单位力法与超静定.ppt

2020年2月8日 材料力学 第12章能量法与超静定问题 第十二章能量法与超静定问题 12 1概述 12 2杆件变形能的计算 12 3单位荷载法 12 4能量法解超静定问题 12 1概述 一 能量方法 二 基本原理 能量法是求位移的普遍方法 可以求结构上任意点沿任意方向的位移 12 2杆件变形能的计算 1 轴向拉压的变形能 2 扭转杆内的变形能 纯弯曲 横力弯曲 3 弯曲变形的变形能 4 组合变形的变形能 二 变形能的普遍表达式 克拉贝隆原理 只限于线性结构 F 广义力包括力和力偶 广义位移包括线位移和角位移 12 3单位荷载法 莫尔定理 一 莫尔定理的推导 求任意点A的位移fA A 变形能为 A F1 F2 A 1 先在A点作用单位力F0 再作用F1 F2力 2 三个力同时作用时 任意截面的弯矩 变形能 Mohr积分 二 普遍形式的莫尔定理 注意 上式中 应看成广义位移 把单位力看成与广义位移相对应的广义力 B 例题1图示外伸梁 其抗弯刚度为EI 用单位载荷法求C点的挠度和转角 A C q F qa a 2a B A A B C a 2a 解 AB 1 求截面的挠度 在c处加一单位力 1 C q F qa a 2a 1 2 BC B A A B C a 2a C q F qa a 2a RA 1 2 B A BC AB 2 求C截面的转角 在c处加一单位力偶 A B C a 2a C q F qa a 2a RA 例题2图示为一水平面内的曲杆 B处为一刚性节点 ABC 90 在C处承受竖直力F 设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是EI和GIp 求C点竖向的位移 解 在C点加竖向单位力 BC A B C a b AB 例题3刚架受力如图 求A截面的垂直位移 水平位移及转角 AB BC 解 求A点铅垂位移 在A点加竖向单位力 A B C l l 求A点水平位移 在A点加水平单位力 AB BC A B C l l 求A点的转角 在A点加一单位力偶 AB BC A B C l l 例题4计算图 a 所示开口圆环在P力作用下切口的张开量 AB EI 常数 B A R P B A R P 解 O O 例题5图示为一简单桁架 其各杆的EI相等 在图示荷载作用下 A C两节点间的相对位移 桁架求位移的单位荷载法为 A C两点间的距离缩短 14 2用力法解静不定结构 A B l 去掉多余约束代之约束反力 得基本静定系 X1为多余反力 例题6如图所示 梁EI为常数 试求支座反力 2 变形条件 B点的挠度为 a 若用 11表示沿X1方向的单位力在其作点引起的X1方向的位移 由于X1作用 B点的沿X1方向位移是 11的X1倍 利用上式解出 a 式成为 力法正则方程 3 用莫尔定理求 1F 4 用莫尔定理求 11 于是 例题7轴线为四分之一圆周的曲杆A端固定 B端铰支 图a 在F作用下 试求曲杆的弯矩图 设曲杆横截面尺寸远小于轴线半径 可以借用计算直杆变形的公式 4 4 F 解 曲杆为一次超静定 解除多与支座B 得到A端固定 B端为自由端的基本静定系 多余约束力为X1 图b a 当基本静定系上只作用外载荷F时 图c 弯矩为 当在B点沿X1方向作用一单位力时 图d 弯矩方程为 a 应用莫尔积分 并设曲杆的EI为常量 将 1F和 11代入 解得 曲杆任一横截面上的弯矩 例题8计算图 a 中所示桁架各杆的内力 设各杆的材料相同 横截面面积相等 解 桁架内部有一个多余约束 所以各杆的内力确是超静定的 以杆件4为多余约束 假想的把它切开 并代之以多余约束力X1 得到图 b 所示的相当系统 a 1F表示杆4切口两侧截面因载荷而引起的沿X1方向的相对位移 11表示切口两侧截面因单位力而引起的沿X1方向的相对位移 图d 力法正则方程 由图 c 求出基本静定系在F作用下各杆的内力FNi 应用莫尔定理 代入方程后求得 由叠加原理可知桁架内任一杆件的实际内力 例9试求图示刚架的全部约束反力 刚架EI为常数 解 刚架有两个多余约束 为二次静不定结构 选取并去除多余约束 代以多余约束反力 建立力法正则方程 计算系数dij和自由项DiP 用莫尔定理求得 求多余约束反力 将上述结果代入力法正则方程可得 求其它支反力 由平衡方程得其它支反力 全部表示于图中 一 对称结构的对称变形与反对称变形 结构几何尺寸 形状 构件材料及约束条件均对称于某一轴 则称此结构为对称结构 14 3对称及反对称性质的应用 例题10在等截面圆环直径AB的两端 沿直径作用方向相反的一对F力 图a 试求AB直径的长度变化 解 沿水平直径将圆环切开 图b 由载荷的对称性 截面C和D上的剪力等于零 只有轴力FN和弯矩M0 利用平衡条件求出FN F 2 只有M0为多余约束力 a 由图 d 和图 e 求出 根据对称性 只研究圆环的四分之一 图c 变形协调条件为 将 1F和 11代入变形协调方程中 解得 任意截面上的弯矩 例题11试求图示刚架的全部约束反力 并作弯矩图 刚架EI为常数 解 图示刚架有