数学竞赛 几何变换 (第十二届夏令营).doc

几何变换 (第十二届夏令营)湖南师大附中 数学竞赛组自公元前3世纪古希腊数学家欧几里得(Euclid)的几何原本问世以来, 平面几何就作为数学的一个分支而存在于世. 由于平面几何有其鲜明的的直觉与严谨、精确、简明的语言, 并且经常出现一些极具挑战性的问题, 因而这一古老的数学分支一直保持着青春的活力, 以极具魅力的姿态展现在我们面前. 世界各国无不将平面几何作为培养本国公民的逻辑思维能力、空间想象能力和推理论证能力的重要题材. 由匈牙利于1894年首开先河的国内外各级数学竞赛活动更是将平面几何作为常规的竞赛内容, 并且从1959年开始举办的每年一届(1980年因特殊原因中断)的国际中学生数学竞赛(通称国际数学奥林匹克)中, 在同一届出现两道平面几何题的情况已是屡见不鲜. 但是, 传统的平面几何都是采用公理化方法处理的, 这种方法将平面图形视为静止的图形, 其优点是便于掌握几何图形本身的内在规律. 但用这种静止的观点研究平面几何的一个最大缺陷是: 难以发现不同几何事实之间的联系. 欲深刻揭示客观事物之间的联系, 掌握运动的事物的空间形式最本质的东西在运动中始终保持不变的性质, 仅用静止的观点是远远不够的, 必须动静结合, 用运动、变化的观点来研究客观事物的运动形式和变化规律. 就平面几何而言, 按照德国数学家克莱因(F. Klein)于1872年提出的观点, 平面几何是研究平面图形在运动、变化过程中的不变性质和不变量的科学. 几何变换作为一种现代数学思想方法, 正是采用运动、变化的观点来研究平面几何的. 面对一个平面几何问题, 几何变换往往能有效地帮助我们顺利地实现由条件到结论的逻辑沟通. 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换. 平面几何中的几何变换主要有合同变换、相似变换和反演变换等. 1 知识方法1.1 合同变换在一个几何变换下, 如果任意两个之间的距离等于变化后的两点之间的距离, 则称是一个合同变换. 合同变换只改变图形的相对位置, 不改变其性质和大小. 合同变换有三种基本形式: 平移变换, 轴反射变换, 旋转变换.(一) 平移变换将平面图形上的每一个点都按一个定方向移动定距离的变换叫作平移变换. 记为, 定方向称为平移方向, 定距离称为平移距离.显然, 在平移变换下, 两对应线段平行(或共线)且相等. 因此, 凡已知条件中含有平行线段, 特别是含有相等线段的平面几何问题, 往往可用平移变换简单处理. 平移可移线段, 也可移角或整个图形.例1.1 平面上一个单位正方形与距离为1的两条平行线均相交, 使得正方形被两条平行线截出两个三角形(在两条平行线之外). 证明: 这两个三角形的周长之和与正方形在平面上的位置无关. (第15届亚洲太平洋数学奥林匹克, 2003)证明: 如图所示, 设直线/, 与的距离为1, 单位正方形的边分别与交于, 边分别与交于. 作平移变换, 设, 则在上, 过正方形的顶点. 因点A到的距离等于AB, 所以决不会与边相交. 设与边分别交于, 则有 进而, 于是过顶点作的垂线, 设垂足为H, 则. 由于, 所以, 点A是的, 且分别为的圆与三边的切点, 所以, 从而, 即. 这就是说, 的周长与的周长之和等于2. 它与正方形在平面上的位置无关.(二) 轴反射变换如果直线垂直平分连接两点的线段, 则称两点关于直线对称. 其中叫作点关于直线的对称点.把平面上图形中任一点都变到它关于定直线的对称点的变换, 叫作关于直线的轴反射变换, 记为, 直线叫作反射轴.显然, 在轴反射变换下, 对应线段相等, 两对应直线或者相交于反射轴上, 或者与反射轴平行. 通过轴反射变换构成(或部分构成)轴对称图形是处理平面几何问题的重要思想方法. 例1.2 在锐角中, , 是边BC上的高, P是线段AD上一点. 过P作, 垂足为E, 作, 垂足为F. 分别是的外心. 求证: 四点共圆的充要条件为是的垂心. (全国高中数学联赛, 2007)证明: 如图所示, 由知四点共圆, 且BP为其直径, 所以的外心为的中点. 同理, 四点共圆, 且是的中点. 因此, /, 所以.充分性. 设是的垂心, 由于, 所以四点共线, 四点共线, 四点共圆. 