格林函数-热统.doc

比较（9.5.3）和（9.5.7）可知，当时自旋极化获得的交换能与能带能量损失相等，而当 （9.5.8）时获得的交换能超过能带能损失。（9.5.8）称作stoner判据。以上处理适用于零温情况，对于有限温度，除了（9.5.1）中的态密度以外还要Fermi占据数。满足Stoner条件时系统会自发磁化，假定自发磁化绝热发生并建立起磁场B时，而B的变化正比于磁化强度的变化 （9.5.9）式中以Bohr磁子为单位，比例常数是磁化率的倒数。由前面的讨论可知，自发磁化引起总能量的变化是 (9.5.10)时总能量变化为负值。若由于存在感应磁场引起磁化强度，由零变化到终值，而磁化强度由零到，则总能量的变化是 (9.5.11)其中负号表示自发磁化降低系统的总能量。利用（9.5.9）(9.5.10)可得 (9.5.12)与相互作用电子气的Pauli磁化率比较，能带电子的磁化率增大了一个因子，对于Pd，由测量比热可得上面的讨论基于一个特别简单的假定，即接近Fermi能级的能带结构是对称的，当这一假定不成立时需要考虑实际能带结构。9.5.3 Hubbard模型对于d过渡金属，Hamiltonian对磁性有贡献的d电子不是局域电子，它们依次在各原子轨道上游移。Bloch称为巡游电子（itinerant electrons）,Hubbard提出了电子相互作用的简化形式，称作Hubbard模型。该模型认为，由于窄能带系统的Wannier函数十分类似于孤立原子的s电子波函数，同一原子中电子之间的相系作用远大于不同原子电子之间的相互作用，因而不同原子上电子之间的Coulomb排斥作用可以忽略;再者虽然原子的简并d轨道原则上要用几个态表示，但作为近似可只用一个电子态代表，因而Hamiltonian中只保留单电子项，包括单个电子的原子束缚能及到邻近原子的跨越能。在晶体格点位置表象中，格点（原子）能（Coulomb能）用常数U表示，只考虑电子在最近原子之间的跨越，跨越积分（跨越能）用t表示。对于由N个原子构成的简单晶体，在Wannier表象中Hubbard模型Hamiltonian是（9.5.13）其中代表自旋方向，代表格点上自旋的粒子数算符，t是交迭积分，是同一格点（原子）周围能带电子之间的Coulomb作用能。利用么正变换 将（.5.13）变换到Bloch表象得到 (9.5.14)式中 (9.5.15)可以证明，Hubbard模型Hamiltonian的平均场近似（或Hartree-Fock近似）就是9.5.2介绍的Stoner能带磁性模型，若作无规想近似则得金属中的自旋密度波（SDW）9.5.4 推迟双时Green函数磁性系统的一些物理性质可以用一对自旋算符之间的关联描述。定义两个算符A和B的关联函数（9.5.16）式中H是系统的Hamiltonian; 是Heisenberg绘景的算符，满足 (9.5.17)因而有（9.5.18）引入函数 (9.5.19)是阶跃函数，时，时它满足方程 (9.5.20)（9.5.21）称为推迟双时Green函数。Fermion情况Poisson括号取反对易关系，Boson情况Poisson括号取对易关系。类似地定义超前Green函数（9.5.22）以及因果Green函数（9.5.23）其中是编时算符Fermion情况取“”号；Boson情况取“”号定义Fourier变换容易证明Green函数的Fourier变换是 (9.5.24)9.5.5 磁化率张量的Kubo公式定义系统的自旋密度算符(9.5.25)则自旋与外磁场的相互作用能选取磁场的单位使得Bohr磁子，电子自旋矢量的分量是Pauli矩阵则自旋密度算符也是磁矩密度算符。电子自旋 和磁矩分别是 令是系统的基态，则感应磁矩的平均值是若只保留到磁场B的一阶项，根据（9.5.9）式，其中与空间坐标和时间有关的磁化率张量（9.5.26）式中自旋密度算符相应于无外场Hamiltonian的Heisenberg算符，Poisson括号取反对易关系。