拓扑优化和有限元方法.doc

使用拓扑优化和有限元方法设计优化多孔材料结构的刚度及渗透率James Kevin Guest摘要：拓扑优化是寻找工程设计问题最优解的一种工具。 这些最优解满足性能指标的同时，也可以最小化成本、重量或选择反应，从而可能提供了巨大的利益。拓扑优化方法已被用来确定分布在梁上的材料及机制，并设计周期材料的微观结构，例如，弹性极限的性质。这项工作的目标是扩展拓扑优化设计周期从而最大化材料的刚度和渗透率。为了实现这一点，该方法提出了规避数值不稳定性、刚度和流体运输困难的优化。特别是，网格依赖性和棋盘的刚度问题是克服对结构施加最小长度范围内的部分。拟议的方法实现了节点设计变量，通过正规化海维塞功能投射元空间。这种技术是产量的近0-1所示(固)解决方案，满足尺度标准。这种方法还联合建立了数值均匀化方法设计一个长度尺度材料极弹性性能。最大流体输送问题，一个新的达西-斯托克斯有限元的固-液界面的二值运动边界无滑移条件正规化。元的规模，以便通过空隙和固体流体流动是受Stokes流和达西渗流，分别。 在低渗透材料时，是使用技术，成功地模拟了无滑移条件，创造了近0-1的最优拓扑。 这也适用于周期性材料设计，在均匀化理论的数值实现。与数值困难克服和液体的逆均化配方开发,模块组合设计一个多功能材料优化的有效刚度和渗透率。这些属性是相互竞争的,因此最终的设计依赖于设计师的相对重要性分配各自的目标函数。设计师选择这些值根据材料的用途,从而调整微观结构的具体应用。目录1.介绍拓扑优化 12.最低合规问题和数值并发症 72.1最低合规问题72.2并发症:整数规划问题102.3并发症:病态问题132.3.1缓和152.3.2限制162.4并发症:非凸问题213.最小的凸配方和算法合规问题233.1一个凸配方243.2恢复体积分数的上界273.3找到最佳的体积分数3.4解决方案通过一个内点算法293.5消除中间体积分数323.6消除棋盘模式353.7算法的总结363.8结果373.9结论424.控制长度尺度INTOPOLOGY优化434.1实施最小长度范围内434.1.1识别节点454.1.2线性投影函数464.1.3解决最低合规问题节点设计变量484.1.4线性投影函数的结果524.1.5获得0 - 1的解决方案以非线性投影函数564.1.6非线性投影函数的结果604.1.7指出基于节点的算法644.2实施规模最大长度674.2.1最大长度规模制定674.2.2最大长度范围内罚函数704.2.3 .解决最低合规问题最小和最大长度尺度标准724.2.4最大长度尺度的结果735.年拓扑优化的流体流动785.1斯托克斯流优化问题795.2离散优化设计问题815.3达西流模拟无滑动条件正则化855.4无滑动的条件收敛885.5解决92年放松的优化问题5.6结果966.设计最优的周期性结构材料1046.1设计的周期材料最大化有效渗透率1076.1.1均匀化的斯托克斯流6.1.2表示1136.1.3有限元表示1136.1.4优化问题制定1146.1.5优化算法1156.1.6实现问题1186.1.7二维各向同性最大化渗透设计1206.1.8三维各向同性最大化渗透设计1246.1.9结论1286.2设计的130年周期最大化有效刚度的材料6.2.1弹性均匀化方程6.2.2设计规定的材料弹性性质:问题公式化 1336.2.3实施周期性材料设计最小长度范围内1356.2.4设计材料与极端的弹性:问题公式化 1376.2.5优化算法 1456.2.6实现问题1476.2.7设计极端的二维弹性性能的材料1496.2.8设计材料与极端的3 d弹性属性 1526.2.9结论1576.3定期多功能材料设计:优化都有效渗透率和有效刚度1586.3.1提出的多目标问题公式化1596.3.2优化算法1606.3.3这时实现问题1636.3.4得到设计三维周期性材料最大化有效刚度和渗透率1656.3.5结论1687.结束语 171参考文献176作者鸣谢首先，我感谢我的导师教授JeanH。Prvost，他激发了我在计算方法方面的兴趣。在这工作他提供了指导和宝贵的见解，并显示了作为一个讲师和一个老师的宝贵品质。我感谢乔治教授对本文的第二个读者服务坐在我的委员会与教授Ilhan阿克塞和罗伯特范德贝，所有的人在这工作提供了有见地的建议。我还要感谢教授 西北大学的泰德Belytschko他的建议对我们的技术为了实现最小长度尺度。本研究支持部分由NASA大学研究、工程和生物材料技术研究所(BIMat)奖号NCC-1-02037 和美国国家科学基金会奖号CMS-9988788，CTS-0003882，CMS-0075998与项目总监Jorn Basse，Mikail赖尔德石油，和Clifford阿斯蒂尔，分别。 