弹力学指导书(东大).doc

-弹性力学指导书(东大)第一章 绪 论1-1弹性力学的内容，学习方法和地位作用。弹性力学研究弹性体由于受外力作用，边界约束或温度改变等原因而发生的应力，应变和位移。材料力学是基于平面假设的微段分析法。弹性力学应用高数，将弹性体划分为微元，研究其平衡方程，变形几何方程、协调方程，边界条件，物理方程，求解得到应力、应变和位移。是深入进行工程结构研究、设计、建造和管理必备的力学基础。1-2弹性力学中的几个基本概念体力：分布于物体体积内（单位体积内的力） 面力：分布于物体表面（单位面积上的力）线应变：=L/L,单位长度线段的伸缩，以拉为正（常用单位：微应变）剪（切）应变：二线段间直角的改变（本书以应变减小为正）1-3弹性力学的基本假定（1）连续性致密无空隙的连续体。（2均匀性如混凝土，只要每种材料颗粒远小于物体且在物体内均布，也可认为均匀的（3）各向同性各方向力学性质相同。但研究方法和结果可推广运用于层状弹性体等。（4）完全弹性应力和应变成正比，服从胡克定律。（5）小变形条件可按照变形前的尺寸建立平衡条件。可略去高阶微量而得到一系列方程，叠加原理适用。第二章 平面问题的基本理论2-1平面应力问题与平面应变问题（图2-1,图2-2）一、 平面应力问题：平板中面内受力问题，板面上无外力且板较薄，可认为 仅有xy面内的三个应力,平面应力问题因此得名。二、 平面应变问题：沿轴向平行于横截面的荷载、约束无变化的无限长柱体问题。（1）横截面都是对称面，没有方向位移。（2）横截面间的距离不变，所以，平面应变问题因此而得名（一般）（3）由对称条件及剪应力互等定理。由上述三点，平面应变问题也可取厚变为1单位的薄片来研究。2-2平衡微分方程（图2-3）用平行于坐标轴的一组平面截取单元体，取任一点C的单元体研究其平衡得：32学府信息论坛 免费下载资源 X（剪应力互等定律） （平衡微分方程）导出上述方程的平衡方程的展开式： 2-4 1.几何方程（图2-5）P点x方向线应变x，y方向线应变y,剪应变xy 2. 相容方程（协调方程，变形连续方程） 不是独立的，必须满足下列相容方程，才能保证几何方程求得的位移客观存在。几何方程中分别对和求二阶导数即得： 2-5物理方程（广义胡克定律） 三个弹性常数间关系： （2-10）对平面应力问题代入上式： （2-12） 用应变表示应力：并写成矩阵形式： （2-13）简写为=D 式中弹性矩阵 2、对平面应变问题：由 代入得： 式中 可见：在平面应力问题的物理方程中，用代替，用代替，即得平面应变问题的物理方程。2-6 边界条件（图2-4）1 应力边界条件：由面力边界的微元平衡得出(斜截面应力状态由内部三角形体平衡得出)设微元斜边长，各面力分量法线方向余弦 2 位移边界条件 3 混合边界条件有二：一部分边界已知位移部分边界已知面力；同一边界上某方向已知位移另方向已知面力。2-7圣维南原理 当外力等效变换，近处的应力分布有显着改变，而远处的影响可不计据此S次要边界S上精确边界条件（难以满足）: 可用下述近似边界条件代替（容易满足） ：边界面力: 边界集中力: 2-8按位移求解平面问题 以位移为基本未知量，满足平衡方程、应力边界条件和位移边界条件，解出后用几何方程求应变（相容方程自然满足），再用物理方程求应力。几何物理方程代入平衡方程 （2-18）几何物理方程代入应力边界条件(在上)（2-19）例：图示杆件自重fy=g,设泊松比=0，u=0，试用位移法解。解由基本方程（218）积分得 再积分由边界条件（219）第一式：0=0；第二式中y=h得: 则A=由已知位移边界条件：（V）Y=0=0 得出B=0代入有再由几何方程得由物理方程得： 2-9 按应力求解平面问题（假设全部为应力边界条件）： 必须满足平衡方程，应力边界条件和相容方程，再用物理方程求应变，几何方程求位移。