暑期三培论文.doc

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 广东技术师范学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 李明丽（主管建模） 2. 杨丽（主管论文） 3. 张丽青（主管实验） 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 马震远 日期： 2011 年 8 月 29 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：电站建设模型一摘要本文建立了电站建设供电方案的优化模型。对于问题一，为满足甲地区对电能的需求，本文通过详尽的分析，建立了两种切实可行的数学模型，并通过这两种模型的分析比较最终得出最优方案，即利用拉格朗日算子法求有约函数的方法，达到实时调节各电站的输出功率的目的，并且利用Matlab强大的编程和计算能力对模型进行推广。依据题目提供的原始数据及相关信息，首先立足于建设两个电站，给出了总费用最少的供电方案，再按程序要求输入个电站的比例系数，便可求出各电站的装机容量及其累计运行时间，还有年最小运行总费用。经计算，当时，第一个电站的装机容量为，累计运行时间为；第二个电站的装机容量为，累计运行时间为，两个电站的总费用为。对于问题二，我们得出的目标函数最优的模型（模型二）可以推广到个发电站，对于任意的，我们同样可以求得各个电站的装机容量、累计运行时间和总费用。我们取一个具体的值为5，也可以得出五个电站的装机容量分别为、，累计运行时间分别为、7044.496、5903.43、4908.899、3553.277，总费用为元。对于问题三的误差分析，我们通过分析误差产生的原因进而判断出误差的类型，最后根据误差的种类采取相应的方案对误差做出了处理。由附录4给出的负荷数据都保留了小数点后面四位，读取的数据是比较精确的，所以我们不考虑这方面的误差，分析了负荷曲线的误差。【关键词】 电站 最小运行总费用 装机容量 累计运行时间 拉格朗日算子法一问题重述1.1背景 电站建设是一个地区在现代社会中生存和发展的一项必须的基础设施建设，参考情况相似的地区的历史资料是供电部门正确编制电站建设计划的途径之一。下面是关于甲地区供电系统的筹建要求以及乙地区的历史负荷情况及需要解决的问题。1.2甲地区电站建设的要求和费用情况为满足甲地区对电能的需求，需建个电站，组成一个供电系统为甲地区供电。为使问题简化，只考虑一个目标年，所有电站都新建，且只考虑一个目标年的供电。每个电站的费用由固定费用和运行费用构成。固定费用与装机容量（总供电能力（功率）成正比；单位时间的运行费用与输出功率的平方成正比。第个电站的固定费用和运行费用的（比例）系数分别为。例如：12121.30.050.00310.012单位：元 单位：元.小时1.3乙地区的负荷情况已知乙地区负荷持续时间曲线（需求量，即负荷的时间分布）是抛物线。乙地区某年内在时刻的负荷（电站总输出功率）（单位：）为: （1）0 （2）1.4需要解决的问题依据乙地区某年的负荷曲线（负荷与时间的关系），确定甲地区一个目标年内的电能需求量。请给出总费用最少的供电方案，给出各电站的装机容量（总功率）及其累计运行时间。(1)按照上例中的数据进行计算，并给出结果；(2)对任意正整数，推广你的算法；(3)试讨论若给定的数据有误差，如何处理。二问题分析对于问题一，乙地区的电能需求量可以根据题目中给出的数据（见附录4）得出负荷曲线，然后依据乙地区的负荷曲线可以来确定甲地区的电能需求量。由问题中关于乙地区的3000组相关记录数据，我们可以运用Matlab软件作出乙地区某年的负荷随时间变化的散点图，由题目给出的信息并结合观察散点图可知乙地区负荷持续时间曲线是一条连续的抛物线。我们运用拉格朗日算子法还有Matlab软件来求出各电站的装机容量和累计运行时间，最后来求出最小的总运费。对于问题二，对任意的正整数，由于的值不确定，我们在问题一中用了=2来先求出第一个电站和第二个电站的装机容量和累计运行时间，在问题二再推广到=5，同样可用Matlab软件求出每个电站的装机容量和全部电站的最小总费用。对于问题三，对所给的附录4中的数据进行了误差分析，根据题中附录4中给定的数据，我们可以发现输出功率所保留的小数都比较多，说明这些数据的记录都是比较精确的。查找关于误差的资料，我们发现误差主要分为人为误差和机械误差这两大种类，根据现在电站的管控状况。测的数据时间间隔的均匀程度（非常均匀）和时间的长度（很长），我们有理由认为这是测量仪器自动测得的数据。那么，如果给定的数据有误差，那就应该视为是机械误差。三模型假设(1)假设附录中所给的样本数据具有代表性，且比较科学、合理、精确，能够形象地反映乙地区的负荷情况。