求解线性方程组的综合练习.doc

第九讲 求解线性方程组综合训练例9.1 单选题（1） （数三，02，3分）设是矩阵，是矩阵，则线性方程组（ ）（A）当时仅有零解 （B）当时必有非零解（C）当时仅有零解 （D）当时必有非零解解（D）正确。因为。当时，有而是阶矩阵，（即的系数矩阵的秩小于未知量的个数），故必有非零解。（2）（数一，03，4分）设有齐次线性方程组和，其中均为矩阵，现在4个命题： 若的解均是的解，则 若，则的解均是的解 若与同解，则 若，则与同解以上命题中正确的是（ B ）（A） （B） （C） （D）解 （B）正确。因为若的解均是的解，则的基础解系可由的基础解系线性表示，于是，即，所以正确；当与同解时，它们的基础解系可相互线性表示，利用的结果知正确。（3）（数三，04，4分）设阶矩阵的伴随矩阵，若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系（ ）（A）不存在 （B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量 （D）含有三个线性无关的解向量解 （B）正确。由于是互不相等的解，所以有解且不唯一，故。又由于，所以。而即，故，的基础解系只含=1个非零解向量。（4）（数三，01，3分）设是n阶方阵，是n维列向量，若秩，则线性方程组（ ）（A）必有无穷多解 （B）必有唯一解（C）仅有零解 （D）必有非零解解（D）正确。由于，知方程组系数矩阵的秩小于未知量的个数，故方程组必有非零解。例9.2 （数二，97，8分）取何值时，线性方程组无解，有惟一解或有无穷多解？当有无穷多解时，求通解解 方法1 对方程组的增广矩阵进行初等行变换化为阶梯形，即当时，原方程组无解；当且时，原方程组有惟一解；当时，原方程组有无穷多解，此时方程组的增广矩阵为原方程的通解为：=+ （）方法2 由于方程个数等于未知量的个数，其系数行列式 =当时，有，原方程组无解；当时，同解法1例9.3（数一，04，9分）通解解 这是个，且方程组中方程的个数等于未知量个数方法1 对方程组的系数矩阵进行初等行变换，有(1) 当时，故方程组有非零解，其同解方程组为由此得基础解系为 于是方程组的通解为 (2) 当时，有当时，故方程组有非零解，其同解方程组为由此得基础解系为于是方程组的通解为 方法2 方程组的系数行列式为=当=0时，即或时，方程组有非零解(1) 当时，对系数矩阵进行初等行变换方程组的同解方程组为由此得基础解系为 于是方程组的通解为 (2) 当时，对系数矩阵进行初等行变换，有方程组的同解方程组为由此得基础解系为于是方程组的通解为 例9.4 设，求一秩为2的三阶方阵，使解 的列向量是的解向量，由于，于是的解空间的维数为3-1=2，故的基础解系中有两个解向量，故可取的两个线性无关解向量作为的前两列，如取，而的第三列可取的任一解向量，如，故所求三阶方阵=例9.5（数一，01，6分）设为线性方程组的一个基础解系，且,其中为实常数,试问满足什么关系时,也为的一个基础解系解 基础解系应满足两个条件：是解向量，且线性无关且向量个数为本题关键是证明线性无关（1）先验证是的解由于均为的线性组合，所以均是的解（2）再用定义证明线性无关设存在实数，使得 即 由于线性无关，因此其系数全为零，即 其系数行列式为 =当时，即当为偶数时,;当为奇数时,时，上述方程组只有零解，因此向量组线性无关，从而也为的一个基础解系.例9.6 已知齐次线性方程组(I)的基础解系是:齐次方程组(II)的基础解系是: 求方程组(I)与(II)的公共解.解 这是已知两个方程组各自的通解，求其公共解的问题，本题可以采用令其通解相等求得公共解的处理方法 设和分别是(I)与(II)的通解令其相等，有即 于是有 可求得其通解为 故公共解为 例9.7（数一，98，5分）已知线性方程组(I) 的一个基础解系为:试写出线性方程组（II）的通解，并说明理由.解 求(II)的通解，应先确定其系数矩阵的秩记方程组(I)、(II)的系数矩阵分别为、，则 由题设可以看出(I)的基础解系中的个列向量就是的个行向量的转置向量因此，由(I)的已知基础解系可知，转置即得。可见的个列向量，即的个行向量的转置向量都是方程组(II)的解向量.