（多联域中还须满足位移单值条件）胡克定律代入相容方程，平衡方程求导后相加代入相容方程中消去含项，得应力表示的相容方程： （2-21）2-10常体力时按应力求解平面问题。艾里应力函数常体力时相容方程成为或写成 (2-23)平衡方程解=特解+齐次通解特解： 或齐次方程通介 则必有那未齐次通介 (k)平衡方程全解： （2-24）2 （2-24）代入相容方程（2-23）或或 （2-25）常体力时应力解法：应力函数满足相容方程（2-25），力边界条件（2-15），多连体中须满足位移单值条件，再由（2-24）求应力，物理方程求应变，几何方程求位移。第三章 平面问题的直角坐标解答3-1 1、逆解法：若取艾里应力函数则满足但 可求介矩形板y方向均布拉力问题可求介矩形板均布剪力问题可求介矩形板x方向均布拉力问题可求介矩形板纯弯曲问题叠加可求更复杂问题。 图3-1例3-2 3-32 、半逆解法：根据弹性体的边界形状和受力情况，假设若干应力的函数形式，由相容方程求解表达式，再求应力分量，用边界条件确定系数（多连体还要满足位移单值条件）若某边界条件不能满足，要重新求解。确定应力的形式常用下列三种方法：由主要边界的荷载，确定部分分量的形式。如3-4对楔形物体，由量纲分析推出应力和坐标的因次关系。如3-5由材力知识确定部分应力分量。如习题3-5（有时要修正以满足）第四章 平面问题的极坐标解答4-1极坐标中的平衡方程（图4-1） （4-1）4-2 1.几何方程：（图4-2） （4-2）2.物理方程:(x,y)、(,)均是正交坐标系，所以物理方程形式相同：4-3 极坐标中应力函数和相容方程。利用 ，将对的导数演化成对的导数，则由2-25有相容方程： （4-6）图4-1中设和 重合，而使，若不计体力由（2-24）写出：参见P57(a)(b)(c)（4-5）4-4应力的坐标变换（图4-3）由 得 （4-7）同样 （4-8）4-5轴对称应力和相应位移因轴对称： 则 （4-9）且相容方程简化为 积分得 （4-10）则应力一般介： (4-11)代入物理方程再代入几何方程，其中前2式积分后代入3式，分离变量后求出前2式中积分常数，对多联域再由的位移单值条件知(4-12)中(常数IK代表刚体位移，不产生应力)，则位移一般介： （4-12）4-6 圆环或圆筒受均布内压，外压（图4-4）（4-11）式代入边界条件，并考虑位移单值条件B=0： 得：解出A、C得(4-13)4-7压力隧洞（图4-5）圆筒内 圆筒外 内边界条件： （）无限远边界： 得 （）接触面边界条件： 接触面位移条件 其中由解出得应力： (4-16)4-8圆孔的孔口应力集中： 首先，设有矩形薄板（或长柱）在离开边界较远处有半径为r的小圆孔，在四边受均布拉力，集度为q，如图坐标原点取在圆孔的中心，坐标轴平行于边界。 主要是考察圆孔附近的应力，所以用极坐标求解。作一个大圆R，如虚线所示。由应力集中的局部性，大圆周处任一点A，应力情况与无孔时相同，x= q，y= q，xy=0。其应力园是一个点园，则任何方向应力都是= q，=0。利用圆环受均布外压力时的解答，命q2= -q。于是得 既然R远大于r，可以取，从而得到解答 2、其次，设该矩形薄板（或长柱）在左右两边受有均布拉力q而在上下两边受有均布压力q，也就是，。利用坐标变换式（47），可得边界条件： （a）在孔边，边界条件是 ， （b）又由应力公式（4-5）： ，知可以假设， （c）可满足（a）（b） ,将式（c）代入相容方程（46），得。