于是由得, 故四点共圆.必要性. 因为是的斜边的中点, 是的斜边的中点, 所以, . 因为四点共圆, 所以. 于是这样, 若四点共圆, 则. 因而有再注意, 即得, 也就是.作反射变换, 设, 因, , 所以, 于是在线段上, 且. 因, 所以, 从而四点共圆. 于是, 所以, 所以, . 而, 故是的垂心.(三) 旋转变换将平面上图形中每一个点都绕一个定点按定方向(逆时针或顺时针)转动定角的变换, 叫作旋转变换, 记为. 点叫作旋转中心, 叫作转幅或旋转角. 易知, 在旋转变换下, 两对应线段相等, 两对应直线的交角等于转幅. 对于已知条件中含有正方形或等腰三角形或其它特殊图形问题, 往往可运用旋转变换来处理. 特别是在转幅为的旋转变换下, 两对应线段垂直且相等. 而转幅为的旋转变换称为中心对称变换, 记为. 在中心对称变换下, 任意一对对应点的连线段都通过旋转中心(此时称为对称中心), 且被对称中心所平分. 由于中心对称变换的这一特殊性, 凡是与中点有关的平面几何问题, 我们可以考虑用中心对称变换处理.例1.3 设圆与圆交于两点. 圆在A点的切线交圆于C, 圆在A点的切线交圆于D. M是CD的中点. 求证: . (中国国家队培训, 2007)证明: 如图所示, 作中心对称变换, 设, 则四边形是一个平行四边形. 设的延长线交于, 则. 又, 所以, 于是. 两式相乘, 并注意到, 得. 而, 所以, 则, 故.例1.4 在中, , 分别为直线上的点, 且/, /, 为的外接圆上的中点. 求证: . (伊朗国家队选拔考试, 2005)证明: 如图所示, 因, /, 所以. 又四边形显然为平行四边形, 则. 于是, 设的外心为, 作旋转变换(其中, 表示始边为射线, 终边为射线的有向角), 则 且, 所以. 因此, 设的中点为, 则.另一方面, 因四边形是平行四边形, 所以也是的中点. 又, 为的外接圆上的中点, 所以为的外接圆的直径, 从而为的中点, 故/. 于是由, 即知.1.2 相似变换在一个几何变换下, 若对于平面上任意两点, 以及对应点, 总有(为非零实数), 则称这个变换是一个相似变换. 非零实数叫作相似比, 相似比为的相似变换记为.显然, 相似变换既改变图形的相对位置, 也改变图形的大小, 但不改变图形的形状. 当时, 就是合同变换. 讨论相似变换时, 常讨论位似变换、位似旋转变换以及位似轴反射变换.(一) 位似变换设是平面上一定点, 是平面上的变换, 若对于任一双对应点, 都有(为非零实数), 则称为位似变换. 记为, 叫作位似中心, 叫作相似比或位似系数. 与在点的同侧时, 此时为外分点, 此种变换称为正位似(或顺位似); 与在点的两侧时, 此时为内分点, 此种变换称为反位似(或逆位似).显然, 位似变换是特殊的相似变换. 有此问题借助于位似变换求解比相似变换更简洁.例1.5 设的内切圆与边分别切于点. 求证: 的外心, 内心与的垂心三点共线. (第12届伊朗数学奥林匹克, 1995; 第97届匈牙利数学奥林匹克, 1997; 第51届保加利亚数学奥林匹克, 2002)证法一: 如图(1)所示, 设的内切圆半径与外接圆半径分别为, . 作位似变换, 设, 则. 再设的外接圆上的(不含点)的中点为, 则/且, 所以四边形是平行四边形, 于是/, 注意到共线, 所以/. 又, 所以. 但/, 从而. 同理, , 所以是的垂心, 因此. 故三点共线, 且.证法二: 如图(2)所示, 设直线分别与的内切圆交于另一点, 则的三边分别垂直平分, 所以, 由此可知/. 同样地, /, /, 因此与是位似的. 而分别是与的外心, 分别是与的内心, 故三点共线, 且.(二) 位似旋转变换具有共同中心的位似变换和旋转变换复合便得位似旋转变换, 即.例1.6 设圆与圆交于两点, 一直线过点分别与圆、圆交于另一点和, 点分别是线段上的点, 且/ , / . 再设点分别在圆的(不含点)上和圆的(不含点)上, 且, . 求证: . (第43届IMO预选题, 2004; 第22届伊朗数学奥林匹克, 2004)证明: 如图所示, 设圆与圆的半径分别为 , 作位似旋转变换, 因割线过两圆的另一个交点, 所以. 