这种支持感谢。我的朋友，帮助我在一种或另一种方式生产，本文中特别是迈克Tantala，尼玛拉赫巴尔，鲍威尔Draper肖恩伍德拉夫，麦克娜玛菈：谢谢你让我在这里的时间在普林斯顿愉快！我的家人，我非常感谢你的鼓励和支持。最后， 我的妻子乔安娜，言语无法表达我的感激之情，谢谢您的耐心，爱，和支持没有你我不会完成这项工作。1、介绍拓扑优化有效地利用材料是所有工程领域感兴趣的一个话题。大多数设计师的目标是实现工程性能规范的解决方案,减少成本,减少体重,和/或最小化或最大化选择反应。实现这些目标的好处可以影响深远的和实质性的。一个工具,可以帮助设计师在追求这些目标的结构优化。工程师们传统上依赖于直觉和经验在发展中设计新问题。结构优化,另一方面,是一个数学规划技术优化现有材料的布局,甚至优化材料微观结构本身,裁剪它根据其未来使用。有三个主要类别的结构优化方法:尺寸优化、形状优化和拓扑优化。在分级优化问题,建立了设计领域,固定和目标是确定最优的大小或厚度成员组成域。例如,找到最优的横截面积桁架成员或一盘的厚度板在每一个位置。形状优化问题的目标是确定最优形状的领域,该领域是设计变量。形状优化,例如,可以用来改变所需的孔的形状,以避免应力集中在给定负载(西格蒙德2000)。图1.1和图1.1 b演示在简支结构,大小和形状优化的目标是最大化刚度对于一个给定的重量。图1.1示例(a)尺寸优化，(b)形状优化，和(c)拓扑优化。大小和形状优化需要的拓扑,或特性,事先已知的领域。的数量和连接图1.1中的桁架元素保持不变,而孔的数量保持不变在图1.1 b。另一方面,拓扑优化设计功能域内,包括孔的数量和位置和连接材料。图1.1度说明了这一观点。因此被认为是最通用的技术,材料可以自由放置(主题设计约束)整个设计领域。立足于桁架设计可以追溯到20世纪早期(1904年米歇尔), 拓扑优化经历了一个从第一个数值实现后重燃兴趣,因为第一个连续介质材料分布的数值实现方法由Bendse和Kikuchi (1988)提出。使用有限元素和均质材料组成的固体和空洞,Bendse和Kikuchi开发出一种技术来确定材料的最优分布在设计领域中的元素。Bendse人工材料(1989)提出了一个方法提供了一个使用均质材料在每个元素的替代品。这种方法提供了一种手段来确定是否每个元素是固体还是一片空白,连通性的固体元素定义拓扑。这些方法已经被应用到许多设计问题包括(但不限于)框架支撑的设计(Mijar et al . 1998),隧道支持(Yin and Yang 2000),生物力学植入(Folgado和Rodrigues 1997)兼容的机制(如。、Ananthasuresh et al . 1994年)和结构进行局部应力约束(如,Duysinx Bendse 1998)和屈曲约束(如, Neves等。1995)。它也被用于设计最佳的结构振动响应(e.g., Daz and Kikuchi 1992,Tcherniak 2002),改善汽车防撞性(e.g., Mayer et al. 1996, Pedersen 2004),和优化结构支撑位置(Buhl 2002)。读者可参考Bendse和Sigmund (2003),在其中引用的调查应用程序。宏观设计问题和上面给出的例子一样,寻求利用给定的拓扑材料最有效的利用。因此, 材料的选择,在设计过程中是关键的第一步。技术也存在同时选择最优材料和截面形状,例如,在地板托梁的设计,木材和钢材的候选人材料(韦弗和阿什比1996)。这些技术,然而,仍局限于现有的材料。像上面例子的宏观设计问题，寻求拓扑最有效的利用给定的材料。 材料的选择，因此，关键的第一在设计过程中的步骤。 同时选择最优的技术也同样存在材料和截面形状，例如，在地面搁栅的设计木材钢铁材料(Weaver and Ashby 1996)。但是，这些技术在现有的材料仍然有限。或者,可以使用拓扑优化设计材料微观结构、裁剪材料来实现所需的或极端的属性。基本理念材料可以被看作是一个小组织结构,允许应用拓扑优化方法为宏观开发设计问题。均匀化理论的发展,有效的(平均)周期性材料的属性可以通过分析预测一个基本单元,材料的最小重复单元。这些技术消除需要分析周期性的散装材料,一个巨大的和潜在的不可行的计算任务。拓扑优化问题因此减少设计的基本细胞周期材料。基本单元作为设计领域,目标是分发材料在规定的领域,或极端有效的属性实现。这种所谓的“逆均化”问题首先被Sigmund (1994、1994 b、1994) 解决了,去设计满足规定的最低重量拓扑弹性性质包括负泊松比。Sigmund (1994 b)被雇佣使用这种方法设计最低重量材料,满足规定的热弹性属性。