多项式的不可约判定方法.doc

分类号 O151.2 单位代码 11395 密 级 学 号 0904210115 学生毕业论文题 目多项式不可约的判别方法作 者何 彩院 (系)数学系专 业数学与应用数学指导教师高宏伟答辩日期2013 年 6 月 2 日榆 林 学 院毕业论文诚信责任书本人郑重声明：所呈交的毕业论文，是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人毕业论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 论文作者签名: 年 月 日榆林学院本科毕业论文摘 要多项式是否可约与数域密切相关.复数域上的不可约多项式全是一次的.实数域上的不可约多项式除过一次的之外,还有判别式小于零的二次多项式.而有理数域上多项式的可约性尤为复杂.因此,复数域和实数域上的多项式的可约性的判别较简单,只需检验在该数域上此多项式的最高次及该多项式的性质是否满足上述条件,本文只做了简单介绍.因而研究多项式的可约性着重于研究有理数域上的多项式的可约性.研究发现,判断有理数域上的不可约多项式的问题,最终都等价地转化为判断整数环上的不可约多项式的问题.艾森斯坦因(Eisenstein)判别法,是有理数域上不可约多项式判定的一个充分条件,而非必要条件,并且不是对所有的多项式的判定均有效.也就是说,满足判别法中的素数不总存在.若是对于某一多项式()找不到这样的一个素数满足艾森斯坦因(Eisenstein)判别法中的条件,那么()可能在有理数域上可约也可能不可约.因此,艾森斯坦因(Eisenstein)判别法有一定的局限性.因此本文又给出了其他一些判断多项式在有理数域上不可约的判定方法.关键字：多项式;不可约;判别法Irreducible Polynomial Determination ABSTRACTWhether polynomials are Reducible or not, which are closely related to the number field. Complex domain of irreducible polynomials is a whole. On the real number domain except once the irreducible polynomials and the quadratic polynomial the discriminant is less than zero. On polynomial and rational number domain of reducibility is particularly complex. Polynomials over complex field and real number domain, therefore, the reducibility of the discriminant is very simple, only need to test at the top of the polynomials on number field time whether to meet the above conditions, this paper only made a simple introduction. Therefore, the reducibility of polynomial focuses on the research on the rational number field polynomial reducibility.The study shows that the judge Rational Field irreducible polynomials, eventually equivalently transformed into judgment ring of integers irreducible polynomial. Eisenstein criterion, is decision of irreducible polynomials over rational number field, a sufficient condition rather than a necessary condition, and is not effective for all decision of polynomial. That is to