【全程复习方略】高中数学 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义时作业 新人教A版选修22(1).doc

复数代数形式的加、减运算及其几何意义一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014昆明高二检测)实数x，y满足z1=y+xi，z2=yi-x，且z1-z2=2，则xy的值是()a.1b.2c.-2d.-1【解析】选a.z1-z2=x+y+(x-y)i=2x+y=2,x-y=0xy=1.2.在复平面内，向量ab对应的复数是2+i，则向量ba对应的复数在第_象限()a.一b.二c.三d.四【解析】选c.向量ba对应的复数为-2-i，所以向量ba对应的复数在第三象限.3.(2014西宁高二检测)在平行四边形abcd中，对角线ac与bd相交于点o，若向量oa，ob对应的复数分别是3+i，-1+3i，则cd对应的复数是()a.2+4ib.-2+4ic.-4+2id.4-2i【解析】选d.依题意有cd=ba=oa-ob，而(3+i)-(-1+3i)=4-2i，即cd对应的复数为4-2i.【变式训练】在复平面内，向量ab对应的复数是2+i，向量cb对应的复数是-1-3i，则向量ca对应的复数为()a.1-2ib.-1+2ic.3+4id.-3-4i【解析】选d.向量ab对应的复数是2+i，则ba对应的复数为-2-i，因为ca=cb+ba.所以ca对应的复数为(-1-3i)+(-2-i)=-3-4i.4.(2014广州高二检测)已知复数z对应的向量如图所示，则复数z+1所对应的向量正确的是()【解析】选a.由图可知z=-2+i，所以z+1=-1+i，则复数z+1所对应的向量的坐标为(-1，1).故a正确.5.复数z1=1+icos，z2=sin-i，则|z1-z2|的最大值为()a.3-22b.2-1c.3+22d.2+1【解析】选d.|z1-z2|=|(1+icos)-(sin-i)|=(1-sin)2+(1+cos)2=3-2(sin-cos)=3-22sin-43+22=2+1.6.(2014丽江高二检测)a，b分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，o是原点，若|z1+z2|=|z1-z2|，则三角形aob一定是()a.等腰三角形b.直角三角形c.等边三角形d.等腰直角三角形【解析】选b.根据复数加(减)法的几何意义，知以oa，ob为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形oab为直角三角形.二、填空题(每小题4分，共12分)7.若复数z满足z=|z|-3-4i，则z=_.【解析】设复数z=a+bi(a，br)，则a=a2+b2-3,b=-4,所以a=76,b=-4,所以z=76-4i.答案：76-4i8.(2014成都高二检测)已知|z|=3，且z+3i是纯虚数，则z=_.【解析】设z=a+bi(a，br)，因为|z|=3，所以a2+b2=9.又w=z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数，所以a=0,b+30,即a=0,b-3.又a2+b2=9，所以a=0，b=3，所以z=3i.答案：3i9.(2014重庆高二检测)已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x，yr)，z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x，yr).设z=z1-z2，且z=13-2i，则z1=_，z2=_.【解析】z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-(4y-2x)-(5x+3y)i=(5x-3y)+(x+4y)i，又z=13-2i，故5x-3y=13,x+4y=-2,解得x=2,y=-1.于是，z1=(32-1)+(-1-42)i=5-9i，z2=(-4-22)-(52-31)i=-8-7i.答案：5-9i-8-7i三、解答题(每小题10分，共20分)10.设mr，复数z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i).(1)若z为实数，求m的值.(2)若z为纯虚数，求m的值.【解题指南】根据复数z为实数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的m值.利用概念解题时，要看准实部与虚部.【解析】z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)若z为实数，则m2-3m+2=0，所以m=1或2.(2)若z为纯虚数，则2m2-3m-2=0,m2-3m+20,解得m=-12.【变式训练】实数k为何值时，复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)满足下列条件，(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.【解析】(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)当k2-5k-6=0，即k=6或k=-1时，该复数为实数.(2)当k2-5k-60，即k6且k-1时，该复数为虚数.(3)当k2-5k-60,k2-3k-4=0,即k=4时，该复数为纯虚数.11.(2014太原高二检测)已知：复平面上的四个点a，b，c，d构成平行四边形，顶点a，b，c对应复数-5-2i，-4+5i，2，求点d对应的复数.【解析】因为ba=cd，所以za-zb=zd-zc，所以zd=za-zb+zc=(-5-2i)-(-4+5i)+2=1-7i.即点d对应的复数为1-7i.用相同的方法可求得另两种情况下点d对应的复数z.