(2)假设一部分电站作为主电源，另一部分电站作为备用电源，以两个电站为例，即当负荷超过第一个电站的装机容量时，第二个电站才开始运行。(3)假设计算各电站的累计运行时间时认为最大负荷就是装机容量的工作容量。(4)假设各电站不能存贮电能以备以后使用。四符号说明：电站个数：总费用：第个电站的装机容量：第个电站累积运行时间：电站的最大装机容量、：负荷持续时间曲线表达式的系数：固定费用：运行费用：第个电站的发电成本：电厂需发电功率五模型的建立和求解5.1总费用最少的供电方案基本假设：一部分电站作为主电源，另一部分电站作为备用电源，以两个电站为例，即当负荷超过第一电站的装机容量时，第二个电站才开始运行。5.1.1 模型（一）5.1.1.1当时：根据附录3提供的数据画出乙地区的负荷持续时间散点图如图1图1：乙地区负荷持续时间散点图应用最小二乘法可以拟合出该曲线的表达式为：（程序见附录1） （3）用功率和时间表示为： （4）5.1.1.2 问题分析：假设时刻正好达到第一个电站（小的）的装机容量时，即第一个电站的装机容量为，则全年总费用可表示为： （5）得到一个关于的函数，求出使最小解的即第二个电站的累计运行时间。根据求出即可得到第一个电站的装机容量，则第二个电站的装机容量为，两个电站的年总费用为。5.1.1.3 根据以上分析，应用matlab编程（程序见附录2）求解。5.1.1.4 根据给出的数据输出结果为：1电站的累计运行时间，2电站的累计运行时间，1电站的装机容量，2电站的装机容量，总费用为：8.7600e+003, 4.1171e+003, 3.1818e+006, 1.5417e+006, 2.3788e+0145.1.1.5 推广到：对于任意正整数，对年总费用的最优化模型作进一步的推广。5.1.1.6 符号说明：设个电站的装机容量分别为：、，个电站累积运行时间分别为：8760、。5.1.1.7 运行方案：（1）第一个电站运行时间为8760小时，其中，负荷小于时部分运行，负荷大于时全开；（2）第二个电站运行时间为小时，其中，负荷大于小于时部分运行，负荷大于时全开；（3）第个电站运行时间为小时，其中，负荷大于小于时部分运行，负荷大于时全开，负荷小于时不开；（4）第个电站运行时间为小时，其中，负荷大于时部分运行，负荷小于时不开。5.1.1.8 固定费用： （6）5.1.1.9 运行费用：从负荷时间分布图上在时间轴上插入分点，共分为个时间段，各段的运行费用分别为（、为抛物线系数）：（1）：、都全开，部分开，费用为：（2）：、都全开，部分开，不开，费用为：（3）：、都全开，部分开，、不开，费用为：（4）：部分开，、不开，费用为：将固定费用和运行费用相加，得到运行一年总费用：其中包括个自变量：、；、。现要求的量是： （7） （8）是一个有约束的非线性规划（最小总费用）问题，可得各自的、（其余、均为已知常数）。5.1.2 模型（二）5.1.2.1模型构成：假设每一时刻根据负荷需要在个电站之间经济分配，即发电总成本为每一电站发电成本之和，则发电总成本为： （9）式中-第个电站的发电成本，为该电站的函数。经济负荷分配可表示为： （10）限制条件为 （11）式中-电厂需发功率。现应用拉格朗日算子构成如下递增函数： （12）将式（12）对和分别微分，并令其等于零，经整理可得： （13）以二次多项式来表示发电成本： （14）将上式对微分，并考虑式（13）可得： （15）由式（13）和式（15），可得： （16） （17）将式（17）代入式（15），可得： （18）由上式可见，当给定电厂需发功率时，可按式（18）求得各电站的经济负荷分配，及各自年运行的总费用。5.1.2.2 根据以上分析，应用Matlab编程（程序见附录3）求出电站的总费用。5.1.2.3 输入数据后得出的结果如下：推广到个发电站，输入各电站的参数，同样可求出其各自的装机容量和年最小总费用。例如，我们取n=5，其计算结果如下：5.2 问题三：数据误差的处理5.2.1 对数据的误差猜测根据题中附录3中给定的数据，我们可以发现输出功率所保留的小数位数都比较多，说明这些数据的记录都是比较精确的。查找关于误差的资料，我们发现误差主要分为人为误差和机械误差这两大种类，根据现在电站的管控状况。测得的数据时间间隔的均匀程度（非常均匀）和时间的长度（很长），我们有理由认为这是测量仪器自动测得的数据。那么，如果给定的数据有误差，那就应该视为是机械误差。通过查找相关的资料，测量仪器的测量原理类似于“位进制” 。这样的话我们就可以断定，对于给定的数据的有效数字，最后一位是不精确的。因此，如果给定的数据有误差，我们认为有效数字的最后一位就是误差所在。由附录4给出的负荷数据都保留了小数点后面四位，读取的数据是比较精确的，因此我们不考虑数据方面的误差。