say, to meet the prime numbers do not always exist in discrimination law. If for a polynomial cannot find such a prime meet Eisensteins discriminance of conditions, then might or might not reducible in rational number field. Therefore, Eisenstein discriminant method has some limitations. So, the paper puts forward some other judgments on the rational number field methods for judging irreducible polynomials.Key words: polynomial,irreducible,Discriminance 目 录摘 要IABSTRACTII目 录III引 言11多项式的不可约的相关概念21.1 不可约多项式21.2 复系数与实系数多项式的因式分解及结论22 复数域与实数域上不可约多项式的判别方法与应用42.1复数域与实数域上不可约多项式的判别方法42.1.1 复数域上不可约多项式的判别方法42.1.2 实数域上不可约多项式的判别方法42.2 复数域与实数域上不可约多项式的应用52.2.1 复数域上的多项式52.2.2 实数域上的多项式53 有理数域上多项式93.1 有理数域上不可约多项式的基本定理94 有理数域上不可约多项式的判定方法及应用104.1.有理根判别法104.2 艾森斯坦因(Eisenstein)判别法114.2.1艾森斯坦因(Eisenstein)直接判别法114.2.2艾森斯坦因(Eisenstein)判别法间接判别法124.2.3 由艾森斯坦(Eisenstein)判别法派生的一种判别方法144.2.4 艾森斯坦因判别法的推广154.3 反证法165 特殊多项式的判别方法175.1 奇次多项式的判定方法175.2形如的判定方法186小 结19参考文献20致 谢21III榆林学院本科毕业论文1 引 言对多项式的可约性的研究很重要.它可以帮助我们解决许多有用的问题.而多项式是否可约与数域密切相关.然而可约性与因式分解又有密切的联系,在有数概念形成过程中,我们可以看到不可约多项式的定义离不开因式分解,同理,因式分解的概念亦应用到了不可约多项式,也离不开不可约多项式.由因式分解知复数域上的不可约多项式全是一次的.实数域上的不可约多项式除过一次的之外,还有判别式小于零的二次多项式.而有理数域上多项式的可约性尤为复杂,可以有任意次的不可约因式.因此,复数域和实数域上的多项式的可约性的判别较简单,只需检验在该数域上此多项式的最高次是否满足上述条件.而研究多项式的可约性着重于研究有理数域上的多项式的可约性.而任意给出的一个整系数多项式在有理数域上不一定都能够找到合适的整数,和一个素数,使得适合艾森斯坦因判别法的条件因此,无论是艾森斯坦(Eisenstein)直接判别法还是间接判别法都有一定的局限性.它只是给出了整系数多项式在有理数域不可约的一个充分条件,而非必要条件.因此本文还给出了别的方法去讨论多项式在有理数域上的可约性.1多项式的不可约的相关概念在研究多项式不可约的判别方法及应用前,我们需要了解多项式及不可约的一些相关知识,本章作为必备知识.1.1 不可约多项式中学阶段我们曾学习过一些具体方法,把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积,却并没有进行深入讨论和研究这个问题,也没有严格地论证它们是否真的不可再分.谓不可再分的概念,其实不是绝对的,而是相对于系数的数域而言,如以下例证：对进行分解,可分解为 但这只是相对于有理数域而言,对于实数域来说还可分进一步为 而在复数域上,还可以再进一步分解为 由此可见,必须明确系数域后,所谓的不可再分,才有确切的涵义.故多项式是否可约与数域密切相关.在以下的讨论中,我们会先选定一个数域作为系数域,数域上多项环中多项式的因式分解相关的不可约定义如下定义1 数域上的次数1的多项式称为域上的不可约多项式,如果它不能表示成数域上两个次数比的次数低的多项式的乘积.1.2 复系数与实系数多项式的因式分解及结论 复数域与实数域作为特殊的数域,它既有一般数域所有的性质,也有其自身所特有的性质,因此对于多项式的因式分解也就可以进一步具体化 .