这些作品被扩展到设计与极端的弹性材料或热膨胀特性(Sigmund and Torquato 1997)。拓扑优化也用于设计压电复合材料(Sigmund et al. 1998)和带隙材料(Sigmund and Jensen 2003)。拓扑优化的两个区域保持相对未知的多孔结构的设计,最大化流体运输和多功能材料的设计。作者的知识,还没有应用于设计材料结构拓扑优化与最大渗透率。至于多功能材料,上述工作都集中在优化一个属性,往往同时需要一个下界房地产竞争。例如, Sigmund and Torquato (1997)最小化各向同性应变系数而实施的有效体积弹性模量的下限。最近才尝试是一个多目标问题: Torquato et al. (2002、2003)复合材料用于最大化同时传输电力和热力,属性,都是由标量方程。两个地区保持相对未知的拓扑优化设计 多孔结构，最大限度地提高流体输送和多功能的设计材料。 这位作者的知识，尚未应用拓扑优化 最大渗透的材料结构设计。至于多功能材料， 上述工作都集中在优化单个属性，而经常需要竞争属性上下限。 例如，西格蒙德和托尔夸托 (1997)各向同性应变系数，同时强制实施最小化一个下界有效体积模量。 只有最近被尝试的多目标问题： 托尔夸托等。 (2002、2003)使用复合材料同时最大化热和电的运输，都是由标量方程支配的属性。本文的目标是开发一种多功能材料优化的方法。特别设计的最大有效刚度和渗透的材料。这两个属性之间的竞争，刚度欲望大量的固体，而渗透的欲望拓扑中的大洞。最终的设计是那么依赖的重量，或重要性，由设计师在目标函数中的刚度和运输条件的分配。设计师选择基于材料将来使用这些值，从而使组织能够定制根据具体应用。实现这些目标所需完成四项主要目标，确定为如下：消除数值不稳定性(网格依赖性和棋盘)在发展中国家的最大刚度拓扑优化问题的方法实现最小长度尺度构件设计中。最大流体输送问题，开发一个技术坚持条件，以便不断逼近的数学编程技术，可以用来求解Stokes流的拓扑优化问题。建立数值实现流体渗透的均匀化理论，制定和解决同质化反问题的周期结构的有效渗透率最大化。本文的布局如下。 2章介绍了刚度最大(最低)的拓扑优化问题，并探讨了相关的困难和数值不稳定性。3章提出了凸制定最低法规遵从性问题和算法，可以避免原问题的非凸，并允许使用强大的凸优化技术。实施一个最小长度对结构构件，以消除传统的数值不稳定性的新方法是在4章介绍。技术提出了实施规模最大长度。 5章介绍了拓扑优化方法在Stokes流的流体。特别是，达西流的正则化建议使用达西-斯托克斯结合有限元近似条件。在三章6节讨论了设计周期的材料。 第一部分包括一个数值实现流体渗透的均匀化理论以及提出和解决的最大渗透材料的逆同质化问题。第二部分提出并解决了建立弹性反同质化问题，在最后一节之际提出了一个公式，解决了拓扑优化问题与优化stiffness2的多功能材料2. 最低合规问题和数值的并发症拓扑优化的目标是确定材料的布局或结构，最大化目标函数在给定域的一组给定载荷和边界条件和有限体积的材料。为了探讨在解决这类问题时，遇到许多困难，让我们介绍的最小法规遵从性(最大刚度)问题，最简单的设计问题研究。2.1最小法规遵从性问题最低限度标准法规遵从性问题的目的是找到域中的材料体积V布局，尽量减少法规遵从性的一组给定载荷和边界条件。例如，图2.1显示了域、加载和古典轮的边界条件问题，把这里视为无量纲。布局在内的材料是由物质分布函数表示，设计变量优化问题： （2.1）也就是当(x) = 1时，材料出现；取0则相反忽视内在强加因素，屈服的定义是： （2.2）图2.1最低法规遵从性问题其中t是边界t应用的牵引和u都是位移和状态变量的优化问题。在其弱形式作为弹性体的均衡约束的表达式： （2.3）当被线性化(),U被设定为运动学上可调整的位移，v是因变化而产生的位移，弹性张量在位置x与材料的弹性张量特征关系如下： (2.4)最小屈服问题就是找到最优弹性张量，可以表示为 (2.5)解决问题(2.5),离散域使用有限元素,用于定义相同的网格拓扑和位移。材料分布函数变成常数在每个元素的域,因此每个元素被认为是固体元素(材料)或一个空元素(没有物质)。元素体积分数,或相对密度,e被定义为 (2.6)每个元素的整合后,更加靠近制定最小值求解屈服问题： （2.7）f是节点的负载,d是未知的节点位移, ve 是e的体积元素，K(e)是球形成的刚度矩阵组装(A)元素刚度矩阵 （2.8）Where （2.9）时，是一个坚实的单元刚度矩阵元素。注意,在公式(2.7)的空虚的元素体积分数e现在是,体积分数的最低允许的元素。这将是一个小的正数,例如打出,确保球刚度矩阵的非奇异性。