通信系统原理第8章.ppt

第8章数字信号的最佳接收 通信系统原理 第8章数字信号的最佳接收 8 1引言8 2最小差错率准则8 3确知信号的最佳接收 理想接收机8 4最大输出信噪比准则 匹配滤波器8 5最小均方误差准则 相关接收机8 6随相信号的最佳接收机8 7随机振幅和相位信号的最佳接收8 8最佳基带传输系统8 9最佳接收理论的应用 8 1引言 通过前面章节介绍可知 不同的解调方法获得不同的抗噪声性能 换句话说 接收系统接收方法不同 获得的抗噪声性也不同 如 FSK可以采用相干 非相干和过零检测等解调方法 其抗噪声性能也具有一定的差别 因此 数字通信系统采用不同的接收方式 其传输质量是有差异的 度量的准则主要是错误判决的概率 研究数字通信系统接收的理论基础主要是统计判决理论 在数字通信系统中 接收端收到的是发送信号和信道噪声之和 在信号 码元 发出后 接收端收到的信号电压由于噪声的影响具有随机性 即接收电压信号仍然是一个随机过程 在现代通信中 太空通信 无线局域网和3G通信等方面 最佳接收都有广泛的应用 在本章 接收机的结构是未知的 而是依据某种最佳接收准则 寻找或推导出相应的最佳接收机结构 然后再分析其性能 这种分析方法类似寻找无码间串扰的信道特性时所采用的方法 最佳接收准则 1 最小差错率准则 理想接收机在数字通信系统中 传输质量的主要指标是错误概率 因此 将差错概率最小作为 最佳 的准则是恰当的 换句话说 当接收端收到某个符号时 判决最有可能的发送符号是哪个 使正确接收的概率达到最大 因此 最小差错率与 最大后验概率 是等价的 其中 P s1 和P s2 分别为发端符号s1和s2的发送概率 且 Pe1和Pe2中的积分区间需根据具体问题来确定 该准则就是使Pe达到最小 即达到最小差错率 这个准则推导出来理想接收机 8 1 2 最大输出信噪比准则 匹配滤波器在抽样时刻 对每个码元作判决 信噪比越大越好 信噪比越大 误码率就越小 因此 假设存在某种接收方法 使抽样判决时刻的信噪比达到最大 则误码率就会达到最小 这就最大输出信噪比准则 即 这个准则推导出来匹配滤波法接收 8 2 和 若 则判为s2 t 这个准则推导出来相关接收机 3 最小均方误差准则 相关接收机根据接收到的信号与信号的样品对照 计算出均方误差 与哪种符号的误差最小 就判决为哪种符号 这也是一种正确接收的思路 在二元数字通信系统中 均方误差为 8 3 则说明接收信号x t 与s1 t 的均方误差更小 即更 像 s1 t 因此 接收判决时应判为s1 t 反之 若 8 2最小差错率准则 最小差错率准则是从信号和噪声的统计特性方面研究最佳接收问题 为了研究符合最小差错率准则的接收机形式 首先分析接收信号服从的概率密度分布 然后 再推导出来接收机的形式 图8 1信号与噪声合成信号的判决 在数字通信系统中 符号S0 S1 S2 Sn分别是发端的符号集 如果n 2 则为二元数字系统 在二元数字通信系统中 S0 0 S1 1或者S0 1 S1 1 判决器输入信号为y x s 如图8 1所示 图8 2信号判决期间 如果发送的是s1 t 但是观察时刻得到的观察值yi却落在r2区间 这时将造成错误判决 因此 发s1 t 而误判为s2 t 的错误概率为 8 6 同理 如果发送的是s2 t 但是观察时刻得到的观察值yi却落在r1区间 这时将造成另一种错误判决 其错误概率为 因此 系统总的误码率为 8 8 8 7 从式 8 8 可以看出 系统总的误码率与先验概率P s1 和P s2 似然函数及划分点 有关 条件概率密度 和 叫做似然函数 最小差错率准则就是要求总误码率Pe达到最小 在先验概率和似然函数一定的条件下 系统总的误码率Pe是划分点的函数 不同的将有不同的Pe 我们希望选择一个划分点 误码率Pe达到最小 使误码率Pe达到最小的划分点y0称为最佳划分点 y0可以通过求Pe的最小值得到 即求极小值令 可求出最佳判门限y0 请见前面的相关章节的分析 因此 为了得到最小差错概率 进一步求解式 8 9 可以得到以下规则进行判决 8 11 