机械优化设计ppt课件第二章机械优化设计的数学基础.ppt

机械优化设计 太原科技大学张学良 第二章优化设计的数学基础 梯度 2 1目标函数的近似表达 设目标函数f X 是一阶连续可微的 则它在某点X k 处对xi i 1 2 n 的一阶偏导数的列向量 列矩阵 称为f X 在X k 点处的梯度 记作 梯度的模 海赛矩阵 设目标函数f X 在某点X k 处存在连续的一阶 二阶偏导数 则函数f X 在X k 点的n2个二阶偏导数所构成的n n阶方阵称为函数f X 在X k 点的海赛矩阵 若函数f X 的一阶偏导数在定义域内处处连续可微 则海赛矩阵为对称方阵 目标函数的近似表达 泰勒展开 一元函数f x 的泰勒展开 二元函数f x1 x2 的泰勒展开 n元函数f X 的泰勒展开 可计算函数与等值面给定一组设计变量的值 就对应一个确定的目标函数值f X C 具有这种性质的函数叫可计算函数 反之 给定目标函数f X 的值C 即f X C 那么将有无限多个设计点X使该式成立 这些设计点在n维设计空间中将组成一个点集 称之为等值曲面 三维空间 或等值超曲面 n 3 通称等值面 在二维平面中为等值线 若给定一系列目标函数的值 将在设计空间得到一组等值面 线 族 目标函数的等值线 面 f X ax12 2bx1x2 cx22a 0c 0ac b2 0 一 最速下降方向 负梯度方向 2 2最速下降方向和共轭方向 函数的方向导数 n元函数的方向导数 与负梯度方向成锐角的方向为目标函数值的下降方向 成钝角的方向为目标函数值的增加方向 目标函数的梯度方向是目标函数等值线 面 在同一点的法向矢量方向 f X k f X k X k t 所以 目标函数在某一点的最速下降方向为负梯度方向 两个向量的共轭设两个非零向量S 0 S 1 及对称正定矩阵H 若满足 二 共轭方向 则称S 0 S 1 关于H共轭 或称S 0 与S 1 为共轭方向 若H为单位阵 即H I 则S 0 与S 1 正交 一组向量的共轭设有一组非零向量S 0 S 1 S n 1 及对称正定矩阵H 若满足 则称它们关于H共轭 或称它们为一组共轭方向 若H为单位阵 则称它们相互正交 凸集 见图2M8 一个点集 或区域 如果连接其中任意两点的线段都全部包含在该点集内 则称该点集为凸集 否则 称为非凸集 2 3凸集 凸函数与凸规划 凸函数 见图2M10 设函数f X 定义域为凸集G X 1 X 2 为凸集G上的任意两点 若函数f X 在线段X 1 X 2 上的函数值总小于或等于用f X 1 及f X 2 作线性内插所得的值 则称函数f X 为凸集G上的凸函数 即满足 的函数f X 为凸函数 若同时去掉式中的等号 则称函数f X 为严格凸函数 凸规划对于约束优化问题 若函数f X gj X 均为凸函数 则称此约束优化问题为凸规划 凸规划的性质1 凸规划的可行域为凸集2 凸规划的任何局部最优解就是全局最优解 2 4优化问题的几何解释 2 5优化方法的简单分类 按有无约束分类无约束优化方法 约束优化方法按目标函数的维数分类一维优化方法 多维优化方法按目标函数的数目分类单目标优化方法 多目标优化方法按求优途径的不同分类直接法 解析法 间接法 实验法 图解法 2 6迭代方法及其收敛准则 无论是直接法还是解析法 求优的过程都是采用数值迭代法 且迭代公式的形式一致 迭代方法 X k 1 X k k S k k 0 1 2 两个特性 1 下降性 f X k 1 f X 1 f X k f X k 1 f X 确定步长 k 的方法 1 定步长法 取 k p p为常数 检验下列不等式f X k k S k f X k 若成立 则继续下一步迭代计算 否则 取 k p 0 1 再检验不等式f X k k S k f X k 直至满足为止 2 最优步长法 用一维寻优方法确定 k 当给定S k 从X k 点出发搜索X k 1 点时 为求得沿搜索方向S k 上的最优步长 k 可以建立如下一维优化数学模型 即 这实质上就是以 k 为变量的一元函数求极值的问题 称为一维搜索或一维寻优 解析法确定 k 搜索方向S k 的讨论 1 三种常用搜索方向 负梯度方向 S k f X k 共轭方向 将n维优化问题转化为每一个循环n次一维搜索 依次取n个相互共轭的方向为搜索方向 随机搜索方向 S k 随机产生 只要求沿S k 方向所得X k 1 点处函数值下降 2 S k 与 f X k 和 f X k 1 的关系 目标函数下降 f X k k S k f X k 0 f X k k S k f X k k Tf X k S k 故 k Tf X k S k 0 用一维优化方法确定 k 时 必须满足 f X k S k 0 所以 Tf X k S k S k 0即 Tf X k 1 S k 0第k次迭代的搜索方向S k 与目标函数在本次迭代所得点X k 1 处的梯度方向 f X k 1 正交 X k X k 1 S k f X k 1 3 共轭搜索方向的一个重要性质 n维正定二次函数的n次收敛性 即对于n维正定二次函数 若相继以一组相互共轭的向量S 0 S 1 S n 1 为搜索方向 则不论从任何初始点出发 经过n次一维搜索 就可以得到该正定二次函数的极小点 收敛性与收敛准则 迭代算法