图中点d对应的复数为3+7i，图中点d对应的复数为-11+3i.故点d对应的复数为1-7i或3+7i或-11+3i.【误区警示】四个点a，b，c，d构成平行四边形，并不仅有abcd一种情况，应该还有abdc和acbd两种情况.【变式训练】已知平行四边形abcd中，ab与ac对应的复数分别是3+2i与1+4i，两对角线ac与bd相交于o点.(1)求ad对应的复数.(2)求db对应的复数.(3)求aob的面积.【解析】(1)由于四边形abcd是平行四边形，所以ac=ab+ad，于是ad=ac-ab，而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i，即ad对应的复数是-2+2i.(2)由于db=ab-ad，而(3+2i)-(-2+2i)=5，即db对应的复数是5.(3)由于oa=12ca=-12ac=-12,-2，ob=12db=52,0.即oa=-12,-2，ob=52,0，于是oaob=-54，而|oa|=172，|ob|=52，所以17252cosaob=-54，因此cosaob=-1717，故sinaob=41717，故saob=12|oa|ob|sinaob=121725241717=52.即aob的面积为52.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014福州高二检测)已知复数z1=a2-2-3ai，z2=a+a2+2i，若z1+z2是纯虚数，那么实数a的值为()a.1b.2c.-2d.-2或1【解析】选c.由z1+z2=a2-2+a+a2-3a+2i是纯虚数，得a2-2+a=0,a2-3a+20a=-2.2.(2014南昌高二检测)如图，设向量op，pq，oq所对应的复数为z1，z2，z3，那么()a.z1-z2-z3=0b.z1+z2+z3=0c.z2-z1-z3=0d.z1+z2-z3=0【解题指南】利用向量三角形法则，判断复数间的关系.【解析】选d.由复数的向量意义及几何意义可得z1+z2=op+pq=oq=z3.3.已知z1，z2c，|z1+z2|=22，|z1|=2，|z2|=2，则|z1-z2|为()a.1b.12c.2d.22【解析】选d.由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1-z2|=22.【变式训练】若|z1|=|z2|=1，且|z1+z2|=2，求|z1-z2|.【解析】|z1+z2|和|z1-z2|是以oz1和oz2为两邻边的平行四边形的两条对角线的长.如图所示，由|z1|=|z2|=1，|z1+z2|=2，知四边形为正方形，所以另一条对角线的长|z1-z2|=2.【拓展延伸】复数运算几何意义的应用(1)已知复数z1，z2，z1+z2在复平面内分别对应点a，b，c，o为原点，且|z1+z2|=|z1-z2|，把关系式|z1+z2|=|z1-z2|给予几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形oacb为矩形.(2)因为z1，z2，z1-z2(或z1+z2)构成了三角形的三边(z1，z2，o三点不共线)，所以可用解三角形来处理边与角的问题.4.(2014沈阳高二检测)复数2+i与复数310-110i在复平面上的对应点分别是a，b，则aob等于()a.6b.4c.3d.2【解析】选b.因为点a，b对应的复数分别是2+i与复数310-110i，所以a(2，1)，b310,-110，所以tanxoa=12，tanxob=13，所以tanboa=tan(xoa+xob)=12+131-1213=1，则boa=4.二、填空题(每小题5分，共10分)5.在复平面内，o是原点，oa，oc，ab表示的复数分别为-2+i，3+2i，1+5i，那么bc表示的复数为_.【解题指南】用向量oa，oc，ab表示出向量bc，再利用向量与复数的对应进行运算.【解析】由bc=ac-ab=oc-oa-ab=3+2i-(-2+i)-(1+5i)=4-4i.答案：4-4i6.(2014启东高二检测)设f(z)=z-3i+|z|，若z1=-2+4i，z2=5-i，则f(z1+z2)=_.【解析】因为z1=-2+4i，z2=5-i，所以z1+z2=(-2+4i)+(5-i)=3+3i.于是f(z1+z2)=f(3+3i)=(3+3i)-3i+|3+3i|=3+32.答案：3+32【变式训练】设f(z)=z，z1=3+4i，z2=-2-i，则f(z1-z2)=()a.1-3ib.11i-2c.i-2d.5+5i【解析】选d.因为z1-z2=(3+4i)-(-2-i)=5+5i，又f(z)=z，所以f(z1-z2)=f(5+5i)=5+5i.三、解答题(每小题12分，共24分)7.已知复数6+5i和-3+4i.(1)在复平面上作出与这两个复数对应的向量oa和ob.(2)写出向量ab和ba表示的复数.【解析】(1)在复平面上作出与这两个复数对应的向量oa和ob，如图：(2)ab=ob-oa=-3+4i-(6+5i)=-9-i.ba=oa-ob=6+5i-(-3+4i)=9+i.8.(2014杭州高二检测)已知|z|=2，求|z+1+3i|的最大值和最小值.【解题指南】先思考|z|=2与|z+1+3i|的几何意义，再利用几何图形求|z+1+3i|的最大值和最小值.【解析】设z=x+yi(x，yr)，则由|z|=2知x2+y2=4，故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，又|z+1+3i|表示点(x，y)到点(-1，-3)的距离.又因为点(-1，-3)在圆x2+y2=4上，所以圆上的点到点(-1，-3)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z+1+3i|的最大值和最小值分别为4和0.【拓展延伸】数形结合求解复数问题因为复数拥有实部与虚部“两条腿”，进而与复平面上的点建立了一一对应，又与以原