电站的建设应以对未来电力负荷的预测为依据，电力的生产和消费是同时进行的，任意时刻都应尽最大限度地保持二者之间的平衡。如果负荷预测偏低会引起电力供应紧张，电能颓废下降，供电可靠性下降；负荷预测过高将会导致发电过剩，系统频率上升，并造成输电设备不能充分利用，影响到系统的经济性能。因此，电力系统负荷预测是电站建设的重要组成部分。对于给定的乙地区某年的负荷曲线数据应作为甲地区的负荷曲线预测的依据，其实质就是利用乙地区的数据资料找出负荷的变化规律，从而预测甲地区的电力负荷在未来时期的变化趋势及状态，所以乙地区的数据资料对于甲地区起着参照作用。5.2.2 该考虑的问题仔细研究问题中给定的条件：“时刻t的负荷（电站的总输出功率） 为 ，并且负荷持续时间曲线是抛物线” 。应注意的是，给出一个中间变量x，由此发现，负荷是x的函数，为，是t的复合函数，由此可知，是二次曲线，即负荷持续时间曲线。于是，由给定的数据，对于进行拟合，即可消除误差影响而得到负荷持续时间曲线。需指出的是中间变量x应引起注意，认真研究它的作用。实际上，在5.1.1中，若仔细研究中间变量x,就会发现可用这里提出的方法，方便地求出负荷持续时间曲线，且精度更高。5.2.3 求负荷持续时间曲线对于负荷曲线，按负荷由大到小排序，然后按负荷相等关系R分组，设等价类为：每组的元素个数分别为：；若采样步长为h，则分别为的持续时间。经过Matlab拟合求出对应的负荷时间曲线图如图2：图2：负荷时间曲线图六、模型的评价与改进本文在求各个电站的装机容量和累计运行时间时，运用拉格朗日算子法求有约函数的方法，利用Matlab软件编程计算各个电站最优功率分配，可以达到实时调节各电站输出功率的目的，从而使全部电站的总费用达到最小。利用主副或称为主备用式的布置结构，避免了建设过多电站或者运行过多电站导致不必要的花费，在理论上便于实际操作，调度灵活，但在实际操作中要实现则有一定的难度，因此我们可以在拉格朗日算子法的基础上，利用指数曲线预测模型、ARIMA模型和多项式趋势拟合模型进行预测分析，这样可以综合三个单项预测的优点，以误差平方和最小为最优准则监理组合预测模型，最终可以使精确度更高，可靠性更强。七、模型的推广与应用本文中所建立的模型不仅对于解决题目中的问题有很强的实用性，而且在其他方面也具有很强的推广性。本文运用了拉格朗日算子法对模型进行求解，此方法对模型具有一定的推广作用，可以在利用指数曲线预测模型、ARIMA模型和多项式趋势拟合模型进行预测分析的基础上，综合三个单项预测的优点，以误差平方和最小为最优准则建立组合预测模型，这样可以使精确度更高，可靠性更强。在当今电器化的时代，越来越多的家庭使用电器，每个地区居民的用电量也越来越大，对电站的建设和运行也就变得更加重要。在建设两个电站的基础上推广到建设n个电站，不仅可以节约资源，且具有经济适用性，因此本模型具有普遍适用性。由于在不同的地区建设电站所需要的固定成本和运行成本都是不相同的，而本模型引入固定成本系数和运行成本系数来解决由不同地区引起的固定成本和运行成本的变化问题。因此，本模型适合各种地区和各种条件的电站场地建设。八、参考文献1吴建国、汪名杰等，数学建模案例精编M，北京：中国水利水电出版社，2005年。2王正林、刘明，精通MATLAB7.0M，北京：电子工业出版社 ，2006年。3岂兴明，王占富等，MATLAB7.0程序设计快速入门M，北京：人民邮电出版社，2009年。4董臻圃，数学建模方法与实践M，北京：国防工业出版社，2006年。5 姜启源等，数学模型M，北京：高等教育出版社，2003年。九、附录附录1：图1负荷持续时间曲线图的Matlab程序 x=438.3702 875.3721 1309.267 1738.515 2161.597 2577.021 2983.327 3379.099 3762.963 4133.6 4489.749 4830.212 5153.858 5459.636 5746.563 6013.747 6260.38 6485.741 6689.204 6870.237 7028.405 7163.373 7274.904 7362.863 7427.216 7468.028 7485.467 7479.798 7451.383 7400.678 7328.237 7234.698 7120.791; y=458.8721 444.7417 430.0282 414.8021 399.1424 383.136 366.877 350.4653 334.006 317.608 301.3827 285.4431 269.902 254.8707 240.4584 226.7701 213.9053 201.9578 191.0133