复系数多项式因式分解定理1 每个次数1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一个一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理1 每个次数1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一个一次因式与二次不可约因式的乘积.由此可知我们要谈的多项式的不可约性问题,可得相关的结论如下：(1)一次多项式总是不可约多项式;(2)一个多项式是否不可约是依赖于系数域的. 2 复数域与实数域上不可约多项式的判别方法与应用通过了解不可约多项式的概念及性质,现在给出在复数域与实数域上多项式不可约的判定法.2.1复数域与实数域上不可约多项式的判别方法2.1.1 复数域上不可约多项式的判别方法每个次数1的复系数多项式,在复数域上一定有一个一次因式.因此,在复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的,也就是说判别复数域上的不可约多项式只需检验该多项式的最高次数是否大于1.判别方法如下：(1)若在复数域上多项式的最高次数大于1,则该多项式在复数域上可约.(2)若在复数域上多项式的最高次数小于或者小于等于1,则该多项式在复数域上不可约.2.1.2 实数域上不可约多项式的判别方法每个次数大于等于1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一个一次因式与二次不可约因式的乘积.因此，判别实数域上不可约多项式的方法如下：(1)若实数域上的多项式是1次的,则该多项式在实数域上不可约.(2)若实数域上的多项式是2次的,且判别式小于零，则该多项式不可约. (3)若实数域上的多项式是2次的,且判别式大于零，或者多项式的次数大于2,则该多项式可约.2.2 复数域与实数域上不可约多项式的应用研究了多项式在复数域与实数域上的不可约的相关结论,则对于一个多项式函数在复数域与实数域上的解及根的问题就可以很清楚的得到解决.2.2.1 复数域上的多项式引理2.1（代数基本定理）1 设,则在C内至少有一个根.定理2.2 设,则在内有个根（重根按重数计）.证明 由定理2.1,在C内有一个根,则在C内有,其中,且.若,重复用定理2.1得可分解为个一次因式的乘积,则该定理成立.由以上可得：设,则在中有n个根且可分解为一次因式的积,其标准分解式为：.其中为的首项系数,为互不相同的复根；,.2.2.2 实数域上的多项式 实系数上多项式的复根的情况定理2.3 设,;若是的一个非实的复数根,则的共轭也是的根,且与有同一重数.(即实系数多项式的非实复根是以共轭的形式成对出现的.）证明 先证也是的根（由定义）设,因为是的一个根,即,由共轭的性质上式两边取共轭得：,即,所以也是的根.再证与有同一重数由上及因式定理可设,此有,注意到,所以;从而若是的一个重根,则是的一个根,由上也是的根,从而是的一个根,这样也是的一个重根;重复这样推理知结论成立.由定理可知实系数上多项式的复根成对出现,也即定理2.4 实数域上不可约多项式除一次多项式外,只有含非实共轭复根的二次多项式,即 由实数域上的不可约多项式结论及复根成对出现可知实数域上多项式的实根的情况是比较复杂的：(1)实系数奇次多项式至少有一个实根；(2)实系数非零多项式的实根个数与多项式的次数有相同的奇偶性. 综上我们可以知道设,.则的标准分解式为:其中是的首项数,.例1 对多项式在实数域和复数域上进行因式分解.解 复数域上的因式分解：因任一次多项式在复数域内都有个根,故在复数域上可分解成个一次因式的乘积.取 其中 为该多项式的个根,则在复数域上的因式分解为 在实数域上的因式分解：由于 ,所以 是一个实数,由于 故是实数域上的不可约多项式.(1) 当为奇数时,由于多项式在实数域内的复根成对出现,故该多项式有一个一次因式. = (2)当为偶数时: = =.3 有理数域上多项式经过前面的讨论,我们知道多项式在复数域与实数域上的不可约性的判定很简单,但判定有理数域上多项式的可约性却尤为复杂.因此,研究多项式的可约性着重于研究有理数域上的多项式的可约性.3.1 有理数域上不可约多项式的基本定理 定义3.1 本原多项式 若是一个整系数多项式的系数互素,那么叫做一个本原多项式.定义3.2 有理数域上多项式的等价 设是有理数域上的一个多项式,若的系数不全是整数,则以系数分母的一个公倍数乘,就得到一个整系数多项式.