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我所认识的均布压力作用下的厚壁圆筒的弹塑性分析 一 背景简介何谓均布压力下的厚壁圆筒指的是忽略其他力系，只考虑圆筒压力和温度载荷，且压力在各个点平均分布，并且圆筒的外直径与内直径之比常大于1.11.2。在化学工程和反应堆工程等工程实际中，由于承受高温高压，某些设备的器壁厚度较大。例如，合成氨、合成甲醇、合成尿素、油类加氢及压水反应堆等工程中使用的容器。二 问题描述 内半径为a，外半径为b的厚壁圆筒，在外表面处作用有均匀压力p（如图1（a），圆筒材料为理想弹塑性的（如图1（b）。随着压力p的增加，圆筒内的及都不断增加，若圆筒处于平面应变状态下，其也在增加。当应力分量的组合达到某一临界值时，该处材料进入塑性变形状态，并逐渐形成塑性区，随着压力的继续增加，塑性区不断扩大，弹性区相应减小，直至圆筒的截面全部进入塑性状态时即为圆筒的塑性极限状态。当圆筒达到塑性极限状态时，其外压达到最大值，即载荷不能继续增加，而圆筒的变形也处于无约束变形状态下，即变形是个不定值，或者说瞬时变形速度无穷大。为了使讨论的问题得以简化，本文中限定讨论轴对称平面应变问题，并设。 （a） （b）图1 厚壁圆筒三 弹性分析1.基本方程平面轴对称问题中的未知量为，u，它们应该满足基本方程及相应的边界条件，其中平衡方程为 （1）几何方程为 ， （2）本构方程为 （3）边界条件为 ，在力的边界上 （4） 2.应力的求解取应力分量，为基本未知函数，利用平衡方程和以应力分量表示的协调方程联立求解，可以求得应力分量的表达式为 （5）如图1（a）所示内半径为a，外半径为b的厚壁圆筒，在外表面处受外压p，内表面没有压力，相应的边界条件为 ，将以上边界条件代入式（5），则可以求得两个常数为 ， 则应力分量为 （6）上式和弹性常数无关，因而适用于两类平面问题。四 弹塑性分析1. 屈服条件在塑性理论中，常用的屈服条件是米泽斯（Mises）屈服条件，其表达式为： （7）由于厚壁圆筒为轴对称平面应变问题，则有，即，均为主应力，且由以及，可以得到，代入Mises屈服条件其表达式为 （8） 2弹塑性分析当压力p较小时，厚壁圆筒处于弹性状态，由式（6）可求出应力分量 （9）在处有最大值，即筒体由内壁开始屈服，若此时的压力为，由式（8）和（9）可以求得弹性极限压力为 （10）当时，圆筒处于弹性状态；当时，在圆筒内壁附近出现塑性区，并且随着压力的增大，塑性区逐渐向外扩展，而外壁附近仍然为弹性区。由于应力组合的轴对称性，塑性区和弹性区的分界面为圆柱面。设筒体处于弹塑性状态下的压力为，弹塑性分界半径为，分别考虑两个变形区（图2），也可将两个区域按两个厚壁圆筒分别进行讨论，设弹性区和塑性区的相互作用力为，即。图2 弹塑性分析为求弹性区的应力分量，将弹性区作为内半径为，外半径为b，承受外压，内压的厚壁圆筒。由圆筒的弹性分析公式可以求得弹性区（）的应力分量为 （11）为求解塑性区的应力分量，将弹性区作为内半径为a，外半径为，承受外压的厚壁圆筒。应满足平衡方程和屈服条件，即 由上面两式可得 由于在r=处压力为，即，代入可得，代入表达式，并利用屈服条件求得，即塑性区（）的应力分量为 （12）上式（11）和（12）中的和是未知量，由径向应力边界条件确定他们之间的关系。在塑性区的r=a处压力为0，即，代入式（12）的第一式可得 （13）在弹性区的r=处刚达到屈服，由屈服条件可得 （14）上式给出了，当给定可以确定，或者给定后也可以确定。 将式（13）、（14）确定的代入式（11）、（12），则可以得到表示的弹性区（）和塑性区（）的应力分量。 （15） （16）随着压力的增加，塑性区不断扩大，当=b时，整个截面进入塑性状态，即圆筒达到塑性极限状态，此时的压力不能继续增加，该临界值称为塑性极限压力，以表示。将=b代入式（14），得 （17）令式（16）中的=b，则得压力达到时的应力分量，此时整个截面进入塑性状态。 （18）取，则由式（10）、（13）、（14）、（17）可得， （19）将式（19）代入式（9）、（15）、（16）、（18）中可以得到在、作用下的应力分布如图3所示。（a）作用下的应力分布（b）作用下的应力分布（c）作用下的