内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《集合与常用逻辑用语》课件.ppt

第一模块集合与常用逻辑用语 考纲要求1 了解集合的含义 元素与集合的 属于 关系 2 能用自然语言 图形语言 集合语言 列举法或描述法 描述不同的具体问题 3 理解集合之间的包含与相等关系 给定集合的子集 补集 交集 并集的含义及基本运算 4 理解命题的概念 了解命题的逆命题 否命题和逆否命题 会分析四种命题的相互关系 5 理解必要条件 充分条件与充要条件的含义 6 了解逻辑连结词 或 且 非 的含义 理解全称量词与存在量词的意义 能正确地写出对含有一个量词的命题的否定 命题走向纵观近几年各省 市的高考试题知 本模块是必考内容之一 多以选择题 填空题出现 主要考查集合的简单运算 命题的充分条件 必要条件 充要条件 因为集合 充要条件可以与很多高中数学内容相结合 还可以出解答题 第一讲集合的概念及简单运算 走进高考第一关考点关回归教材1 集合的概念 1 集合是数学中的一个不定义的原始概念 像平面几何中的点 线 面一样只可描述 一般地 某些指定的对象集在一起就构成一个集合 集合中的每个对象叫做这个集合的元素 它具有三个特性 确定性 互异性 无序性 2 根据集合中元素的多少 集合可分为三类 有限集 无限集和空集 3 符号 和 表示元素和集合之间的关系 4 我们约定用n表示自然数集 n 或n 表示正整数集 z表示整数集 q表示有理数集 r表示实数集 c表示复数集 2 集合的表示方法集合有三种表示方法 列举法 特征性质描述法 韦恩图法 它们各有优点 用什么方法表示集合 要具体问题具体分析 3 子集 真子集 1 对于两个集合a与b 如果a中的每一个元素都是b的元素 那么集合a叫做集合b的子集 记作a b或b a 2 如果a是b的子集 并且b中至少有一个元素不属于a 那么 集合a叫集合b的真子集 记作a b或b a 4 空集 1 空集 是指不含任何元素的集合 它是任何一个集合的子集 是任何一个非空集合的真子集 2 集合 不是空集 三种表示法都是对的 5 有限集的子集 真子集的个数关于有限集的子集个数有下列结论 若有限集a中有n个元素 则a的子集有2n个 非空子集有2n 1个 真子集有2n 1个 6 集合的运算 1 交集对于两个集合a b 由属于a又属于b的所有元素所构成的集合 叫做a和b的交集 记作a b 2 并集一般地 对于两个给定的集合a b 把它们所有的元素并在一起构成的集合 叫做a与b的并集 记作a b 3 全集在研究集合与集合之间的关系时 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素 那么称这个给定的集合为全集 通常用u表示 4 补集如果a是全集u的一个子集 由所有属于u 但不属于a的元素组成的集合 叫做a在全集u中的补集 记作 ua 7 集合中的常用运算性质 1 a b b a 则a b a b b c 则a c 2 a 若a 则 a 3 a a a a 4 a a a a b b a a a 5 a ua a ua u 6 a b a a b 7 u a b ua ub u a b ua ub 8 若a b 则a b a b a b a a b b 考点训练1 2009 全国卷 设集合a 4 5 7 9 b 3 4 7 8 9 全集u a b 则集合 u a b 中的元素共有 a 3个b 4个c 5个d 6个 答案 a 解析 依题意得u a b 3 4 5 7 8 9 a b 4 7 9 u a b 3 5 8 故选a 2 2009 四川卷 设集合s x x 5 t x x2 4x 21 0 则s t a x 7 x 5 b x 3 x 5 c x 5 x 3 d x 7 x 5 答案 c 解析 s 5 5 t 7 3 s t 5 3 3 2009 江西卷 已知全集u a b中有m个元素 ua ub 中有n个元素 若a b非空 则a b的元素个数为 a mnb m nc n md m n 答案 d 解析 ua ub u a b u a b 有n个元素 故a b有m n个元素 4 2009 浙江卷 设u r a x x 0 b x x 1 则a ub a x 0 x1 答案 b 解析 b x x 1 ub x x 1 又a x x 0 a ub x 0 x 1 5 2009 湖北卷 已知p a a 1 0 m 0 1 m r q b b 1 1 n 1 1 n r 是两个向量集合 则p q a 1 1 b 1 1 c 1 0 d 0 1 答案 a 解析 a 1 m b 1 n 1 n 若p q 则由a b得1 1 n m 1 n 解得n 0 m 1 p q 1 1 解读高考第二关热点关题型一集合的基本概念例1现有三个实数的集合 既可以表示为 a 1 也可表示为 a2 a b 0 则a2009 b2009 答案 1 解析 根据集合中元素的确定性 我们不难得到两集合的元素是相同的 这样需要列方程组分类讨论 显然复杂又繁琐 这时若能发现0这个特殊元素 和中的a不为0的隐含信息 就能得到如下解法 由已知得 0 及a 0 所以b 0 于是a2 1 即a 1或a 1 又根据集合中元素的互异性a 1应舍去 因而a 1 故a2009 b2009 1 2009 1 点评 1 利用集合中元素的特点 列出方程组求解 但仍然要检验 看所得结果是否符合集合元素的互异性的特征 2 此类问题还可以根据两集合中元素的和相等 元素的积相等 列出方程组求解 但仍然要检验 变式1 已知x2 1 0 x 求实数x的值 解 由集合中元素的确定性可知x2 1 0或x 由集合中元素的互异性可知x 1 0 若x2 0 则x 0 此时集合为 1 0 0 不符合集合中元素的互异性 舍去 若x2 1 则x 1 当x 1时 集合为 1 0 1 不符合集合中元素的互异性 舍去 当x 1时 集合为 1 0 1 符合 