设, 则在上, 在圆上, 且, , 所以, . 设的延长线交圆于L, 则有, 而, 于是. 又皆为直角, 因此. 但由/ , / 知, 四边形是平行四边形, 所以, . 于是, 易知, 因此. 再注意到, 即知.(三) 位似轴反射变换就目前的情况来看, 位似轴反射变换的应用似乎尚不及其他几种几何变换. 但作为一种不可或缺的几何变换, 应该有其广泛的用武之地. 实际上, 对于梯形、圆内接四边形、对角线等问题, 都有可能用得上位似轴反射变换.例1.7 已知圆内接凸四边形, F是AC与BD的交点, E是AD与BC的交点, 分别是和的中点. 求证: . (第46届保加利亚数学奥林匹克(第3轮), 1997)证明: 如图所示, 设, 以为位似中心, 为位似比作位似轴反射变换, 使. 设, 则. 同样地, 如果以为位似比作位似轴反射变换, 使. 设, 则, 且都在关于的平分线对称的直线上, 所以另一方面, 由, 知, 从而, 所以四边形是一个平行四边形, 因此是的中点. 同理, 是的中点. 于是, 故1.3 反演变换设O是平面上一定点, 对于上任意异于点的点, 有在OA所在直线上的点, 满足, 则称法则为平面上的反演变换, 记为. 其中为反演中心或者反演极, 为反演幂; 与在点的两侧时, 否则; 与为此反演变换下的一对反演点(或反点), 显然与互为反点(但点的反点不存在或为无穷远点); 点集的像集称为此反演变换下的反演形(或反形).由于时的反演变换是反演变换和以为中心的中心对称变换的复合, 我们只就讨论反演变换即可. 令, 则. 此时, 反演变换的几何意义则可知如图所示, 并称以为圆心, 为半径的圆为反演变换的基圆. 由此几何意义, 我们可作出与垂直的过的直线及过的直线的反形分别为下图中的圆及圆, 反之以为直径的圆, 圆的反形分别为直线. 由反演变换()的定义及几何意义, 即推出反演变换有下列有趣性质: 性质1 基圆上的点仍变为自己, 基圆内的点(除外)变为基圆外的点, 反之亦然.性质2 不共线的任意两对反演点必共圆, 过一对反演点的圆必与基圆正交(即交点处两圆的切线互相垂直).性质3 过反演中心的直线变为本身(中心除外), 过反演中心的圆变为不过反演中心的直线, 特别地过反演中心的相切两圆变为不过反演中心的两平行直线; 过反演中心的相交圆变为不过反演中心的相交直线.性质4 不过反演中心的直线变为过反演中心的圆, 且反演中心在直线上射影的反点是过反演中心的直径的另一端点; 不过反演中心的圆变为不过反演中心的圆, 特别地, (1) 以反演中心为圆心的圆变为同心圆; (2) 不过反演中心的相切(交)圆变为不过反演中心的相切(交)圆; (3) 圆和圆若以点为反演中心, 反演幂为, 则, .性质5 在反演变换下, (1) 圆和圆、圆和直线、直线和直线的交角保持不变; (2) 共线(直线或圆)点(中心除外)的反点共反形线(圆和直线), 共点(中心除外)线的反形共发形点.例1.8 设为的边的中点, 点为的外接圆上(不含点)的中点, 点为的外接圆上(不含点)的中点. 求证: . (第57届波兰数学奥林匹克, 2006)证明: 如图所示, 以为反演中心、为反演半径作反演变换, 则皆为自反点, 直线为自反直线. 设的反点为, 则在直线上, 且的外接圆的反形为直线, d的外接圆的反形为直线, 点的反点为直线与的交点, 点的反点为直线与的交点, 直线的反形为的外接圆. 因分别平分和, 所以, , 且从而/. 设与交于. 因是的中点, 所以是的中点. 再注意即知为的外心, 这说明直线与的外接圆正交, 因此直线与正交, 即.2 范例选讲2.1 合同变换例2.1 设是一个正三角形, 在边上, 在边上, 在边上, 且凸六边形的六边长都相等. 求证: 三条直线交于一点. (第46届IMO, 2005)证明: 如图所示, 作平移变换, 则, 设, 则, 且, 所以是正三角形, 因此, 且由知, /, 所以是平行四边形, 于是, 又, 所以也是正三角形.于是, 由是平行四边形, 与都是正三角形可知, . 同理, , 所以再注意, 即得进而可知, 所以是正三角形. 于是, 又, 因此是的垂直平分线, 从而通过的中心, 同理都通过的中心. 故三线共点.实际上, 在本题中, 也是正三角形, 且、这三个正三角形的中心都是点.