8 10 以上判决规则称为似然比准则 即两个似然函数之比 这里 似然函数就是条件概率密度函数 在加性高斯白噪声条件下 似然比准则和最小差错概率准则是等价的 当s1 t 和s2 t 的发送概率相等时 即P s1 P s2 时 则 判为s1 判为s2 在实际接收时 如果将信号与噪声的混合波形直接送入判决器 接收端的判决器采用一次判决显然不可靠 从概念上来说 只要能够看出接收到的信号与噪声的混合波形的 形态 更像哪个信号 就该能够判决为哪个信号 采用多次判决能增加可靠性 且要求多次抽样值必须是统计独立的 8 12 设信号的持续时间为Ts 在 0 Ts 时间内观测噪声 第i次抽样其概率密度为 式中 p ni 是噪声n在ti时刻的取值 即ni的一维概率密度函数 若ni的均值为零 方差为 若各样值是统计独立的 则其k次观测得到k维联合概率密度函数是k个一维概率密度函数的乘积 则其联合概率密度函数为 8 14 8 13 根据帕塞瓦尔定理 当k很大时有 8 15 8 16 8 17 信号通过信道叠加噪声后到达观察空间 在s为已知情况下 观察空间的观察波形为y s n 由于在一个码元期间T内 信号集合中各状态s1 s2 sm中之一被发送 因此在观察期间T内观察波形为 进一步 8 18 8 3确知信号的最佳接收机 理想接收机 在数字通信系统中 接收机输入信号根据其特性的不同可以分为两大类 一类是确知信号 另一类是随参信号 所谓确知信号是指信号的参数 如 幅度 频率 相位和到达时刻等 都是确知的 或者说信号的状态在过去 现在和未来都是已知的 如数字信号通过恒参信道到达接收机输入端的信号 对于随参信号 根据信号中随机参量的不同又可细分为随机相位信号 随机振幅信号和随机振幅随机相位信号 又称起伏信号 信号统计检测是利用概率和数理统计的工具来设计接收机 最佳接收机设计是在一组给定的假设条件下 利用信号检测理论给出满足某种最佳准则的接收机 其数学描述和组成原理框图不涉及接收机各级的具体电路 8 3 1二进制确知信号最佳接收机结构 如图8 3所示为接收机基本原理框图 设到达接收机输入端的两个确知信号分别为s1 t 和s2 t 它们的持续时间为 0 T 且有相等的能量 即 8 19 图8 3接收机基本原理框图 根据上面的分析可知 在加性高斯白噪声条件下 最小差错概率准则与似然比准则是等价的 可以直接利用似然比准则对确知信号做出判决 在观察时间 0 T 内 接收机输入端的信号为s1 t 和s2 t 信号与噪声的混合波形为 发送s1 t 时 发送s2 t 时 由前面分析可知 当出现s1 t 或s2 t 时 观察空间的似然函数分别为 根据式 8 10 判决规则 似然比为 式中 利用了式 8 19 的假设条件 进一步可得 判为s1 t 8 23 判为s2 t 8 24 式中 P s1 和P s2 分别为发送s1 t 和s2 t 的先验概率 对式 8 23 和式 8 24 两边取对数 得 判为s1 t 8 25 判为s2 t 8 26 判为s1 t 8 27 判为s2 t 8 28 或者写成 式中 根据判决规则 把表达式 8 27 与式 8 28 用框图表示 可得到最佳接收机的模型 如图8 4所示 其中比较器是比较抽样时刻t T时上下两个支路样值的大小 这种最佳接收机的结构充分考虑了K1和K2对判决的影响 特别是当发送s1 t 的概率为0时 即P s1 0 则lnP s1 即K1 这时式 8 28 总是成立 从而总是判决为s2 t 出现 这个结果正是我们希望的 因为发端只发送了s2 t 反过来 当P s2 0时 情况正好相反 把这种接收机叫做理想接收机 图8 4二进制确知信号最佳接收机结构 理想接收机 如果发送信号s1 t 和s2 t 的出现概率相等 即P s1 P s2 可得K1 K2 此时 图中的两个相加器可以省去 则先验等概率情况下的二进制确知信号最佳接收机简化结构为图8 5所示 这个结构属于相关接收机 在后面的章节会介绍 相关接收机的结构来自最小均方误差准则的推导 图8 5二进制确知信号最佳接收机简化结构 相关接收机 