是欧拉方程， 设=et得自变量为t的常系数微分方程，解得其中A，B，C，D为待定常数。代入式（c），得应力函数代回得：，由应力公式得： 将式（d）代入边界条件式（a）和（b）,得：（d）命0,解得即：（418） 图47的叠加法成立图48应力可叠加得： （419）沿着孔边，=r，环向正应力是 它的几个重要数值如下表所示。030456090-q0q2q3q沿着Y轴，=90，环向正应力是它的几个重要数值如下表所示。r2r3r4r3q1.22q1.07q1.04q可见应力在孔边达到均匀拉力的三倍，但随着远离孔边而急剧趋近于q，如图48所示。沿着x轴，=0，环向正应力是 在=r处，=-q；在=处，如图48所示。在=r与=之间，压应力的合力为显然，当q为均布压力时，在=r与=之间将发生拉应力，其合力为0.1924qr。4-9 半平面体在边界上受集中力(单位厚度上力F与法线夹角)（图4-9）量纲分析：应力取决于，应力量纲为，是由组成的量纲一的量，由前知应比中因次高二次即，代入相容方程得介出代入得 （4-20）则 ()上式除原点外，满足： 以原点为圆心为半径截取半圆研究其平衡：（图4-9） 即 即 C、D代入(b)则： （4-21）当F垂直于直线边界(图4-10)，代入(4-21)得1) 应力 （4-22）坐标变换： （4-23） （4-24） 2) 位移：（4-22）代入物理方程再代入几何方程，其中前二式积分，代入第三式分离变量： 由对称条件得,M点的沉陷在正方向，向上 上式中任意常数I难确定。M点对距离S的基点B的相对沉陷:（图4-11）M点沉陷-B点沉陷= (4-25)4-10 半平面体在边界上受铅直分布力,分布宽度(-b,a)1) 求点应力：取，由式（4-24） （4-26） （4-27）2) 边界长度c上分布集度，求距的中点为x的一点k的沉陷（图4-13） (4-28)S为微应力与某基点B之间距离(设S近似为常数)其中分二种情况：K在均布力中点 ，则K在其他点则第五章 变形体系的虚功原理5-1质点系虚功原理：若质点系处于平衡状态，则对任一质点i有Fi+ =0，质点i上所有 力的虚功Firi+FNiri =0，对所有的质点求和得：Firi+FNiri =0，这就是质点系虚功原理（质点系平衡和总虚功为零是等价的）。5-2变形体系的虚功原理： 把变形体看成质点系，在主动力系（外力，支反力）作用下平衡 约束力（内力）记为NMQT，给定任意的虚位移（约束允许的，满足变形协调，可以是实际的变形位移）；主动力虚功，虚位移（虚应变）产生的虚应变能，则内力（约束力）虚功为-U*（内力总是抵抗变形和变形方向相反）；若质点系平衡，则总虚功为零：或写成。 （5-1）特：1）杆系结构广义外力，支反力构成平衡力系给定任意的虚位移，支座位移（满足变形协调条件）主动力虚功虚应变能 杆系结构虚功原理： （5-2）2）平面弹性体A在一组集中力F=F1 F2 Fn作用下平衡，弹性体中应力为=x y xyT ,给定F=F1 F2 Fn以虚位移*T ，相应的虚应变*=x y xy T ，则外力虚功W*=*T F，虚应变能，代入（4-1）得集中力F作用的平面弹性体虚功方程 （5-3）第六章 用有限单元法解平面问题有限元法解弹性力学平面问题，应用广泛，且方法典型。学好本章后，其它各种有限元位移法可触类旁通。6-1 结构的离散化单元的划分图示一深梁弹性平板，取坐标系xoy，把平板划分成有限个互不重叠的三角形三角形单元，取每个三角形的顶点为节点，对所有的单元从1开始按序编号，对所有的节点从1开始按序编号。