最后,我们注意到,节点负载向量f由节点负载和应用加载产生的非零位移规定以通常的方式: （2.10）p在应用节点负载和通用电气的位移边界条件规定元素e。这表明,f是更适当的指示为f(e)。然而,最低合规问题涉及传统上规定的位移等于零,因此节点拓扑的力量不是一个功能。我们将这一假设的一致性和简单使用f表示节点负载,直到它不再是合适的。2.2并发症：整数规划问题制定给出问题(2.7)使用离散值函数E定义的拓扑结构，并且需要使用离散优化算法。整数规划的分枝定界等技术，但是，通常计算望而却步，尤其是像那些结构优化的大规模问题。为了规避这一问题的最常用的方法是放松的二元约束，允许元素体积分数达到中间值，如果值介于0和1。第一个数值实现Bendse和Kikuchi (1988)的上下文中均质材料，在某种意义上轻松物资配送问题是公认作为一种问题，类似于已知变量板厚的问题(Rossow and Taylor 1973)。虽然现在允许元素中间体积分数(0到1之间)应该被看作是人工，或虚构、材料，因为它们不进行实际物理意义他们不是固体或无效，而是介于两者之间。虽然这些元素的刚度性能理论上可以获得均匀化采用复合材料，这种解释介绍了一种不必要的复杂程度和第二，小尺度问题。因此，我们忽视这个解释，力求生产的拓扑由固体无效元素。 解决方案达到0-1，与中间体积分数的元素，常被认为是灰色地带元素，是惩罚在优化过程中限制他们在最终解决方案。惩罚中间体积分数最流行的技术是简单(固体各向同性材料与处罚)方法。提出Bendse(1989)，欢迎大家下载使用 设置单元刚度张量成正比 （2.11）倘若降低刚度与E元素1，使它们不经济的问题，物质的量是有限的(参见Zhou and Rozvany 1991, Mlejnek 1992)。简单已被广泛的测试(例如，Bendse 1989, Rozvany et al. 1994, Yang and Chuang 1994)并将其应用于大量的结构优化问题(见Bendse的一项调查，2003)。简单的方法的一个缺点是价值指数p(处罚程度)可以影响最终的解决方案。如果p的值太高，常收敛于局部极小值的方法。 这是由于原来的非凸优化问题，将在后面的小节中进一步讨论。该指数通常选择为3.0。最小法规遵从性问题是现在作为一个连续的制定问题中间体积分数的处罚： （2.12）Where （2.13）另一个较笨的方法是灰色元素的直接处罚。的目标函数(2.12)与术语S1(e ),在S1(e )中间体积分数罚函数和是重量分配给这个点球。Allaire和Kohn (1993)提出了罚函数形式 （2.14）而Haber et al .(1996)提出的 （2.15）where . 尽管这些罚函数功能的成功报道，但在各自的作品，他们已发现一般的非凸和难以实施。此外，像简单的方法，解决方案将取决于选定的处罚程度。据悉，几个备选方案求解原始二进制文件存在问题制订不放松。模拟退火和遗传算法已经被使用，但通常太繁琐，对于大规模问题。其他可能性包括泡方法和进化方法，经常操作通过添加和移除元素和有限元模型。读者可参考Eschenauer and Olhoff (2001)这些方法的调查。2.3并发症：病态问题它是建立所提供的二进制最低遵守问题(2.5)普遍缺乏解决方案(Tartar 1977, Lurie et al. 1982, Kohn and Strang 1986)。 对固体材料的连接没有限制，问题不在适定的。例如，通过引入多孔材料常数的拓扑结构在保持总量的刚度最大问题的解决方案可以不断改进。这会导致抖振设计的微观孔的数量变得无限(Haber et al. 1996)。 不存在解决方案是反映在表单中的数值不稳定性的离散化版本。虽然离散化问题已解决方案由于有限数目的元素，解决方案是影响网格的密度。作为网格细化，小孔可以引入拓扑结构和成员可以变得更薄。另一个常见的问题是交替固体无效的最终解决方案中的元素组成的地区发生。这些地区，称为棋盘和图2.2所示，不是最佳的，而是一个可怜的副产品棋盘刚度低阶有限元数值模拟(Diaz and Sigmund 1995, Jog and Haber 1996)。防止棋盘模式上存在大量的文献离散优化问题。棋盘可以删除通过平滑和滤波器(e.g., Sigmund 1994, Bourdin 2001)抑制或采用高阶有限单元(Diaz and Sigmund 1995, Jog and Haber 1996)，不合格的有限元素图2.2示例拓扑优化中的棋盘。 (Jang et al. 2003)，或其他约束(Poulsen 2002)。这些技术不匹配更严重的潜在问题解的不存在性，因此不会进一步讨论。