内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《用样本估计总体、正态分布》课件.ppt

第六十四讲用样本估计总体 正态分布 走进高考第一关考点关回归教材 1 用样本的频率分布估计总体分布 1 频率分布表样本中所有数据 或者数据组 的频数和样本容量的比 就是该数据的频率 所有数据 或者数据组 的频率的分布变化规律叫做频率分布 可以用频率分布表 频率分布直方图 频率分布折线图 茎叶图等来表示 2 绘制频率分布直方图的主要步骤 a 计算极差 b 决定组距与组数 c 将数分组 d 列出频率分布表 e 绘制频率分布直方图 3 频率分布折线图 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点 就得到频率分布折线图 4 总体密度曲线如果样本容量不断增大 分组的组距不断缩小 则频率分布直方图实际上越来越接近于总体在各小组内所取值的个数与总数比值的大小 它可以用一光滑曲线来描绘 这条光滑曲线就叫做总体密度曲线 5 茎叶图表示数据有两个突出的优点 其一是统计图上没有原始数据的损失 所以信息都可以从这个茎叶图中得到 其二是在比赛时随时记录 方便记录与表示 2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1 众数 中位数 平均数在一组数据中 出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 将一组数据按大小依次排列 把处在中间位置的一个数据 或中间两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数 当 一定时 曲线随着 的变化沿x轴平移 如图 所示 当 一定时 曲线的形状由 确定 越小 曲线越 瘦高 越大 曲线越 矮胖 如图 所示 4 正态分布在三个特殊区间的概率值p x 68 3 p 2 x 2 95 4 p 3 x 3 99 7 考点训练 1 2009 湖北卷 如下图是样本容量为200的频率分布直方图 根据样本的频率分布直方图估计 样本落在 6 10 内的频数为 数据落在 2 10 内的概率约为 0 4 64 2 2009 江苏卷 某校甲 乙两个班级各有5名编号为1 2 3 4 5的学生进行投篮练习 每人投10次 投中的次数如下表 则以上两组数据的方差中较小的一个为s2 0 4 3 2009 福建卷 某校开展 爱我江西 爱我家乡 摄影比赛 9位评委为参赛作品a给出的分数如茎叶图所示 记分员在去掉一个最高分和一个最低分后 算得平均分为91 复核员在复核时 发现有一个数字 茎叶图中的x 无法看清 若记分员计算无误 则数字x应该是 1 4 2009 山东卷 某工厂对一批产品进行了抽样检测 下图是根据抽样检测后的产品净重 单位 克 数据绘制的频率分布直方图 其中产品净重的范围是 96 106 样本数据分组为 96 98 98 100 100 102 102 104 104 106 已知样本中产品净重小于100克的个数是36 则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 a 90b 75c 60d 45 解析 小于100克的频率为 0 050 0 100 2 0 3 设样本容量为n 则0 3n 36 n 120 样本中大于或等于98克并且小于104克的产品个数为 0 2 0 3 0 25 120 90 答案 a 解读高考第二关热点关题型一频率分布直方图 例1对某电子元件进行寿命追踪调查 情况如下 1 列出频率分布表 2 画出频率分布直方图 3 估计电子元件寿命在100h 400h以内的概率 4 估计电子元件寿命在400h以上的概率 解 1 样本频率分布表如下 3 由频率分布表可以看出 寿命在100h 400h的电子元件出现的频率为0 65 所以我们估计电子元件寿命在100h 400h的概率为0 65 4 由频率分布表可知 寿命在400h以上的电子元件出现的频率为0 20 0 15 0 35 故我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0 35 点评 解决总体分布估计问题的一般程序为 当总体中所取不同的数值较少时 常用条形图表示相应样本的频率分布 否则 常用频率分布直方图表示相应样本的频率分布 具体步骤为 1 先确定分组的组数 最大数据与最小数据之差除组距得组数 2 分别计算各组的频数及频率 3 画出频率分布直方图并作出相应的估计 变式1 2009 广东卷 根据空气质量指数api 为整数 的不同 可将空气质量分级如下表 对某城市一年 365天 的空气质量进行监测 获得的api数据按照区间 0 50 50 100 100 150 150 200 200 250 250 300 进行分组 得到频率分布直方图如图 1 求直方图中x的值 2 计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数 3 