其中 n t 是高斯白噪声 其均值为零 方差为若根据式 8 27 进行判决 即 8 3 2二进制确知信号最佳接收机误码性能 误码率的一般公式为 8 31 设发送信号为s1 t 接收机输入端合成信号为 8 32 判为s1 t 是正确判决 将式 8 32 代入式 8 27 中 可得 8 33 若 则属于错误判决 再将式 8 29 和式 8 30 代入式 8 33 中 并利用式 8 19 即s1 t 和s2 t 能量相等的条件 可得 设式 8 34 的左边的随机变量为 即 而式 8 34 的右边为常数 令为a 即 当误判为s2 t 而产生错误判决时 则发送s1 t 将其错误判决为s2 t 的条件简化为 a事件 相应的错误概率为 8 38 根据假设条件 n t 是高斯随机过程 其均值为零 方差为 根据随机过程理论 高斯型随机变量的线性组合仍然服从高斯分布 而积分运算是线性运算 因此 是高斯型随机变量 一个高斯型随机变量被数学期望和方差唯一确定 所以 对于高斯随机变量 只要求出 的数学期望和方差 就可以得到 的概率密度函数 的数学期望为 8 39 方差 8 40 利用白噪声的特点 可得 于是可以写出 的概率密度函数为 8 43 至此 可以计算出发送s1 t 时 错误判决为s2 t 的概率为 利用相同的分析方法 可以得到发送s2 t 时 将其错误判决为s1 t 的概率 即 因此 系统总的误码率为 8 45 8 44 式中 a和b是判决门限 分别为 最佳接收机的误码性能与先验概率P s1 和P s2 噪声功率谱密度n0及s1 t 和s2 t 的能量之差有关 而与s1 t 和s2 t 本身的具体结构无关 一般情况下先验概率是不容易确定的 通常选择先验等概率的假设设计最佳接收机 在发送s1 t 和s2 t 的先验概率相等时 误码率Pe还与s1 t 和s2 t 的能量之差有关 如何设计s1 t 和s2 t 使误码率Pe达到最小 是需要解决的另一个问题 可以看出 当发送信号先验概率相等时 a b 此时误码率可表示为 式中 8 48 为了分析方便 我们定义s1 t 和s2 t 之间的互相关系数为 误码率为 8 52 8 3 3抗噪声性能影响因素分析 式 8 52 为发送信号先验概率相等时 二进制确知信号最佳接收机所能达到的最小误码率 互相关系数 与Pe之间有密切的关系 当发送信号s1 t 和s2 t 之间的互相关系数 1时 s1 t 和s2 t 波形称为是最佳波形 也叫反相关信号 而当互相关系数 0时 信号s1 t 和s2 t 之间叫做不相关 其误码率为 若互相关系数 1 叫全相关 则误码率为 全相关的两个信号s1 t 和s2 t 是完全一样的 此时 在接收端根本无法分辨出来是信号s1 t 还是信号s2 t 必然造成50 的误码 这时 也不能实现任何信息的传输 若发送信号s1 t 和s2 t 是不等能量信号 如E1 0 E2 Eb 0 发送信号s1 t 和s2 t 的平均能量为E Eb 2 在这种情况下 误码率表示式为 0 ASK 0 1图8 6二进制最佳接收机误码率曲线 8 4最大输出信噪比准则 匹配滤波器 滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大 导出的最佳线性滤波器称为匹配滤波器 这就是说 要使错误判决概率尽可能小 也可以从接收端的信噪比最大作为实现目的之手段 选择滤波器传输特性使滤波器输出信噪比达到最大的滤波器 该滤波器就称为输出信噪比最大的最佳线性滤波器 式中 s t 为输入数字信号 其频谱函数为S n t 为高斯白噪声 其双边功率谱密度为n0 2 设输出信噪比最大的最佳线性滤波器的传输函数为H 滤波器输入信号与噪声的合成波形为 由于该滤波器是线性滤波器 满足线性叠加原理 因此滤波器输出也由输出信号和输出噪声两部分组成 即 滤波器输出信号瞬时功率和噪声的平均功率分别为 在抽样时刻t0线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均功率之比为 8 60 可见 