鉴于0-1制定的最低法规遵从性问题是不适定的，必须修改，使它具有解决问题。这可以通过 放松或设计空间的限制。2.3.1释放正如前面讨论的，Bendse和Kikuchi (1988)提出放宽二元约束，提供材料分布函数，得到0和1之间的值。这因此加大设计方案集(如果中间体积分数不受惩罚)保证解的存在性。中等密度值通常更有效，因为他们现在是可行的，不会出现抖动设计。图2.3显示了独特的解决方案轻松制定轮问题(没有处罚)。解决方案不改变网格的细化，是免费的棋盘。图2.3独特的解决方案轻松最低合规性问题。虽然放松可以帮助我们实现独特的解决方案，它是不是特别有用的设计工具。很难制造设计图2.3中所载的，因为它包含大量的人工材料，或灰色的区域。正如前面讨论的，这些设计可能从理论上得到但0-1拓扑是首选。因此，惩罚(简单)将被用来防止中间体积分数出现在解决方案。虽然二元约束放松在不断的优化算法允许使用数学编程技术，处罚0-1的解决方案，所以设计方案集已经没有真正的放松和独特的解决方案是不能保证。2.3.2 限制把问题重新定义的第二个办法是限制的设计空间，以便该解决方案获得的某些属性。这种方法的建议包括对结构材料的总周长的约束和结构材料的最小长度规模的约束。外围环境约束外围环境约束地方绑定上的总周长 P 或总变异的设计，其中外围定义为结构材料的边界的长度 （或区域）。这包括结构体的外边缘和在体内，包括任何孔的周长和被定义为 （2.16）总变异上放置一个上限限制可以引入到设计的孔的数量： 单圈不可以拆分成两个小的圆形的等效面积而不增加总周长。Ambrosio and Buttazzo (1993) 证明外围约束的连续体优化问题是适，保证固体空间解的存在性。周长拓扑优化首先是数值由Haber et al .(1996)和实现可以表示为离散配方 （2.17）K是接口的数量,lk是k接口的长度, 是k元素在界面的体积分数,是一个小的正数为周边的可微性。虽然它已被证明产量网独立解决方案，外围环境约束的是全球的约束，而且因此不能防止局部减薄。方格图案和极薄结构成员被允许提供在整个域的总变化被允许的限度内。此外，它往往很难确定适当的上限带来新的问题。出于这些原因，外围控制优化将不进一步讨论在这里。读者称为 Haber et al.(1996 年)、 Duysinx (1997 年)、 Petersson (1999 年)、Fernandes et al.(1999 年)，和Fujii and Kikuchi（2000 年） 的执行情况和替代配方的外围环境约束的其他详细信息。最小长度规模空间设计或者可以在最终拓扑结构成员上所施加的最小长度规模 (或宽度) 限制。这将生成网格独立和棋盘自由拓扑结构比物理长度规模较小的本地功能都被禁止。控制的最小长度规模已允许制造加工约束，以在设计过程中考虑考虑的额外的好处。最常用的方法为在时间控制到此点的最小长度已由 Sigmund（1994年、 1997年、 2001 年) 的启发式网格开发了独立的过滤。筛选器替换的元素内的元素 e 的距离rmin 应变能量敏感性加权平均应变能量灵敏度 (导数) 的每个元素 e。权重函数是线性和基于接近度，与最接近的元素接收的最大权重的敏感性。距离rmin 是是代表在最终解决方案中的结构构件的最小半径的物理长度。因此，它不会更改与网格细化，导致网独立特性的筛选器。Sigmund 的敏感性筛选器已被证明的生产网独立，checkerboardfree 解决方案，但它还产生的人工材料在最终的设计中的区域。图 2.4 所示，从固体要作废 (1 到 0) 转换发生在几个元素的其中一些元素必须被看作是固体的最小成员大小约束必须信纳。在某些情况下，整个结构的成员是图 2.4 包含中间卷分数轮问题的解决办法。使用由Sigmund生产的筛选器(rmin = 1.5 p = 3) 其中的黑色栏表示距离 2 rmin。人工材料的组成。例如，图 2.5 显示拱问题的解决办法的垂直的成员连接到 road 拱在哪里杜撰的元素中间卷的分数。虽然 Sigmund 的筛选器很容易实现，用于解决许多不同的拓扑优化问题，它依赖于虚构的材料，以达到最小长度规模是一个明显的限制图 2.5 包含定义的中间卷分数成员拱问题的解决办法。使用Sigmund生产的筛选器(rmin = 1.5 p = 3) 其中的黑色栏表示距离 2 rmin。