者都可由对质点的牛顿定理推导出来 因而这些定理的数学方程具有某种等价性 6 4动力学普遍定理的综合应用 动量定理 动能定理 动量矩定理 动力学问题的题型 碰撞 非碰撞 选用冲量定理和冲量矩定理求解 第六章质点系动能定理 又碰撞 稳态问题 初瞬时问题 非稳态问题 单自由度系统的运动问题 突然解除约束力问题 可直接用动量矩定理求解 加速度不变 可直接用动量方法求解 加速度变化 宜先用动能定理求出速度和加速度 再用动量方法求解 宜先用动能定理整体分析 求出速度和加速度 再用动量方法求力 第六章质点系动能定理 6 4动力学普遍定理的综合应用 求解中还要注意应用动量 动量矩与机械能的守恒条件以及运动学的补充关系 6 4动力学普遍定理的综合应用 第六章质点系动能定理 图示均质杆长2l 重G 细绳长l f 0 不计摩擦杆由静止滑到虚线位置时 求vB及A B处反力 1 非稳态问题 虚线位置时 AB瞬时平动 C为质心 第六章质点系动能定理 6 4动力学普遍定理的综合应用 AB杆加速度如图 a a 其中 a 式向y方向投影 得 而 第六章质点系动能定理 6 4动力学普遍定理的综合应用 如图 b b 式向y方向投影 得 第六章质点系动能定理 6 4动力学普遍定理的综合应用 AB杆受力如图 c 有 将ac 代入上式 可得 若将OA绳改为两端铰接的均质杆 情形怎样 若将AB杆运动至虚线位置时突然绳断 试求此时B端反力 以及此后AB杆的运动规律与A端落地时的速度 第六章质点系动能定理 6 4动力学普遍定理的综合应用 如图 a 所示 斜面倾角为 在水平力F 2mg作用下 沿水平面向右移动 并带动半径为R的均质轮O在斜面上纯滚动 铅直杆AO与轮心O铰接 不计摩擦 设三构件质量均为m 试求斜面加速度及铰O处反力 2 单自由度稳态问题 第六章质点系动能定理 6 4动力学普遍定理的综合应用 设系统由静止开始 斜面向右移动S距离时速度如图 b 由T T0 W 且T0 0 有 1 2 6 4动力学普遍定理的综合应用 可得 3 4 第六章质点系动能定理 6 4动力学普遍定理的综合应用 分别研究轮与斜面系统及杆AO 受力如图 c 对前者 由质心运动定理有 5 对后者有 6 第六章质点系动能定理 6 4动力学普遍定理的综合应用 如图 a 所示 滑块A与半径为r均质轮用长为l的均质杆相铰联 滑块可在水平槽中滑动 在重力作用下 轮O由图示不稳定的平衡位置静止开始运动 设三构件质量均为m 不计摩擦 试求任意 倾角位置时 杆端A所受的力 3 多自由度非稳态问题 第六章质点系动能定理 6 4动力学普遍定理的综合应用 1 系统质心恒在OA杆中点C 由水平动量恒为O C点速度vC沿铅垂方向 各速度如图 b OA杆速度瞬心为Cv 则 第六章质点系动能定理 6 4动力学普遍定理的综合应用 2 第六章质点系动能定理 6 4动力学普遍定理的综合应用 研究整体 加速度与受力如图 c 由质心运动定理 有 3 4 由对质心的动量矩定理 并考虑到轮O平动 有 5 第六章质点系动能定理 6 4动力学普遍定理的综合应用 再研究物块A 受力如图 d FA为杆端对物A的反作用力 由牛顿定律 有 将 4 2 5 6 式代入 即得所求 7 将 4 5 式代入 3 式 得 6 第六章质点系动能定理 6 4动力学普遍定理的综合应用 如图 a 所示 半径为R的均质薄圆盘水平静止于光滑平面上 轮心O处用铰链连接一根长为2R的水平均质杆 它们的质量均为m 一质量为m 4的小球速度v沿水平面从垂直于杆的方向与杆端A发生完全弹性碰撞 试求碰撞后三者的运动状态及O处的约束反力 4 碰撞问题 第六章质点系动能定理 6 4动力学普遍定理的综合应用 设碰撞结束的瞬时 速度如图 b 由整体动量守恒有 完全弹性碰撞的恢复系数为1 有 2 由整个系统对固定点O动量矩守恒有 第六章质点系动能定理 6 4动力学普遍定理的综合应用 此后 小球以速度v 作匀直线运动 杆与圆盘系统保持碰撞结束时的动量不变 设其质心速度为vc 则 将 4 代入得 由 1 2 3 求得 4 第六章质点系动能定理 6 4动力学普遍定理的综合应用 杆与圆盘系统的质心作匀速直线运动 在