例2.2 在凸四边形中, 对角线既不平分, 也不平分, 点在四边形的内部, 满足, . 证明: 四边形内接于圆的充分必要条件是. (第45届, 2004)证明: 如图所示.必要性. 设四边形内接于圆. 以的垂直平分线为反射轴作轴反射变换, 设, 则都在圆上, 且, 所以, 这说明三点共线. 同理, 三点共线, 所以点是与的交点, 因而在反射轴上, 即在的垂直平分线上, 故. 充分性. 设. 分别延长与的外接圆交于点, 则有, , . 因四点共圆, , 所以. 又, , 因此, 从而. 但, 所以. 这说明四边形与四边形关于的平分线互相对称. 而共圆, 所以共圆, 即六点共圆. 故四边形内接于圆.例2.3 设为的垂心, 为的外接圆上三点, 且/, 分别为关于边的对称点. 求证: 四点共圆. (中国国家队选拔考试, 2006)证明: 我们先证明如下引理: 设分别为的外心和垂心, 为的外接圆上任意一点, 关于的中点的对称点为, 则直线关于的中点对称的直线是的垂直平分线.引理的证明. 事实上, 如右图所示, 过作的外接圆的直径, 则与的垂心也关于的中点对称, 所以/且. 又, 因此. 设分别为的中点, 则 , 于是/且. 而, 故直线关于的中点对称的直线是的垂直平分线.回到原题. 如下图所示, 过得作的平行线与的外接圆交于另一点. 由/易知/, /. 因/, 是点关于的对称点, 所以点关于的中点的对称点是. 于是, 设的外心为, 的中点为, 作中心对称变换, 由引理可知, 直线的像直线是的垂直平分线. 同理, 直线的像直线分别是的垂直平分线. 而有公共点, 因此的垂直平分线交于一点. 故四点共圆.进一步, 我们还可以证明与的外接圆是等圆.事实上, 因的中点分别是的三边的中点, 所以的半径是的中点三角形的外接圆的半径的两倍, 而的外接圆的半径也是其中点三角形的外接圆半径的两倍. 故与的外接圆是等圆.在本题中, 我们首先将四点共圆的问题转化成三线共点问题, 然后巧妙地通过中心对称变换使问题得到顺利的解决.例2.4 设是一个正方形, 以为直径作一个圆, 是边上的任意一点, 分别与圆交于两点. 求证: 直线与的交点在圆上, 且. (第44届塞尔维亚和黑山国家数学竞赛, 2006)证明: 如图所示. 设交于, 交于, 则四点共圆, 所以. 令为正方形的中心, 作旋转变换, 则, 而, 所以, 从而. 显然, 为圆的切线, 所以. 因, 所以. 再设与交于, 因, 则, 于是又由四点共圆, 知, 因此, 从而, 即, 这说明四点共圆, 换句话说, 点在圆上. 再由四点共圆, 知, 而, 所以, 于是, 又, 故.2.2 相似变换例2.5 设是半径不等的外离两圆. 是两圆的两条外公切线, 是两圆的一条内公切线, 切点在上, 切点在上. 再设与交于, 与交于. 求证: 平分. (罗马尼亚国家队选拔赛, 2007)证明: 如图所示, 设两条外公切线交于, 内公切线与外公切线分别交于, 以为位似中心作位似变换, 使, 则, 而, 所以, 于是与直线的交点与直线的交点, 即, 因此三点共线. 过作的平行线分别与直线交于, 则, 而, 所以四点共圆, 四点共圆, 再注意到, 于是所以, 因此平分. 而, 所以平分, 即平分. 又, 故平分.例2.6 在的外部作与, 使得, 且. 设交于, 的外心为. 求证: . (中国国家队培训, 2006)证法一: 如右图所示, 易知, 所以. 因此四点共圆, 从而. 于是. 设, 作位似旋转变换, 则. 设, 则, 所以. 又由, 有. 于是, 再作旋转变换, 则, 从而.另一方面, 由知, 因此存在点, 使得. 这说明在位似旋转变换下, 有. 故.证法二: 若下图所示. 同证法一, 有. 设为的中点, 则. 再分别过作的垂线, 垂足分别为, 则于是, 设, , 则所以, . 而, 因此在旋转变换下, , 所以且. 因与等腰的两腰的交角都等于, 所以. 另一方面, 由, 有, 所以, 故.2.3 反演变换例2.7 设圆与直线相离, 是圆的垂直于的直径, 点离较近, 是圆上不同于的任意一点, 直线交于, 过作圆的切线, 是切点, 直线与交于, 与圆交于另一点. 