湖南省长沙市2019年中考数学实现试题研究与函数有关的新定义问题题库.docx

与函数有关的新定义问题1实数x、y若存在坐标(x，y)同时满足一次函数ypxq和反比例函数y，则二次函数ypx2qxk为一次函数和反比例函数的“共享”函数.(1)试判断(需要写出判断过程)：一次函数yx4和反比例函数y是否存在“共享”函数？若存在，写出它们的“共享”函数和实数对坐标；(2)已知整数m、n、t满足条件：tnbc，abc0，令L|，求L的取值范围解：(1)令x4，解得x1或x3，yx4和y是“共享”函数，实数对坐，标为(1，3)和(3，1)；(2)y(1n)x2m2与y的“共享”函数是y(1n)x2(2m2)x2018，由题意得，y(1n)x2m2与y的“共享”函数为y(mt)x2(10mt)x2018，即，又tn8m，8m29m38m，m为整数， m2；(3)yax2b和y存在“共享”函数为yax22bxc，则a、b、c满足，即,2.L2()244(1)4()23,2,3L212，L0)是幸福函数，试求出m的取值范围解：(1)设点P的坐标为(m，)，d|m|2，解得：m11，m21，经检验，m11,m21是原分式方程的解，满足条件的P点坐标为(1，1)或(1，1)；(2)一次函数yx1是幸福函数，理由如下：设P(x，y)为yx1上的一点，d|x|y|x|x1|；x1；当0x1时，d|x|x1|xx11；当x1时，d|x|x1|xx12x11.对于yx1上任意一点P(x，y)，它的幸福指数d1恒成立，一次函数yx1是幸福函数；(3)设P(x，y)为yx2(2m1)xm2m上的一点，d|x|y|x|x2(2m1)xm2m|，yx2(2m1)xm2m(xm)(xm1)，m0，分x0、0xm、mxm1、xm1考虑当x0时，d|x|x2(2m1)xm2m|xx2(2m1)xm2m(xm1)2m1，当x0时，d取最小值，最小值为m2m，m2m1，解得：m；0xm时，d|x|x2(2m1)xm2m|xx2(2m1)xm2m(xm)2m11，(xm)20，m11，解得：m2；当mxm1时，d|x|x2(2m1)xm2m|xx2(2m1)xm2m(xm1)2m1，当xm时，d取最小值，最小值为m，m1；当xm1时，d|x|x2(2m1)xm2m|xx2(2m1)xm2m(xm)2m1m1，m1.解得：若二次函数yx2(2m1)xm2m(m0)是幸福函数，m的取值范围为m2.3在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：ykxb(k0)，当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”(1)求直线l：yx2与双曲线y的切点坐标；(2)已知抛物线yax2bxc经过两点(1，0)和(3，0)，若直线l：yx2与抛物线相切，试求实数a的值；(3)已知直线l：y1kxm与抛物线y22x2相切于点(，)，设二次函数M：y3ax2bxc(a、b、c为整数且a0)，对于一切实数x恒有y1y3y2.求二次数M的解析式解：(1)联立，得x22x10，x1，切点坐标为(1，1)(2)由题可知，抛物线解析式可表示为：ya(x1)(x3)ax22ax3a，联立，得：ax2(2a1)x3a20由抛物线和直线相切易知：a0且0，(2a1)24a(3a2)16a212a10，解得：a1，a2，(3)由题可知：直线y1kxm和抛物线M都经过(，)，m，c，m，联立得2x2kx0，k242()0.解得：k2，m,直线l1的解析式：y12x,对于一切实数x恒有y1y3y2，对于一切实数x恒有：2xax2bxc2x2.当x0时，有c，而c为整数，c0.联立，得ax2(b2)xc0.(b2)24a(c)0,b24b44aca0,联立式得：ab1，c0.