滤波器输出信噪比r0与输入信号的频谱函数S 和滤波器的传输函数H 有关 在输入信号给定的情况下 输出信噪比r0只与滤波器的传输函数H 有关 使输出信噪比r0达到最大的传输函数H 就是我们所要求的最佳滤波器的传输函数 r0是一个泛函求极值的问题 采用施瓦兹 Schwartz 不等式可以容易地解决该求极值问题 施瓦兹不等式为 8 61 式中 X 和Y 都是实变量 的复函数 当且仅当 等式才能成立 式中k为任意常数 将施瓦兹不等式用于求r0 并令 8 63 8 64 可以得到r0 根据帕塞瓦尔定理 有 式中E为输入信号的能量 线性滤波器所能给出的最大输出信噪比为 8 66 根据施瓦兹不等式中等号成立的条件式 8 63 可得不等式中等号成立的条件为 H 就是我们所要求的最佳线性滤波器的传输函数 该滤波器在给定时刻t0能获得最大输出信噪比 8 4 1匹配滤波器的冲击响应 从匹配滤波器传输函数H 所满足的条件 我们也可以得到匹配滤波器的冲激响应h t 8 69 若s t 是实信号 上式成立 即匹配滤波器的冲激响应为 匹配滤波器的冲激响应h t 是输入信号s t 的镜像函数 t0为输出最大信噪比时刻 对于因果系统 匹配滤波器的冲激响应h t 应满足 为了满足这个条件 必须要求 图8 7输入信号与匹配滤波器的冲击响应的关系 8 72 8 4 2匹配滤波器的实现 从匹配滤波器的冲击响应式 8 70 可以看出 对于任意给定发送端信号为s t 要用类似分立元件的硬件电路实现与s t 相匹配的滤波器 具有很大的困难 若采用微处理器实现要方便得多 但软件实现往往实时处理的速度不如硬件快 很多实际系统中 采用硬件电路实现匹配滤波器时 对s t 的形式有一定的限定 特别是数字调制系统 大部分信号是矩形脉冲调制在载波上 已调信号具有正弦波的形式 这样 可以利用谐振电路就可以近似实现 1 LC谐振式动态滤波器 如图8 9是LC谐振式动态滤波器的原理电路 该电路的中的L和C是无损器件 谐振频率为f0 并假定开关断开 在t T时刻 输入电流信号的频率为f0 在L或C上的谐振电压v0 t 开始线性增加 如果输入电流一直存在 信号幅度将一直线性增长 实际上 L和C不可能是真正的无损器件 使得谐振电压信号也不可能一直增长 因此说该电路可以作为匹配滤波器而近似实现对正弦型信号的匹配 图8 9LC谐振式动态滤波器的原理电路 2 计算法实现动态滤波器 图8 10模拟计算法实现动态滤波器 3 数字滤波式动态滤波器 a b 图8 11 a 数字滤波式动态滤波器原理图和 b 开关函数波形 8 5最小均方误差准则 相关接收机 根据8 1节的介绍 最小均方误差准则也是常用的准则之一 从这个准则出发 可以推导出相关接收机 最小均方误差准则就是将接收到的信号与各个样品信号对照 分别计算误差 与哪种符号的误差最小 就判决为哪种符号 也是正确接收的思路 在二元数字通信系统中 8 76 因此 判决规则为 或者将式 8 74 和式 8 75 代入式 8 76 得 8 78 8 74 8 75 注意 利用E1 E2 整理得 8 80 判决为s2 8 81 判决为s1 图8 12相关接收机模型 8 6随相信号的最佳接收机 二进制随相信号具有多种形式 我们以具有随机相位的2FSK信号为例展开分析 设发送的两个信号到达接收端成为随相信号 即 8 82 8 83 式中 1和 2为满足正交条件的两个载波角频率 1和 2是每一个信号的随机相位参数 它们的取值在区间 0 2 上服从均匀分布 式中 8 91 8 90 令随机变量为 式中 判决式两边约去常数 并代入M1和M2的具体表示式后 得到 判为s2 判为s1 8 110 8 111 判为s1 8 112 判为s2 8 113 图8 13二进制随相信号最佳接收机结构 图8 14匹配滤波法接收随相信号 8 7随机振幅和相位信号的最佳接收 当信号通过变参信道时 如短波想到 经常会发生接收信号的振幅和相位都具有随机性 对这类信号的最佳接收采用确知和随相信号最佳接收机的结构 都不能得到预期的效果 因此 对于幅度和相位都具