那么与等价.显然,多项式与在有理数域上同时可约或同时不可约. 定义3.3 如果是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理数域上两个次数比它低的多项式的乘积,则称是有理数域上的不可约多项式. 因此我们可以得出以下结论：判断有理数域上的不可约多项式的问题,最终都等价地转化为判断整数环上的不可约多项式的问题.4 有理数域上不可约多项式的判定方法及应用有理数域上整系数多项式的不可约的判定是一个比较难的问题,我们一般不易掌握.本章将对其判定方法作一系统地归纳.4.1.有理根判别法 对于二、三次整系数多项式,判定其在有理数域上的不可约,只需验证该多项式所有可能的有理根都不是多项式的根即可.例2 判断 在有理数域上是否可约.解 的可能有理根是:士 1,士5.利用综合除法可判定:士1、士5均不是的有理根.故在有理数域上不可约.例3 判断 在有理数上是否可约解 的可能有理根是:1,2,3,6,. 利用综合除法可判定:1,2,3,6,均不是的有理根,而是的有理根.可知在有理数域上可约. 但当整系数多项式的次数时,就不能判别该多项式在有理数域上不可约. 例4 判断在有理数域上是否可约. 解 可知可能的有理根却不是的有理根.由此我们会判断在有理数域上不可约,但却在有理数域上可约 ：. 因此在次数大于三的整系数多项式,既使能判定其没有有理根,也不能说其在有理数域上不可约.对于三次以上的整系数多项式,其不可约的判定需用下面的方法.4.2 艾森斯坦因(Eisenstein)判别法4.2.1艾森斯坦因(Eisenstein)直接判别法 定理4.11 设是一个整系数多项式,若有一个素数使得 (1) 不整除最高次项的系数; (2) 整除其他各项的系数; (3) 不整除常数项.那么多项式在有理数域上不可约. 证明 如果在有理数域上可约,那么可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积: 因此 , . 因为整除所以能整除或.但是不整除,所以不能同时整除 及.因此不妨假定能整除,但不整除.另一方面,因为不整除,所以不整除,假设,中第一个不能被整除的是.比较中的系数,得等式 式中,都能被整除,所以也必须能被整除.但是是一个素数,所以与中至少有一个能被整除.这是一个矛盾.例5 证明多项式在有理数域上不可约.证明 若取, 则有: (1) 不能整除; (2) 整除,; (3) 不能整除 .所以由定理 3.1可得多项式 在有理数域上不可约.例6 判断对于任意的,多项式 在有理数域上是不可约的.解 取,则有：(1)不能整除；(2)能整除，；(3)不能整除.所以由定理 3.1可得多项式 在有理数域上不可约.由此可见,在有理数域上,存在任意次数的不可约多项式.4.2.2艾森斯坦因(Eisenstein)判别法间接判别法我们在做练习的时候会发现有些多项式是不能直接用艾森斯坦(Eisenstein)判别法来判别的,我们现在对有理数域上不可约多项式的判定方法也只有艾森斯坦因(Eisenstein)判别法.但有些不能满足定理的条件,想到多项式的等价,我们可以对其做适当变形,这样便有了艾森斯坦(Eisenstein)间接判别法. 定理4.2 2有理系数多项式在有理数域上不可约的充分必要条件是：对于任意有理数 和,多项式在有理数域上不可约.证明 必要性,已知不可约. 反证 若在有理数域上可约,即（其中是有理系数多项式,且次数小于的次数.）在上式中用代 ,所得各多项式仍为有理系数多项式,次数不变, 且有 ,这说明在有理数域上可约,矛盾.故 在有理数域上不可约.充分性 已知不可约.反证:若可约,设,（其中为有理数域上次数小于的次数的多项式.）由此可得 这与不可约矛盾,故在有理数域上不可约. 因此对于某些不能直接使用艾森斯坦因判别法的整系数多项式,通过适当的代换 ,就可以用艾森斯坦因判别法来判断. 例7 证明在上不可约. 证明 取,则有不整除1,整除4,6，2,不整除.由艾森斯坦因判别法知在上不可约,因此在上不可约.例8 设是素数,是整数,且.证明没有有理根.证明 由于,若证得在有理数域上不可约,则没有有理根,令,代入得到 其中.由于 (1) ; (2) ,否则,若有,即,因为,所以 ,.故有与是素数矛盾. (3) ,否则,若有,即,故有,也即有,从而有,矛盾. 于是,由艾森斯坦因(Eisenstein)判别法,有在有理数域上不可约,从而在有理数域上不可约,因此没有有理根.