(图6-1)图6-2 单元的节点位移图6-1 单元划分6-2 单元位移模式节点位移表示单元内部位移结构中任取一典型的单元e，节点编号为i、j、m，按逆时针排列，记每个节点的位移： 每个节点两个独立的位移分量，称为节点自由度。单元e的节点位移为基本未知量（一）插值位移函数：选取单元位移函数为坐标的线性函数： 待定系数由节点位移值来确定，6个已知节点位移分量，只能确定6个待定系数。用解三元一次方程的克莱姆法则： 图6-3 有限元的几何意义 式中： （） （6-19）三角形面积逆时针排列使三角形面积A为正。（6-20）将、代入位移函数可得插值形式的位移函数： 同理，式中： 也可写成（）插值位移函数写成矩阵形式： （6-23）式中形函数矩阵： （6-25）它取决于单元形状，称为形状函数，简称形函数。当节点位移确定后，单元内各点位移的分布形状由、来确定。（图6-5）（二）有限元的几何意义：用单元边界(直线)逼近物体边界，用按单元分片的位移函数逼近实际位移。（图6-3）（图6-5）（三）对位移模式的要求：1、能反映单元的刚体位移；2、能反映单元的常量应变；3、反映位移的连续性。位移模式含一次项能满足要求。（四）形函数的性质：（图6-5） （） （6-21） （6-22）6-3 单元分析典型单元e的特性分析：（一）用单元节点位移表示单元应变插值位移函数u v代入几何方程： (6-26)简写成：式中应变矩阵 (6-28)在此，是常数矩阵，因此同一单元中各点应变是常量，故称这种单元为常应变三角形单元。（二）单元节点位移表示单元应力。单元应变代入物理方程： (6-30)式中称为应力矩阵 (6-31)（三）单元刚度方程，单元刚度矩阵由上可见关键是求出单元节点位移其途径是建立节点位移和节点力的关系单元刚度方程将单元上所有作用力（集中力，分布面力q，体积力p及单元之间内力）按虚功等效原则移置到三个节点，得等效节点力单元在节点力作用下平衡，给节点以任意的虚位移（满足变形连续条件、位移边界条件）引起单元内部的虚位移：，相应的虚应变：根据虚功原理： 节点力虚功虚应变能 由于虚位移的任意性，从两边消去：得单元刚度方程： (6-36)式中单元刚度矩阵： (6-35)对常应变三角形单元，且单元的厚度t为常量则： (d)写成分块形式： (6-37)其中每个子块，对平面应力问题有：(6-38)对平面应度问题上式中E换成，换成6-4. 整体分析（一）整体刚度方程，整体刚度矩阵（总刚变矩阵）单元e的刚度方程（单元三个节点，6个自由度是6价方程）或 （1）设结构有h个单元n个节点，2n个自由度，则整体刚度方程是2n阶的，把单元刚度方程扩大写成2n阶 m （2）式中K和F中的都是零，中从都写上，可见，式（2）和式（1）是等价的。h个单元就有h组如式（2）的方程，把它们叠加起来注意式中不同于，由等效扩大而成，可从求和号中提出。则整体刚度方程： （4） 式中： 称为整体刚度矩阵，由式（2）可见只要把每个单元的刚度矩阵的子块按 其 节点号对号入座，填入相加即得整体刚度矩阵K，它是扩大了的单元刚度矩阵的和。 称为等效节点荷载，是各个单元等效节点力的叠加。由2-3的分析知：等效节点力包括外力和单元之间相互作用的内力，而相邻单元公共边内力引起的等效节点力在叠加过程中互相抵消，只剩下外力（外部作用）引起的等效节点力，即等效节点荷载。一（二）整体刚度矩阵的性质1是对称矩阵单元刚度矩阵是对称阵，扩大后仍对称，其和整体刚度矩阵必对称。2是稀疏阵且呈带状；最大相邻节点号差越小，带宽也越小。3K是奇异阵，排除刚体位移后，它是正定阵（三）等效节点载荷设单元e上作用有集中力，体积力，分布面力，按静力等效原则（虚功等效原则），将其移置为等效节点荷载，都记为。