A second technique for imposing minimum length scale is the local gradient constraint (or slope constraint). Proposed by Petersson and Sigmund (1998), the local gradient constraint limits the variation in e between adjacent elements by adding the following constraints to the discretized topology optimization problem:第二种方法施加的最小长度规模是当地梯度约束 （或边坡约束）。由 Petersson 和 Sigmund （1998 年） 提出，当地梯度约束限制e 通过将下面的约束添加到离散的拓扑优化问题的相邻元素之间的差异： (2.18)在元素 e 和 k 是相邻、 h 是的网格大小，和 c 是边坡参数，通常选择条件。使用这种技术一般匹配获得 Sigmund 的敏感性筛选器 （Petersson 和 Sigmund （1998 年） 使用时的解生产解决方案。本地梯度约束，需要将大量的 (线性) 约束添加到的优化问题。Zhou et al.(2001) 建议替换所要避免的需要附加约束的边坡约束控制自适应下限为体积分数通常下限。然而，局部梯度法的真正缺点是它明确地要求人工材料在最终的设计。最近，Poulsen （2003 年） 提出侵犯通过传递 looking glass 的检测到的最小长度规模单个约束设计域。该方法似乎有一些方向性的依赖，并且已生成光滑边界曲线的困难。这些技术未能充分施加的最小长度规模是第 4 章中工作的动机。第 4 章中被采用使用节点卷分数作为设计变量而不是元素组分含量的方法。这些节点的值然后投射元素邮编来确定熟悉面向卷分数e是用来定义拓扑结构的影响。因此，元素卷分数成为节点卷分数的函数。这个简单的变化，加上适当的投影功能似乎产量接近于 0-1 的解决方案的网独立、 棋盘免费，和最小长度规模符合标准。没有附加约束、 罚函数或筛选器中实现这些好处。2.4并发症： 非凸问题最小化合规问题是凸，使得它很难找到全球最佳的解决方案。开始猜测往往不同的参数或优化方法可以导致不同 最佳 解决方案。必须指出的是这些解决方案通常代表局部最小，但并不总是代表全球最低。最小化合规问题结果从平衡约束非凸属性。卷分数和位移作为变量，平衡约束是双线性约束的混合的第二个衍生工具均非零的意思。这就产生了一个不是积极的粗麻布矩阵半正定和因此指的问题是凸。经验表明延续方法是解决在结构优化中的非凸问题的最佳方法。这些方法利用全球信息，因而更有可能收敛到更好的设计 (Sigmund 和 Petersson 1998)。原来的问题是对凸 （或拟凸） 的制定、 修改，然后逐渐返回到其原始的、 非凸的窗体。利用中间卷分数惩罚的问题，继续方法入手很少或没有处罚上的中间值和慢慢增加罚款参数接近 0 1 解决方案 （例如，Allaire 和 Kohn 1993、Allaire和 Francfort 1993、 Petersson 和 Sigmund 1998、Guedes and Taylor 1997年）。关于限制配方，技术涉及人为的高值为半径的敏感性筛选器或允许外围约束的开始并逐步减少其规模到所需的值随着算法聚合 （Bendse 和 Sigmund 2003、 Sigmund 1997、Sigmund和 Torquato 1997）。第 3 章载凸，连续制定最低法规遵从性问题和算法的推导为解决问题和实现附近的 0-1 的解决办法。虽然该算法显示了成功的迹象，它不是足够强劲，从而间接地支持继续方法可能是解决这一非凸问题的最佳办法的想法。3.最小的凸配方和算法合规问题最小化合规问题传统解决使用最优性的标准方法。这些方法提供了启发式、 迭代的方法解决第一阶条件的最优性。当应用在连续体设计的上下文中，最优性条件方法仅限于解决的特点是带有单个约束的材料资源 （Diaz和 Bendse 1992、 Mlejnek 和Schirrmacher 1993年） 能源目标函数的问题。有关中设计问题的最优性条件方法的示例，读者参考 Olhoff （1970 年）、Taylor和 Rossow (1977 年)，和 Bendse 和Kikuchi (1988 年)。更多最近Yin and Yang（2001 年） 为处理多个约束，但每种类型的约束提议报读似乎需要不同类型的更新计划为设计变量。这使得该最优性条件方法不切实际解决新的、 更复杂的拓扑优化问题。因此，可用于检查备用最低法规遵从性问题的等效配方促进执行更一般的数学编程技术。在这一章，凸制订的连续体问题被开发，它允许内点方法的使用。这些方法解决第一顺序的最优性条件由牛顿的方法，是众所周知的凸二次规划的效率很高的3.1 凸的制定正如第 2 章中讨论，最小化合规问题是凸，使寻找全局最优解非常困难。