求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率 2 空气质量为y的天数 y对应的频率 组距 组距 365天 所以一年中空气质量为良和轻微污染的天数分别是 3 设a b分别表示随机事件 空气质量为良 和 空气质量为轻微污染 则事件a与b互斥 所以空气质量为良或轻微污染的概率是 题型二茎叶图例2 2009 安徽卷 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种a 将其与原有的一个优良品种b进行对照试验 两种小麦各种植了25亩 所得亩产数据 单位 千克 如下 品种a 357 359 367 368 375 388 392 399 400 405 412 414 415 421 423 423 427 430 430 434 443 445 445 451 454品种b 363 371 374 383 385 386 391 392 394 394 395 397 397 400 401 401 403 406 407 410 412 415 416 422 430 1 完成所附的茎叶图 2 用茎叶图处理现有的数据 有什么优点 3 通过观察茎叶图 对品种a与b的亩产量及其稳定性进行比较 写出统计结论 2 由于每个品种的数据都只有25个 样本不大 画茎叶图很方便 此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况 便于比较 没有任何信息损失 而且还可以随时记录新的数据 3 通过观察茎叶图可以看出 品种a的亩产平均数 或均值 比品种b高 品种a的亩产标准差 或方差 比品种b大 故品种a的亩产稳定性较差 点评 本小题主要考查茎叶图和统计的基本思想方法 考查分析样本数据 从样本数据中提取基本的数字特征 进行统计推断的能力和应用意识 变式2 2009 广东卷 随机抽取某中学甲 乙两班各10名同学 测量他们的身高 单位 cm 获得身高数据的茎叶图如图 1 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高 2 计算甲班的样本方差 3 现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学 求身高为176cm的同学被抽中的概率 解 1 乙班的平均身高较高 可由茎叶图判断或计算得出 3 从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学 共有10种不同的取法 173 176 173 178 173 179 173 181 176 178 176 179 176 181 178 179 178 181 179 181 设a表示随机事件 抽到身高为176cm的同学 则a中的基本事件有四个 173 176 176 178 176 179 176 181 题型三正态分布例3 2009 浙江卷 已知随机变量 服从正态分布n 2 2 p 4 0 84 则p 0 等于 a 0 16b 0 32c 0 68d 0 84 解析 4和0关于x 2对称 由正态分布曲线的对称性知 p 0 1 p 4 1 0 84 0 16 答案 a 变式3 1 2009 安徽卷 若随机变量x n 2 则p x 解析 由正态曲线的性质知 对称轴x m p x 2 已知x n 0 82 且p 2 x 0 0 4 则p x 2 等于 a 0 1b 0 2c 0 3d 0 4 答案 a 笑对高考第三关技巧关 典例 2007 湖北卷 在生产过程中 测得纤维产品的纤度 表示纤维粗细的一种量 共有100个数据 将数据分组如下表 1 完成频率分布表 并在给定的坐标系中画出频率分布直方图 估计纤度落在 中的概率及纤度小于 的概率是多少 统计方法中 同一组数据常用该组区间的中点值 例如区间 的中点值是 作为代表 据此 估计纤度的期望 解 1 频率分布表如下 频率分布直方图如图 纤度落在 中的概率约为 纤度小于 的概率约为 3 总体数据的期望约为1 32 0 04 1 36 0 25 1 40 0 30 1 44 0 29 1 48 0 10 1 52 0 02 1 4088 点评 本题将概率 频率分布直方图 数学期望综合到一起 能有效地考查考生实际的转化能力 在第 2 问中的概率就是表中相对应的频率 在第 3 问中 通常取每组区间的中点值作为代表 计算期望 考向精测 1 2009 四川卷 设矩形的长为a 宽为b 其比满 这种矩形给人以美感 称为黄金矩形 黄金矩形常应用于工艺品设计中 下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本 甲批次 0 5980 6250 6280 5950 639乙批次 0 6180 6130 5920 6220 620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数 与标准值0 618比较 正确结论是 a 甲批次的总体平均数与标准值更接近b 乙批次的总体平均数与标准值更接近c 