现代控制理论4章.ppt

第四章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 4 1Lyapunov意义下的稳定性问题 一 平衡状态 给定运动方程之原点考虑如下非线性系统 式中x为n维状态向量 在系统中 总存在 对所有t成立 则xe称为系统的平衡状态或平衡点 如果系统是线性定常的 当A为非奇异矩阵时 系统存在一个唯一的平衡状态 当A为奇异矩阵时 系统将存在无穷多个平衡状态 对于非线性系统 可有一个或多个平衡状态 任意一个的平衡状态都可通过坐标变换 统一化为扰动方程之坐标原点 除非特别申明 我们将仅讨论扰动方程关于原点处之平衡状态的稳定性问题 4 1Lyapunov意义下的稳定性问题 二 Lyapunov意义下的稳定性定义系统 之平衡状态xe的 邻域为 存在 邻域 X0为初始状态 有如下成立 4 1Lyapunov意义下的稳定性问题 X0为初始状态 有如下成立 1 如果对应于每一个 存在一个 使得当t趋于无穷时 始于 的轨迹不脱离 则式系统之平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的 一般地 实数 与 有关 通常也与t0有关 如果 与t0无关 则此时平衡状态称为一致稳定的平衡状态 2 如果平衡状态 在Lyapunov意义下是稳定的 并且始于域 的任一条轨迹 当时间t趋于无穷时 都不脱离 且收敛于平衡点 则称系统之平衡状态为渐近稳定的 3 对所有的状态 如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性 则平衡状态称为大范围渐近稳定 显然 大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态 4 如果对于某个实数 0和任一个实数 0 不管这两个实数多么小 在 内总存在一个状态 使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开 那么平衡状态称为不稳定的 4 1Lyapunov意义下的稳定性问题 a 稳定平衡状态及一条典型轨迹 b 渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹 c 不稳定平衡状态及一条典型轨迹 a 稳定平衡状态及一条典型轨迹 b 渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹 c 不稳定平衡状态及一条典型轨迹 4 1Lyapunov意义下的稳定性问题 三 预备知识1 纯量函数的正定性如果对所有在域 中的非零状态x 0 有V x 0 且在x 0处有V x 0 则在域 域 包含状态空间的原点 内的纯量函数称为正定函数 2 纯量函数的负定性如果 V x 是正定函数 则纯量函数V x 称为负定函数 3 纯量函数的正半定形如果纯量函数V x 除了原点以及某些状态等于零外 在域 内的所有状态都是正定的 则称为正半定纯量函数 4 纯量函数的负半定性如果 V x 是正半定函数 则纯量函数称为负半定函数 5 纯量函数的不定性如果在域 内 不论域 多么小 既可为正值 也可为负值时 纯量函数称为不定的纯量函数 4 1Lyapunov意义下的稳定性问题 三 预备知识 例 本例给出按照以上分类的几种纯量函数 假设x为二维向量 1 正定的2 正半定的3 负定的4 不定的 4 1Lyapunov意义下的稳定性问题 三 预备知识5 二次型建立在Lyapunov第二法基础上的稳定性分析中 有一类纯量函数起着很重要的作用 即二次型函数 这里的x为实向量 P为正定实对称矩阵 则V x 是正定函数 4 1Lyapunov意义下的稳定性问题 三 预备知识5 二次型二次型正定性可用赛尔维斯特准则判断 该准则指出 二次型为正定的充要条件是矩阵P的所有主子行列式均为正值 即 4 1Lyapunov意义下的稳定性问题 例5 2 试证明下列二次型是正定的 因为矩阵P的所有主子行列式均为正值 所以是V x 正定的 4 2Lyapunov稳定性理论 一 Lyapunov第一法 直接法 将系统方程在平衡点线性化得到系数矩阵A 计算矩阵的特征值 若特征值实部全都小于零 系统稳定且为渐近稳定 否则不稳定 若有等于零 需要进一步判断B x t 此方法需要取得系数矩阵A的特征值 使用不多 4 2Lyapunov稳定性理论 二 Lyapunov第二法 间接法 由力学经典理论可知 对于一个振动系统 当系统总能量 正定函数 连续减小 这意味着总能量对时间的导数必然是负定的 直到平衡状态时为止 则振则系统是稳定的 Lyapunov引出了一个虚构的能量函数 称为Lyapunov函数 其对时间的导数的符号特征 提供了判断平衡状态处的稳定性 渐近稳定性或不稳定性的准则 而不必直接求出方程的解 4 2Lyapunov稳定性理论 二 Lyapunov第二法 间接法 定理5 1考虑如下非线性系统如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数V x t 且满足以下条件 1 V x t 正定 2 dV x t dt负定则在原点处的平衡状态是 一致 渐近稳定的 进一步地 若 则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的 4 2Lyapunov稳定性理论 二 Lyapunov第二法 间接法 例5 3 考虑如下非线性系统显然原点是唯一的平衡状态 试确定其稳定性 如果定义一个正定纯量函数v x 而dv x