为了将自旋密度算符写成二次量子化形式，对（9.5.25）式中的作Fourier变换是作用在电子的动量和自旋态上的单电子算符之和，而单电子波函数是式中是Bloch函数，是具有两个分量和的自旋函数，从而得到的二次量子化形式式中是Pauli矩阵元，而定义自旋上升和下降算符则有（9.5.27）定义横向磁化率(9.5.28)和纵向磁化率（9.5.29）下面只是考虑横向磁化率。将代入(9.5.28)得（9.5.30）9.5.6 无规相近似（RPA）磁化率定义单一自旋传播子(9.5.31)式中由（9.5.30）给出，满足方运动程 (9.5.32)式中H是Hubbard模型Hamiltonian，将H代入(9.5.32)，略去个电子算符相乘的项，(9.5.32)变为(9.5.3)式中；f是Fermi分布函数。对(9.5.33)关于时间变量t作Fourier变换，得到(9.5.34)其中引入了 (9.5.35)(9.5.34)式是可分离影响函数核的线性非齐次积分方程，容易求解得到 (9.5.36)其中 (9.5.37)是无穷小量，因为要求的是推迟Green函数，所以在分母加上了一无穷小虚部。利用变量及，上式又可写成 (9.5.38)至此我们得到了(9.5.31)式定义的传播子的无规相近似的Fourier变换。如果,则(9.5.36)式就是自由电子的横向动态自旋磁化率。极低温度时Fermi分布函数为阶跃函数，(9.5.37)和(9.5.38)中对k空间求和有贡献的只有一个态在Fermi能级以上，一个态在Fermi能级以下的那些项。分母中的能量差是单个电子空穴激发（stoner激发）能。不失一般性，假定处于铁磁性的金属大多数能带（自旋带）的极化方向，因而每个原子的平均自旋子分量。若除了受晶体周期性影响之外电子是独立电子，则电子的能量，是有效质量，此时为各向同性，一般情况下是张量。若采用各向同性形式，stoner激发能可写成（9.5.39）9.5.7 元激发谱系统的元激发由的极点决定，而确定这些极点的本征方程是（9.5.40）当给定时，函数与直线的交点就是方程（9.5.40）的解，其中一组准连续点落在stoner区之内的发散点附近，代表个别激发。由于，说明自旋带之间的电子空穴对（自旋反转）个别激发存在阻尼，的上界与下界是 在stoner区之外的，(9.5.40)还有一个解，代表相互作用系统的自旋集体振荡，是金属中自旋波解（色散关系），在零温时这个解无阻尼。下面讨论长波极限（）自旋波的近似解。作变量代换 （9.5.40）式可写成 （9.5.41）其中在的极限情况将展开 由于在铁磁相是有限值，因而当时可取和作为展开的小参量。将（9.5.41）的分母展开，并保留至项，则有 由于并设为球形等能面，可得近似式 令 （9.5.42）可得自旋波的色散关系 （9.5.43）9.5.8 Stoner模型的临界温度Tc现在考虑一个自旋带的金属，每个原子含有自旋的平均电子数为 （9.5.44）是系统中原子总数，则每个原子的平均电子数和是 （9.5.45）当温度由的下文趋于时，可以将（9.5.44）展开为m的幂级数。用和表示（9.5.45）中的和，则有 得到 （9.5.46） 在领域将Fermi函数展开： （9.5.47）由于是从以下趋向，则必须加上条件 （9.5.48）由（9.5.47）可知临界温度必须满足条件 （9.5.49）取的热力学极限，将上式的求和变为积分 其中是非磁性相每个原子中单电子态密度，是Fermi能级，而 ， （9.5.50）是的偶函数，随或迅速减小。对于所有过渡金属，能带宽度w和Fermi能级远大于，因而在（9.5.50）是不可忽略的范围内的变化非常小，允许在的领域将展开为的Taylor级数 （9.5.51）由于 则 或者 （9.5.52）由上式可以看出，在以上近似下，只有Fermi能级接近态密度极大值（9.5.52）式才能满足。可以粗略估计由（9.5.52）式得到的的数量级。假定 ，如果和是同一量级（在过渡金属情况），则得。这个温度是几个ev的量级，或者趋于几千k