由于，故(II)的解空间维数为所以(II)的任何个线性无关的解就是(II)的基础解系已知(I)的基础解系含个向量，即,故，即的个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成(II)的一个基础解系，故(II)的通解为其中为任意常数.例9.8（数二，05，9分）已知3阶矩阵的第一行是，不全为零，矩阵（为常数）且，求线性方程组的通解 解 由，得，又，故 ， （1）若，有，=0，=9得通解， （2）若，的同解方程， 当，通解为+， 当，通解为+， 例9.9（数二，03，8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为试证这三条直线交于一点的充分必要条件为解 方法1 设 =必要性 由题设三条直线交于一点等价于有惟一解，则，因而，即= （9.1） =因为，否则三条直线重合，所以充分性，因为，由（9.1）式有，故又因为= =故，由此得，方程组有惟一解，即三条直线交于一点方法2 必要性 令 并设三条直线交于一点，则是的非零解，因此，即故 充分性 因为 （9.2）+（9.3）+（9.4）式及结合，知这个方程组有多余方程，又由于=故原方程等价于系数矩阵的秩不为零，有惟一解，从而三条直线交于一点例9.10 （数一，02，6分）已知4阶方阵，均为4维列向量其中线性无关，.向量，求线性方程组的通解解 方法1 令,由得 将及代入上式得：因为线性无关所以 上式是关于变量的非齐次线性方程组.对其增广矩阵进行初等行变换：方程组的一个特解为，它对应的齐次方程组的基础解系为，原方程组的通解为. 方法2 令,且显然，这是一个四元方程.先决定系数矩阵A的秩. 因线性无关，故又因能由线性表示，线性相关，线性相关(部分相关则整体相关)，所以综合上面两个不等式,有，则齐次方程的基础解系所有向量个数为4R(A)=43=1，即自由未知量个数为1个.又因为可由线性表示，有解，即R(A)=R(A, )=34=未知量个数，故有无穷解由知=即是的一个基础解系由知=即x=是的一个特解，故的通解为 x=+ (cR)注 从本题可以看出，一个向量组之间的线性组合，对应于齐次方程组的一个解；一个向量用一个向量组线性表示，对应于非齐次方程组的一个特解例9.11 （数一，06，9分）已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解(1) 证明线性方程组系数矩阵的秩；(2) 求的值及方程组的通解解 (1) 设,为非齐次线性方程组的3个线性无关的解，其中 则有 , 即,是对应的齐次线性方程组的解，且线性无关（否则，易推出,线性相关，矛盾）所以有，即，又中有二阶子式不为零，故 （2） 由于增广矩阵 由，得，故原方程组与下面的方程组同解：得齐次方程的基础解系，；原方程组的的一个特解为故原方程组的全部解为+ （） 或本题也可这样求解：又，则 所以代入求之其它步骤同上面例9.12 设有四元齐次线性方程组 I：又已知某四元齐次线性方程组II的通解为 + （9.5） 求：（1）方程组I的基础解系；（2）问方程组I与II是否有非零公共解？若有，求出全部非零公共解；若没有，则说明理由. 解 （1）对方程组I的系数矩阵进行初等行变换： 得到它的行最简形，从中可知它的秩是2，取基础解系为 ， （9.6）于是方程组I的通解为 （9.7）（2）用两种方法解答.方法1 先把方程组II的通解表达式（9.5）改写为 （9.8）然后代入方程组I，得 即，故这个结果说明：对于取定的实数，只有当时才是方程组I的解，于是当时，式（9.7）所对应的解就是方程组I和II的公共解.当遍历非零实数R时，它也就遍历了方程组I和II的非零共公解.于是它们的全部非零公共解为 方法2 从两方程组的通解表达式着手：由方程组I的通解表达式（9.6）和方程组II的通解表达式（9.8）（或（9.7）知，寻找两方程组的公共解就是寻找适当的数使得把它们分别代入上述两通解表达式后得到的是同一个向量即应满足约束条件： 即 由 得 于是方程组I和II的非零公共解是 例9.13 设是mn矩阵, 是mn矩阵, , 是mm矩阵, 求证：若可逆且BA的行向量都是方程组的解, 则的每个行向量也都是该方程组的解.解 设 , 其中为的行向量.=因为BA的行向量都是方程组的解, 所以: .即 , 有 .因为B可逆, 所以. 即A的每个行向量为的解.例9.14（各类统用，08，12分）设矩阵，矩阵满足方程，其中，（1）求证；（2）为何值，方程组有惟一解，并求；（3）为何值，方程