dt是负定的 这说明沿任一轨迹连续地减小 因此是一个Lyapunov函数 由于随x偏离平衡状态趋于无穷而变为无穷 则按照定理5 1 该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的 4 2Lyapunov稳定性理论 二 Lyapunov第二法 间接法 几点说明 1 这里仅给出了充分条件 也就是说 如果能构造出了Lyapunov函数 那么系统是渐近稳定的 但如果找不到这样的Lyapunov函数 并不能给出任何结论 例如不能据此说该系统是不稳定的 2 对于渐近稳定的平衡状态 则Lyapunov函数必存在 3 对于非线性系统 通过构造某个具体的Lyapunov函数 可以证明系统在某个稳定域内是渐近稳定的 但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的 对于线性系统 如果存在渐近稳定的平衡状态 则它必定是大范围渐近稳定的 4 这里给出的稳定性定理 既适合于线性系统 非线性系统 也适合于定常系统 时变系统 具有极其一般的普遍意义 4 2Lyapunov稳定性理论 二 Lyapunov第二法 间接法 定理5 2考虑如下非线性系统如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数V x t 且满足以下条件 1 V x t 正定 2 dV x t dt负半定 3 对于任意t0和任意x0 在t t0时 dV q x0 t t dt不恒等于零 其中q x0 t 表示在t0时从x0出发的轨迹 则在系统原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的 4 2Lyapunov稳定性理论 二 Lyapunov第二法 间接法 例5 4 考虑如下非线性系统显然原点是唯一的平衡状态 试确定其稳定性 如果定义一个正定纯量函数v x dv x dt是负半定的 若dv x dt 0 则x2 0 dx2 dt 0 最终x1 0 可见仅有原点符合要求 其他点不可能成立 所以系统是大范围渐近稳定的 4 2Lyapunov稳定性理论 二 Lyapunov第二法 间接法 定理5 3考虑如下非线性系统如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数V x t 在平衡点xe的邻域内 且满足以下条件 1 V x t 正定 2 dV x t dt正定 则在系统平衡点xe的平衡状态是不稳定的 4 2Lyapunov稳定性理论 二 Lyapunov第二法 间接法 例5 5 考虑如下非线性系统显然原点是唯一的平衡状态 试确定其稳定性 如果定义一个正定纯量函数v x dv x dt是正半定的 若dv x dt 0 则x2 0 dx2 dt 0 最终x1 0 可见仅有原点符合要求 其他点不可能成立 所以系统是不稳定的 4 3线性定常系统的Lyapunov稳定性分析 利用Lyapunov第二法对线性定常系统进行分析 有如下几个特点 1 都是充要条件 而非仅充分条件 2 渐近稳定性等价于Lyapunov方程的存在性 3 渐近稳定时 必存在二次型Lyapunov函数 4 当系统矩阵A非奇异时 仅有唯一平衡点 即原点 5 渐近稳定就是大范围渐近稳定 两者完全等价 4 3线性定常系统的Lyapunov稳定性分析 假设A为非奇异矩阵 则有唯一的平衡状态xe 0 P为正定 则 对于图示系统 其渐近稳定的充分条件是Q正定 为了判断n n维矩阵的正定性 可采用赛尔维斯特准则 即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值 在判别时 方便的方法 不是先指定一个正定矩阵P 然后检查Q是否也是正定的 而是先指定一个正定的矩阵Q 然后检查由确定的P是否也是正定的 这可归纳为如下定理 4 3线性定常系统的Lyapunov稳定性分析 几点说明 1 如果系统只包含实状态向量x和实系统矩阵A 则Lyapunov函数为xTPx 且Lyapunov方程为ATP PA Q 2 如果沿任一条轨迹不恒等于零 则Q可取正半定矩阵 3 如果取任意的正定矩阵Q 或者如果沿任一轨迹不恒等于零时取任意的正半定矩阵Q 并求解矩阵方程ATP PA Q以确定P 则对于在平衡点处的渐近稳定性 P为正定是充要条件 4 只要选择的矩阵Q为正定的 或根据情况选为正半定的 则最终的判定结果将与矩阵Q的不同选择无关 5 在确定是否存在一个正定的实对称矩阵P时 为方便起见 通常取Q I 这里I为单位矩阵 从而ATP PA I P的各元素可按下式确定然后再检验P是否正定 4 3线性定常系统的Lyapunov稳定性分析 例 设二阶线性定常系统的状态方程为 显然 平衡状态是原点 试确定该系统的稳定性 解 4 4基于Lyapunov第二法的控制系统最优化 Lyapunov函数和二次型性能指标之间的直接关系 可以利用这种关系求解参数最优问题 考虑如下的线性系统 设系统在原点x 0是渐近稳定的 假设矩阵A包括一个 或几个 可调参数 要求下列性能指标 达到极小 式中Q为正定 或正半定 实对称矩阵 因而该问题变为确定几个可调参数值 使得性能指标达到极小 利用Lyapunov函数 根据Lyapunov第二法可知 如果系统稳定 则对给定的Q 必存在一个P为正定的对称矩阵 4 4基于Lyapunov第二法的控制系统最优化 由性能指标J 由于系统稳定 A的所有特征值均有负实部 可得 则对于系统参数ai 有 4 4基于Lyapunov第二法的控制系统最优化 例 研究图5 5所示的系统 确定阻