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同d 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 答案 a 2 2009 浙江卷 某个容量为100的样本的频率分布直方图如下 则在区间频数为 30 课时作业 六十四 用样本估计总体 正态分布一 选择题 1 2008 山东高考 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩 统计如表 则这100人成绩的标准差为 答案 b a 容量 方差b 平均数 容量c 容量 平均数d 标准差 平均数 答案 c 3 一组数据的标准差为s 将这组数据每一个数据都扩大到原来的2倍 所得到的一组数据的方差是 解析 标准差是s 则方差为s2 当这组数据都扩大到原来的2倍时 平均数也扩大到原来的2倍 因此方差扩大到原来的4倍 故方差为4s2 答案 b 4 2010 黄冈市一模 某市组织一次高三调研考试 考试后统计的数学成绩服从正态分布 其密度函数为则下列命题中不正确的是 a 该市在这次考试的数学平均成绩为80分b 分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同c 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同d 该市这次考试的数学成绩标准差为10 答案 b 5 已知一组数据按从小到大的顺序排列为 1 0 4 x 6 15 且这组数据中位数为5 那么数据中的众数为 a 5b 6c 4d 5 5 解析 由题意知 4 x 5 2 x 6 此时 这组数为 1 0 4 6 6 15 众数为6 答案 b 二 填空题6 下图是某市歌手大奖赛中评委为某选手打出的分数的茎叶图 去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平均数和标准差分别为 851 6 7 在学校开展的综合实践活动中 某班进行了小制作评比 作品上交时间为5月1日至30日 评委会把同学们上交作品的件数按照5天一组分组统计 绘制了频率分布直方图 如图所示 已知从左到右各长方形的高的比为2 3 4 6 4 1 第三组的频数为12 则本次活动共有 件作品参加评比 60 8 2009 重庆高考题 从一堆苹果中任取5只 称得它们的质量如下 单位 克 125124121123127则该样本标准差s 克 用数字作答 2 9 2009 上海高考题 在发生某公共卫生事件期间 有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为 连续10天 每天新增疑似病例不超过7人 根据过去10天甲 乙 丙 丁四地新增疑似病例数据 一定符合该标志的是 a 甲地 总体均值为3 中位数为4 b 乙地 总数均值为1 总体方差大于0 c 丙地 中位数为2 众数为3 d 丁地 总体均值为2 总体方差为3 答案 d 三 解答题10 某赛季甲 乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下 甲的得分 12 15 24 25 31 31 36 36 37 39 44 49 50 乙的得分 8 13 14 16 23 26 28 33 38 39 51 1 画出甲 乙两名运动员得分数据的茎叶图 2 根据茎叶图分析甲 乙两运动员的水平 解 1 作出茎叶图如下所示 2 由上面的茎叶图可以看出 甲运动员的得分情况是大致对称的 中位数是36 乙运动员的得分情况除一个特殊得分外 也大致对称 中位数是26 因此甲运动员的发挥比较稳定 总体得分情况比乙运动员好 11 为了解小学生的体能情况 抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试 将所得数据整理后 画出频率分布直方图如下图所示 已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0 1 0 3 0 4 第一小组的频数为5 1 求第四小组的频率 2 参加这次测试的学生人数是多少 3 在这次测试中 学生跳绳次数的中位数落在第几小组内 解 1 第四小组的频率 1 0 1 0 3 0 4 0 2 2 n 第一小组的频数 第一小组的频率 5 0 1 50 3 0 1 50 5 0 3 50 15 0 4 50 20 0 2 50 10 即第一 第二 第三 第四小组的频数分别为5 15 20 10 学生跳绳次数的中位数落在第三小组内 12 2009 海南 宁夏高考题 某工厂有工人1000名 其中250名工人参加过短期培训 称为a类工人 另外750名工人参加过长期培训 称为b类工人 现用分层抽样方法 按a类 b类分二层 从该工厂的工人中共抽查100名工人 调查他们的生产能力 此处生产能力指一天加工的零件数 1 a类工人中和b类工人中各抽查多少工人 2 从a类工人中的抽查结果和从b类工人中的抽查结果分别如下表1和表2 表1 表2 先确定x y 再在答