然而，问题是经过仔细研究，并开发了几个等效配方，特别为桁架优化问题 （请参见调查 Bendse et al.1994年）。我们使用凸、 位移仅制定所示必须等价由 Achtziger et al.(1992 年)。虽然最初派生的桁架问题，对制订的连续体问题中使用可以进行修改。最小势能原理使原文的平衡约束问题(2.12)是表示目标函数,产生众所周知max-min制定最低屈服问题: (3.1) (3.2) 利用Mini-Max定理和重组条款后,可以说明这个问题 (3.2)de是元素的位移矢量e和应变能，问题(3.1)已经被基本应变能量的总和所取代。为了继续向位移仅制定上限上卷分数必须放松和设计变量允许采取上大于 1 的值。虽然这是有效的桁架问题的桁架元素的截面积在哪里设计变量，将分配一个连续元素之上的体积分数没有物理意义。这项放宽将通过在 3.2 节中讨论了舍入计划，以确保是可行的原始设计问题的解决方案进行更正。轻松的问题现在类似于为建造的原始推导的桁架问题。 (V) 的所有可用材料放置在具有对容积率的最高能量的元素时发生内部最大化期限在目标函数的问题 （3.3） 的解决方案： (3.4)注意,数值实现需要一个很小的数量,以便孔隙体积约束影响可以忽略不计。否则,V在右边的表达式需要减少数量:*(- 1的元素数量) 。设计变量e已被排除,收益率无约束,不光滑优化问题: (3.5)这个位移公式凸,可以顺利通过引入状态变量()和表达的最大能量体积比作为一个约束: (3.6)Or as the linear problem (3.7)where is the state variable. (3.7) 的问题是没有中间卷惩罚轻松最小化合规问题凸、 位移仅制定。解决这一问题产生最优节点位移的集。由于最小势能替代 (3.1) 中的原则，存在一组元素卷分数将会得出这些位移在平衡为给定的负载 f。3.2 恢复卷积分数上限讨论如何确定元素体积分数之前,位移唯一必须修改制定正确的不可行e的价值观。回想一下,最大允许体积分数已经放松,允许值大于1。恢复上界,假设是由元素实现体积分数上面是固体元素最终拓扑。因此这些元素集的体积分数等于一,固定在未来的迭代。通过这样做,他们的设计变量,成为“给定”结构的一部分。域将由两组元素:B组被定义为“给定”结构,包含元素固定体积分数不再是设计变量,同时集R包含元素优化(给定结构的“强化”)。 (3.8)如果设计变量,和删除元素e组R和添加到组B和问题是解决了。注意,B组的基数不会减少在这组元素的体积分数是保持不变的。现在的总应变能表示为 (3.9)3.1节中给出相同的步骤后,凸配方显示如下 (3.10)虚拟现实在哪里可用“reduced”或“remaining”的材料,计算 (3.11)3.3 找到最佳卷分数求解位移唯一制定的 （3.10） 收益率最优节点位移。由于最低潜在替代，这些位移是在平衡为一个未知的元素卷分数集位移。这给我们留下了寻找系数的单元刚度矩阵 (卷分数e) 给予的负载和位移向量的陌生问题。 (3.12)或者，可以忽略 B 和 R 的两个元素集和问题 （3.12） 可以为所有元素卷分数得到解决。是固定的集 B 中所载的元素将被发现有卷分数后解决的问题之一。这种方法可能更简单，但将需要更多的设计变量和因此更多的计算工作。请注意e 的初始分布是不可行的因为问题 (3.12) 因此应使用方法，允许不可行，而不是更喜欢 （或要求） 可行性的内点方法在所有迭代。此外请注意，该卷约束不需要显式声明。在产生位移唯一制定，元素卷分数的总和是设置为等于可用材料 （Vin (3.7)、 VRin （3.10） 以确定上限到体积比能源的数量。因此，该解决方案将满足的容量约束。问题 (3.12) 是一个简单的线性编程问题，但有趣的是不需要加以解决。最佳卷分数其实可以从流离失所问题的最优性第一顺序条件中提取。这表现在下一节。3.4 解决方案通过内点算法为了展示到确定相应的最优节点位移的元素卷分数更有效的方法内, 点算法的主要步骤如下所示。读者可参考 Vanderbei 和 Shanno （1999 年） 和 Vanderbei （2001 年），在算法上的更多详细信息。问题(3.12)的约束转化为等式约束通过引入松弛变量。w表示,这些松弛变量测量的可行性,因此必须保持积极优化迭代。这是通过引入经典的Fiacco-McCormick障碍函数的目标函数(Fiacco and McCormick 1968)。现在修改的问题表示为 ( 3.13)松弛变量为体积比约束的应变能量元素e,w2的松弛变量非负约束,和障碍参数。这个问题的拉格朗日函数 (3.14)和y2的拉格朗日乘数基本应变能量体积比约束和非负约束,分别。