求证: 点关于的对称点在直线上. (德国国家队选拔考试, 2005)证明: 如图所示, 设与直线交于, 则四点共圆, 再由与圆相切可知, 所以, 且, 从而. 但, 所以, 从而, 所以也为圆的切线, 为切点, . 设点关于直线的对称点分别为, 则在圆上, 且, 所以四点共圆. 于是, 作反演变换, 则互为反点, 互为反点, 这说明圆与直线互为反形, 所以互为反点. 又四点共圆, 这个圆与直线互为反形, 所以共线, 即点关于的对称点在直线上.3 训练习题3.1 合同变换练3.1 设四边形外切于圆, 的外角平分线交于点, 的外角平分线交于点, 的外角平分线交于点, 的外角平分线交于点. 再设的垂心分别为. 求证: 四边形是平行四边形. (第30届俄罗斯数学奥林匹克, 2004) 练3.2 设是以为圆心、为直径的半圆上任意两点, 过作圆的切线交直线于, 直线与直线分别交于. 证明: . (第4届中国东南地区数学奥林匹克, 2007)练3.3 设是的边上的两点, 且平分, 是过且平行于的直线上的一点, 直线交于, 直线交于. 求证: 的充分必要条件是. (必要性: 第19届墨西哥数学奥林匹克, 2005)练3.4 设是一个正三角形. 是其内部满足条件的一个动点. 延长交于, 延长交于. 求的外心的轨迹.(第17届拉丁美洲数学奥林匹克, 2002)3.2 相似变换练3.5 在中, , 中线交的内切圆于两点, 分别过两点作的平行线交的内切圆于另一点, 直线分别交于. 求证: . (第46届预选题, 2005; 第47届伊朗国家队选拔考试, 2006)练3.6 设分别是的, 是的外接圆上一点. 证明: 的外心是和的外心的连线段的中点. (第30届俄罗斯数学奥林匹克, 2004)3.3 反演变换练3.7 设分别是分别为的内心和, 与交于, 与的外接圆交于. 设是的中点, 的外接圆分别与交于另一点. 求证: 三点共线. (第18届伊朗数学奥林匹克, 2001)4 习题解答4.1 合同变换练3.1设四边形外切于圆, 的外角平分线交于点, 的外角平分线交于点, 的外角平分线交于点, 的外角平分线交于点. 再设的垂心分别为. 求证: 四边形是平行四边形. (第30届俄罗斯数学奥林匹克, 2004)证明: 如图所示, 设四边形的内切圆圆心为. 由于内角平分线和外角平分线互相垂直, 所以. 又是的高, 所以, 因此/. 同理, /, 从而四边形是平行四边形. 同样地, 四边形皆为平行四边形. 于是但, 因而. 故四边形是平行四边形. 练3.2 设是以为圆心、为直径的半圆上任意两点, 过作圆的切线交直线于, 直线与直线分别交于. 证明: . (第4届中国东南地区数学奥林匹克, 2007)证明: 如图所示. 以过圆心且垂直于的直线为轴作轴反射变换, 设, 则仍在圆上, 且, 所以也是圆的切线, 因此四点共圆. 于是, 从而四点也共圆, 所以.另一方面, 因是圆的直径, 所以. 又显然有, 由此可知, 因此. 再注意, , 即知, 故.练3.3 设是的边上的两点, 且平分, 是过且平行于的直线上的一点, 直线交于, 直线交于. 求证: 的充分必要条件是. (必要性: 第19届墨西哥数学奥林匹克, 2005)证明: 如图所示, 设为的中点, 作中心对称变换, 则. 设, 则四边形是平行四边形. 再设直线与交于, 则有, . 于是, 而, 故又, , 所以.练3.4 设是一个正三角形. 是其内部满足条件的一个动点. 延长交于, 延长交于. 求的外心的轨迹.(第17届拉丁美洲数学奥林匹克, 2002)证明: 如图所示, 设的外心为, 的中心为, 分别过点作的垂线交的垂直平分线于, 易知, 当时, ; 当时, .下面证明: 当在内变动时, 点的轨迹是线段(不包括端点).事实上, 设点满足条件, 作旋转变换, 则. 因, 所以. 注意, 因此都在的外接圆上, 所以的外心在的垂直平分线上.反之, 设的外心在线段上, 以为圆心、为半径作圆分别交于. 由于平分, 所以. 从而在旋转变换下, . 但, 所以. 设的交点为, 显然点在内, 且. 即点满足条件.综上所述, 点的轨迹为线段(不包括端点).4.2 相似变换练3.5 在中, , 中线交的内切圆于两点, 分别过两点作的平行线交的内切圆于另一点, 直线分别交于. 求证: . (第4