故二次函数M的解析式为：y3x2x.4已知y是关于x的函数，若其图象经过点P(t，t)，则称点P为函数图象上的“bingo点”，例如：y2x1上存在“bingo点”P(1，1)(1)直线_(填写直线解析式)上的每一个点都是“bingo点”；双曲线y上的“bingo点”是_；(2)若抛物线yx2(a1)xa2a2上有“bingo点”，且“bingo点”A、B(点A和点B可以重合)的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，求xx的最小值；(3)若函数yx2(nk1)xmk1的图象上存在唯一的一个“bingo点”，且当2n1时，m的最小值为k，求k的值解：(1)y=x;（1,1）和（1，1）；(2)设二次函数yx2(a1)xa2a2的“bingo点”为(x，x)，xx2(a1)xa2a2，x2axa2a20，x1x2a，x1x2a22a4，xx(x1x2)22x1x2(a)22(a22a4)(a)2，又“bingo点”A、B(点A和点B可以重合)，0，即(a)24(a2a2)0，a3或a3，当a3时，xx取最小值，(xx)min；(3)yx2(nk1)xmk1只有一个“bingo点”，yx2(nk1)xmk1与yx只有一个交点，则x2(nk)xmk10有两个相同根，b24ac(nk)2(mk1)0，可得m(nk)2k1，当k2时，n2，m取最小值，即(2k)2k1k，则无解；当2k1时，nk，m取最小值，即k1k，则k；当k1时，n1，m取最小值，即(1k)2k1k，则k24k20；k12(不合题意，舍去)，k22，综上所述，k值为或2.5已知y是关于x的函数，若其图象经过点P(t，2t)，则称点P为函数图象上的“偏离点”例如：直线yx3上存在“偏离点”P(3，6)(1)在双曲线y上是否存在“偏离点”？若存在，请求出“偏离点”的坐标；若不存在，请说明理由；(2)若抛物线yx2(a2)xa2a1上有“偏离点”，且“偏离点”为A(x1，y1)和B(x2，y2)，求wxx的最小值(用含k的式子表示)；(3)若函数yx2(mt2)xnt2的图象上存在唯一的一个“偏离点”，且当2m3时，n的最小值为t，求t的值解：(1)存在假设存在“偏离点”，根据题意得2x，解得x1，x2，当x时，y；当x时，y，“偏离点”坐标为(，)或(，)；(2)设抛物线上的“偏离点”坐标为(x，2x)，代入抛物线得x2(a2)xa2a12x得x2axa2a10，2(a2a1)0，a1，又x1x2a，x1x2a22a2，xx(x1x2)22x1x2a2(4)a4，又抛物线开口向上，且对称轴为a，若363k16，即k，则当a1时，wxx最小值为，若363k16，即k，则当a时，xx最小值为，综上所述，w的最小值为；(3)将“偏离点”(x，2x)代入x2(mt2)xnt22x得：x2(mt)xnt20，该函数图象上存在唯一一个“偏离点”，(mt)24(nt2)0，即nm22mtt2t2(mt)2t2，又对称轴为mt，若t2，取m2时，有nmin44tt2t2t，即t22t60，44160，方程无解；若2t3，取mt时，有nmint22t2t2t2t，解得：t1，成立；若t3，取m3时，有nmin326tt2t2t，即：t28t110，解得t14，t24(舍)，综上所述，t4或t1.6若y是关于x的函数，H是常数(H0)，若对于此函数图象上的任意两点(x1，y1)，(x2，y2)，都有|y1y2|H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称第6题图为该函数的界高如图所表示的函数的界高为4.(1)若函数y(k0)(2x1)的界高为6，则k_；(2)若函数ykx1(2x1)的界高为4，求k的值；(3)已知函数yx22ax3a(2x1)的界高为，求a的值解：(1)12；【解法提示】当2x1时，函数y(k0)中y随x的增大而减小，y1y2，将x12代入得y1，将x21代入得y2k，|y1y2|6，(k)6，解得k12；(2)将x12代入得y12k1；将x21代入得y2k1，|y1y2|4，|3k|4，解得k；(3)当a1时，将x12，x21代入函数解析式得，y147a，y21a，|y1y2|，函数对称轴为xa，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，36a，解得a，又a1，故此种情况不成立；当a1时，将x12，x2a代入函数解析式得，y147a，y23aa2，|y1y2|，a24a0，解得a1，a2