给出了一阶最优性条件 (3.15)然后该非线性方程组解决使用牛顿法。关于结构方程(3.15)和实现牛顿法,读者参考Vanderbei和Shanno(1999)。一步调整大小由牛顿法计算使用马尔可夫过滤,以确保足够的减少不可行性和目标函数(Benson et al.2002)。正如前面提到的,该解决方案(3.10)产量最优位移和相应的元素体积分数可以通过求解一个简单的线性规划问题。然而,仔细看看一阶最优性条件实际上揭示了拉格朗日乘数与元素体积分数成正比。检查第一个条件方程(3.15): (3.16) ( )是通常的有限元装配基于位移方程的数字。方程(3.16)可以改写为 (3.17)where (3.18)只是平衡条件,用表示元素的体积分数。因此,解决一个额外的优化问题,而是未知元素体积分数可以简单地从聚合溶液中提取凸位移唯一的问题 (3.19)这简化了算法和导致节省大量的计算。3.5 消除中间卷分数凸的位移仅制定已为正在放宽的设计变量上的二进制约束的最小化合规问题。中间卷分数不受惩罚，所以解决方案将包含大量的人造材料。图 3.1 显示使用上文提出的算法的轮问题的解决方案。因为我们在一个适问题 （由于设计一套放松) 凸配方上运行，该解决方案是要保证全球最低。然而的原始设计上的问题，目标是实现固体 void 的最佳解决方案，以及人工材料因而必须劝阻出现在最终拓扑中。第 2 章中所述的惩罚技术不是适用于位移唯一制定的。卷分数是从优化问题通过 V 的置换入方程 （3.4） 中删除。这只是可能的如果宽松的体积分数 (i) 上限和 (ii) 相同的 coefficiente 用来确定元素中材料的数量和刚度的元素。罚款等功能将不会在假设下工作(i),和SIMP方法使用e计算元素数量和(e)p元素刚度矩阵的系数,从而矛盾的假设(ii)。而不是惩罚,中间体积分数是消除了通过一个简单的活跃排计划,迫使体积分数接近上限或下限。元素的体积分数大于排上限是圆形的和相关的元素移动到转炉元素集和固定体积分数。同样,体积分数小于排下限是圆形的。加快算法,这些元素也可以移动到B,成为固定的一个空白。如果选择此选项,问题的目标函数(3.10)必须被修改,以反映,集Bcontains空洞和固体: (3.20)舍入限制是动态的,具体的问题。如果算法变得“粘”,即集R的基数不变任何迭代后,舍入限制的放松。他们特定的问题,最初的舍入级限制和地役权是依赖的比例设计领域充满材料。小问题允许上下排限制材料V高于大诉舍入限制的问题通过以下表达式计算 (3.21)和是该图纸是最初的系数上、下舍入限制,分别是cu和cl的系数调整上、下舍入限制,分别与规范地役权在好听的大小调整( 1)。注意,每次调整地役权的程度下降。这项计划的主要缺点是舍入系数的幅度将会影响最终的拓扑结构。这不是不常见的问题，但是，作为惩罚的方法也可以产生不同的惩罚因素不同的解决方案。若要限制其影响的限制应逐步放宽和不应该太靠近推另一个。限制作为向上的最高元素和最低元素向下的舍入的机制和不应解释为绝对的阈值。因此，当限制成为密切的值 （例如，在内部 0.35) 他们固定的只有少量卷分数的舍入，与最高舍入最高和最低四舍五入。3.6 删除方格图案现在必须处理与离散化最小化合规问题相关联的数值不稳定。当前的算法可能会产生拓扑包含棋盘图案，如最小长度规模控制没有得到执行。要删除棋盘式并防止它们出现在最终解决方案中，元素卷分数是过滤，或平滑处理。该筛选器将相邻 e 加权平均替换元素卷分数。实现网格独立，物理长度 r，以确定相邻元素。以下筛选器 Sigmund 的元素敏感问题上，所有元素内的元素被过滤掉的距离 r，都列入加权平均。权重确定线性基于接近度，与给定的最高重量的筛选元素。Li et al.(2001) 还平滑元素卷分数直接，虽然拟议的筛选器是固定的大小和使用固定的权数系统。一旦确定了最佳元素卷分数，但在他们已四舍五入之前，将在每次迭代期间应用筛选。图 3.2 演示了筛选器，能够防止以其它方式发生的方格图案。图 3.2 轮与实施计划和 (a) 没有筛选器，应用与应用 (b) 棋盘筛选的舍入问题的解决办法。3.7 该算法的摘要该算法被如下所示：1.分配所有元素设置R(除非受过教育的初始猜测修复一些元素固体或无效,从而将元素组B)舍入上限U = 1.0,四舍五入下限。2.解决问题(3.20)通过内点算法来确定最优节点位移。提取元素集的体积分数R 从聚合内点算法的解决方案使用方程(3.19)。3.过滤元件体积分数4.分配元素设置B6.如果R是空的:(0 - 1的解决方案)。其他如果基数的R并不减少: (i)如果U= 1.0,四舍五入开始运行。使用初始极限公式计算U和L方程(3.21)。转到