注： 任意给出的一个整系数多项式在有理数域上不一定都能够找到合适的整数,和一个素数,使得适合艾森斯坦因判别法的条件.因此,无论是艾森斯坦因(Eisenstein)直接判别法还是间接判别法都有一定的局限性.它只是给出了整系数多项式在有理数域不可约的一个充分条件,而非必要条件.4.2.3 由艾森斯坦因(Eisenstein)判别法派生的一种判别方法这种方法由艾森斯坦因(Eisenstein)判别法派生的,并且是与艾森斯坦因(Eisenstein)判别法相类似的方法,它能判定用艾森斯坦因(Eisenstein)判别法的所不能判定的一类有理数域上的不可约多项式. 定理4.32 设是一个整系数多项式.若有一个素数,使得(1) 不整除常数项;(2) 整除其他各项的系数;(3) 不整除最高次项系数.那么多项式在有理数域上不可约. 证明 如果在有理数域上可约,那么可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积: .设 其中 .于是 .因,而不能整除.只能整除和中的一个.不妨设整除而不能整除.我们说不能整除的所有系数,否则将与 (1)矛盾.设是的最后一个不能被整除的系数 .考察等式 (注意:当时,;当时,).由假设 所以,从而,或,这与假设矛盾.例9 判断在有理数域上是否可约.解 显然用艾森施坦因判别法不能判定.但存在素数，使得(1) 3不能整除1；(2) ,；(3) 不能整除3.则在有理数域上不可约.有些多项式不满足艾森斯坦因(Eisenstein)间接判别法.直接判别法或派生出的判别法的判定条件,但它也可能是不可约的.因此,针对这种情况,下面给出艾森斯坦因判别法的一个推广.4.2.4 艾森斯坦因判别法的推广定理4.43 设整系数多项式, 若存在素数 使得:(1) 不能整除 ; (2) 整除;(3) 不能整除；(4) 不能整除, 其中 整除 且 ,则 在有理数域上不可约.例10 求证多项式在有理数域上不可约.证明 因为 ,取,则有:(1) 不能整除;(2) 整除,整除;(3) 不能整除;(4) 不能整除由定理知多项式在有理数域上不可约. 艾森斯坦因(Eisenstein)判别法是判别有理数域上多项式可约性的充分条件,不是充要条件, 因而仍然存在有理数域上不能艾森斯坦因(Eisenstein)判别法来判定的不可约多项式.因此我们还需要别的方法来判别多项式在有理数域上的可约性.4.3 反证法 做习题时,在无法找到艾森斯坦因(Eisenstein)判别法中的素数的情形下,常用反证法. 例11 设是个不同的整数,证明在有理数域上不可约. 证明 假设可约则存在整系数多项式,使.且,由可得: 或 于是,是零多项式,此时右端首项系数为,矛盾,故在有理数域上不可约.5 特殊多项式的判别方法 在数学中,能够找到简便的方法去解决问题是最好的,对于不可约多项式的判定也一样.对于一些特殊的多项式的不可约的判定,本章将给出较为方便的方法.5.1 奇次多项式的判定方法定理5.14 对于整系数多项式若存在素数使(1) |(2) |(3) ；(4) .那么,在有理数域上不可约. 例12 已知多项式,证明在有理数域上不可约.证明 可以验证不满足艾森斯坦因(Eisenstein)判别法的条件,但可找到素数,满足定理3.1的四个条件,(1) ； (2) ； (3) ；(4) .所以在有理数域上不可约.5.2形如的判定方法 通过上一章中我们知道判定一个多项式的有理根问题.对于次数小于3的多项式,若可约,则必有有理根;反之亦然.所以,可以通过判断多项式的有理根的情形来判断次数小于3的多项式的可约性.但也有一些特殊的方法来帮助我们更加快捷的做出判断. 定理5.2 对于整系数多项式,如果为奇数,则在有理数域上不可约. 证明 若可约,则存在整数,使得 即有 由为奇数,可得为奇数故为奇数从而为奇数进而为偶数,这与为奇数矛盾.得证. 结论 由证明过程可知,证明在有理数域上不可约,只要满足都为奇数即可 例13 判断在有理数域上是否可约. 解 因,为奇数,故在有理数域上不可约.注 我们现在看4.1节中的例1: 判断 在有理数域上是否可约.由于,为偶数,是否可以说明在有理数域上可约?答案是不可以,我们在4.1节中已经证明过该多项式不可约,因此,该定理当为偶数时不能说该多项式在有理数域上不可约. 6 小 结本文对多项式在复数域、实数域与有理数域上可约性进行了讨论,给出了相应的判别方法及其对它们的应用,着重对有理数域上多项式可约性进行了讨论.指出了艾森施坦因判别法的局限性,给出了与艾森施坦因判别法相