集中力作用于某点C，给单元e各节点的虚位移单元内部相应的虚位移等效节点载荷的虚功作用力的虚功。将：若c取为节点，中元素为1或0，可见：作用在节点上的集中力不必运算，为简单计，一般把集中力的作用点c取为节点体积力； 取微元集中力按1有：或写成：若在单元内均匀分布（如物质物体的重力），t为常量，并由（622）的积分公式：则： (5)面力边上取微元集中力（单位面积上的力）则边长或1）若为均布面力作用于边按(6-22)积分公式2）若线性分布，易得 (6)6-5 位移边界条件的处理考虑边界位移约束条件，排除弹性体的刚体位移，消除整体刚度矩阵的奇异性后，才能从整体刚度方程解出节点位移，处理位移边界条件的方法有二：（一）置0置1法：现以四阶方程为例说明处理位移边界条件的方法： (1)已知位移边界条件 若第n个位移已知，则置1，n行n列其他元素置0；中：改成已知位移，其余各行减去被置0元素和已知位移乘积。例：对，置，第1行和第1列的其余元素置0，中第1个元素改成，其余各行减去被置0的元素和已知位移的乘积。对，置，第3行和第3列的其余元素置0。中第3个元素改成，其余各行减去被置0的元素和已知位移的乘积。 (2)这样处理后，方程1，3得 ；方程2，4与上（1）式同解。（二）置大数法：若第n个位移已知，则置大数如（1015），置为已知位移与同一大数之积。上例对，将K中与指定节点位移有关的主对角元换上一个大数如1015，同时将R的对应元素换成。同法处理。（a）从上两种方法都保持了原来K矩阵对称带状和稀疏等性质，并消除了原来K矩阵的奇异性，便可用线性代数计算方法求解。6-6 计算成果的整理，注意事项：（一）应力计算1. 单元应力，对常应变三角单元它是常量，较客观地反映了三角形形心处应力。2. 节点应力，可用绕节点各单元应力平均法计算内节点的应力。如：3单元边界中点处的应力4边界点O的应力，可用三点抛物线插值公式推算，（二）实施过程注意事项1利用对称性以简化计算，图示结构纯弯梁：对轴几何对称，荷载对称；对轴几何对称，荷载反对称，只要取结构计算，计算结果，对轴对称，对轴反对称。若对称面上有荷载只取一半。R2节点的选择和单元的划分。（1） 通常集中载荷作用点，分布载荷的分界点，支承点取作节点。（2） 如果物体厚度有变化或由不同材料构成，划分单元注意同一单元的材料厚度相同。（3） 应力变化比较急剧的地方，单元要划得细一些，相邻单元大小不能相差大悬殊。（4） 尽可能不用钝角三角形，且使三角形的三条边长相差不太大。3节点编号应使相邻节点号差尽可能小，使总刚带宽小。4单元节点编号逆时针。6-7 算例：图示结构，荷载的合力P，=1/3，板厚t，弹性模量E，尺寸如图。 划分二个单元，计算节点位移和单元应力。解：1.离散化如图：建立坐标xoy；划分单元；节点编号1,2,3,4单元节点编号（逆时针） 节点坐标（m）ij节点号100220301421m3122432单元刚度矩阵单元节点坐标差：三角形面积：(或)应变矩阵：弹性矩阵： 应力矩阵： 单元刚度矩阵： 或单元B，S也反号，刚度矩阵与同。整体刚度矩阵1 2 3 4扩大后填入相加= 4等效节点载荷 5整体刚度方程 6位移边界条件处理（已知），方程求解：用置1置0法处理边界条件，并去除u1=0 v1=0 u2 =0u3=0 v3=0 u4=0六个方程得：7单元应力已介得：第七章空间问题的基本理论7-1 平衡微分方程由得： (7-1) 7-2 一点的应力状态（过P点三个与坐标面平行的平面和附近任一斜面ABC形成一微小四面体，斜面n法线的方向余弦方向应力(7-2)(7-5)则：7-3 主应力：设n面为主平面，则（7-2）中，代入（7-2）因为不能全为0其系数行列式即特征方程介之即得三个