若x2 x 则x 0或x 1 由上可知 x 0和x 1都不合题意 舍去 综上所述 x 1 点评 即要用元素的确定性 互异性和无序性解题 又要利用它们检验解的正确性 特别是互异性 最易被忽视 在学习中必须加以重视 题型二元素与集合的关系例2已知集合a x ax2 3x 2 0 若a中元素至多有一个 求a的取值范围 题型三集合的基本运算例3设全集为实数集r m x x 2 n x y lg 1 x 0 则 rm n等于 a x x 2 b x 2 x 1 c x x 1 d x 2 x 1 答案 a 解析 m x 2 x 2 rm x x2 n x 1 x 0 x x 1 rm n x x 2 点评 进行不等式解集的运算 当遇有较复杂的集合运算时 可利用数轴来表示各不等式的解集 以便于能直观地分析出各集合之间的关系 答案 d 题型四含参数的集合问题例4已知a x 2 x 4 b x x a 1 若a b 求实数a的取值范围 2 若a b a 求实数a的取值范围 3 若a b 且a b a 求实数a的取值范围 解 将a x 2 x 4 在数轴上表示如图 1 a b 又b x x a a 2 2 a b a a 4 3 a b 且a b a 2 a 4 综上可知 1 a 2时 a b 2 a 4 a b a 3 2 a 4时 a b 且a b a 点评 解不等式表示的集合问题 注意借助数轴的直观性来解决问题 它是常用技巧 变式4 2008 南京质检 已知集合a x x23x 2 0 b x x2 a 1 x a 0 1 若a是b的真子集 求a的取值范围 2 若a b a 求a的取值范围 解 1 a x 1 x 2 a b a 1 a 2 a 2 2 a b a b a 若b 则2 4a1时 b x 1 x a a 2 即1 a 2 a 1时 b x a x 1 a 1 综上知 1 a 2 笑对高考第三关技巧关1 利用补集思想方法解题对于某些问题 如果从正面求解较困难 可考虑求解问题的反面 采用 正难则反 的解题策略 具体地说 就是将研究对象的全体视为全集 求出使问题反面成立的集合a 则a的补集即为所求 例1已知集合a x x2 x a 0 b x x2 x 2a 1 0 c x a x 4a 9 且a b c中至少有一个不是空集 求a的取值范围 2 利用韦恩图解题对于全集u及其子集 可用矩形和圆圈分别来表示 并借助图形解决相关问题 这种方法称为韦恩图法 利用韦恩图法可计算集合中的元素个数 有如下公式 card a b card a card b card a b 其中card a 表示集合a中的元素个数 例2已知全集u 不大于20的质数 m n是u的两个子集 且满足m un 3 5 um n 7 19 um un 2 17 求m n 解 如下图所示 由 um un 2 17 可知m n中没有元素2 17 由 um n 7 19 可知n中有元素7 19 m中没有元素7 19 由m un 3 5 可知m中有元素3 5 n没有元素3 5 剩下的元素11 13不在 um n m un um un 三部分 只有11 m n 13 m n 所以m 3 5 11 13 n 7 11 13 19 点评 有的集合问题比较抽象 解题时若借助venn图或数轴进行数形分析 使问题直观化 可准确获解 考向精测1 集合a 1 2 3 4 且a的元素中至少有一个是奇数 则这样的集合有 a 16个b 15个c 12个d 11个 答案 d 解析 满足a 1 2 3 4 的a有24 1 15个 而所求集合的反面为集合中无奇数 即有 2 4 2 4 共4个 故所求集合有15 4 11个 2 如图 u为全集 m p s是u的三个子集 则阴影部分所表示的集合是 a m p sb m p sc m p us d m p us 答案 c 解析 由韦恩图结合集合的运算知 a b d选项错误 c正确 课时作业 一 集合的概念及简单运算 一 选择题1 2010 合肥质检 集合m x x2 1 0 集合n x x2 3x 2 0 全集为u 则图中阴影部分表示的集合是 a 1 1 b 1 c 1 d 答案 b 2 以下5个式子中 错误的个数为 1 0 1 2 1 3 3 1 0 1 2 1 0 2 0 1 2 0 a 5个b 4个c 3个d 2个 答案 c 解析 错误式子为 故选c 3 若集合a 1 3 x b x2 1 且b a 则满足条件的实数x的个数为 a 1b 2c 3d 4 答案 c 4 2008 江西高考 定义集合运算 a b z z xy x a y b 设a 1 2 b 0 2 则集合a b的所有元素之和为 a 0b 2c 3d 6 答案 d 解析 解此题应首先需要正确写出a b 0 2 4 0 2 4 6 5 2009 山东高考 集合a 0 2 a b 1 a2 若a b 0 1 2 4 16 则a的值为 a 0b 1c 2d 4 答案 d 7 已知集合a x x 5 b x x a 若b a 则实数a的取值范围是 答案 a 5 解析 借助于数轴易知 a 5 8 2009 江苏高考 已知集合a x log2x 2 b a 若a b 则实数a的取值范围是 c 其中c 答案 4 解析 a x log2x 2 x 04 即实数a的取值范围是 4 c 4 9 已知集合a 0 1 b x x a x n c x x a 则a b c之间的关系是 答案 b a a c b c 解析 用列举法表示出b 1 c 0 1 0 1 这里a b c是不同层次的集合 c是以a的子集为元素 同一层次的集合可用包含关系 不同层次的集合之间只能用属于关系 所以b a a c b c 三 解答题10 已知集合a m m d m 2d b m mq mq2 其中m 0 且a b 求q的值 12 定义运算x y x 2 y 2 集合a a a 1 a 1 0 b y y x 2 x a 求a b和a b 解 a 1 a 1 a 3 a 3