【西安交通大学】【电磁场理论】【全泽松】【宋建平】第2章课件.ppt

第二章静电场 静电场满足 场量 0 磁场为零 电荷相对于观察者不动并有及分离面上的边界条件静电场满足 柏松方程的一个特解其中对于点电荷静电场中电位差对某点的电位必须要选参考点但注意也有例外 习题18求均匀电场E0的电位分布求空间任一点的电位 可选任一点作为坐标原点均匀电场电位不能选无穷远处为电位参考点 例如可选原点为电位参考点 导体边界条件用电位表示其中n为界面方向单位矢量 方向由导体指向介质 注意 整个导体为等电体 导体表面为等位面 导体内部电场为零 静电场唯一性定理 在区域V内自由电荷分布给定 V边界上电位或电位的法向导数给定 则V内电场唯一确定可以根据已知条件对问题提出尝试解 各种各样的求解方法 只要尝试解能满足边界条件 即能满足唯一性定理所要求的条件 则这个尝试解就是正确的解 习题19 求点偶极子的电位及电场解 空间任一点p的电位 习题20 有一长同轴电缆 内外半径分别为a b 导体间填充有介电常数 的电介质 两导体间加电压U 求场分布及单位长度电容 解 采用柱坐标中的拉斯方程 r z 积分两次得由边界条件确定c1和c2 在内导体表面上的电荷密度为 若用高斯定理也可以做 设内芯表面单位长度的电荷为q0 则长L段内 习题21 真空中有一段长为L的细致均匀电线其电荷密度为 求此带电直线的线平分面上任一点的电位及电场的分布 解 在柱坐标中 A点的电位 修正方法 电位参考点选不在无穷远处 而选择其它电位参考点 电位表达式加一任意常数c 通常很少有直接利用积分法求解的 按唯一性定理可用其它方法来解 如 分离变量法 镜像法 格林函数法 复变函数保角变换法等求解方法 分离变量法第一步求拉氏方程的通解第二步根据给定的边界条件确定所得通解中的特定系数 以求得给定问题的特解 关于边值条件 通常分三类 第一类边值条件 狄里赫利问题 给定整个边界面的电位第二类边值条件 纽曼问题 给定整个边界面电位的法向导数第三类边值条件 混合边界问题 边界上某些部分给定电位 其余部分给电位的法向导数 根据不同的边界形状 采用不同的坐标系直角坐标系 拉普拉斯方程为 设其解为 代入方程得 对任何x y z上式都要成立 即三项都必须等于常数 只要任意两个常数选定 则第三个常数就被确定 我们任意选为正数 于是得到三个微分方程的解为 注意到上式x y z的函数形式是可以互换的 例 若为虚数 则f x 的函数将是ch和sh 总之 三个乘积解中某个是双曲线函数 则其余二个必为三角函数 此外再考虑若均为零解则还有解的形式必须补充到通解中去 如果电位与某个坐标量 如z 无关 则拉普拉斯方程简化为 设要使上式对x y的一切值都成立 只要两端都等于常数 设此常数为 则通解为 有时也可用和来代替和上述的9个代定参数由边界条件来确定 习题22 一无限长的矩形金属管 在x 0的一侧电压为U0 在x a y 0 y b处均接地 求金属管内的电位分布 代入条件 3 得 利用正交性上式为U0的富里叶正弦级数 为确定系数Am 利用三角函数的正交性 两端同乘以 并从0到b对y积分 当然可以把n换成m代入式 5 于是得金属管内的电位分布为 习题23 有一很长的矩形金属管 在x 0的一侧保持 x a的一侧保持电位U0 y 0 y b的上 下底均接地 求管内电位分布 解 这是第三类边界条件 混合边值问题 但是方程的通解仍和上题一样 习题24 有两块一端弯成直角的导体相对放置中间留有一小缝 在x轴和z轴方向长度远大于两导体板间的距离b 上导体电位为U0 下导体板接地 求两板间电位分布 解在直角坐标中 电位与z无关 其解可写成 圆柱坐标系中拉氏方程的解 在圆柱坐标中 拉氏方程为 称n阶第一类Bessel函数 其中称阶乘函数 或伽马函数 或第二类欧拉函数 和直角坐标一样 考虑到设定的常数k n均为零 则特解蜕化为 球坐标拉氏方程分离变量法当对z轴对称时 拉氏方程的通解为 习题25 一半径为a的接地导体球 放置于均匀的外电场E0中 球外为真空 求空间任一点的电场分布 解 设极轴沿E0方向 电像法 电像法讨论电荷附近有导体或介质面的情况 用直接求解电位方法较困难 可用电像法来解 基本思想为 在所求电场区域的外部空间 假定有一镜象电荷存在 而镜像电荷在所求区域中上产生的电场与导体的感应电荷所产生的电场等效 并将所求电场区域的介质扩展到整个空间 即把分区均匀的介质看成全区均匀介质 而待求电场则由场源与其镜像电荷共同确定 也可看作用镜像电荷代替导体上感应电荷后仍满足给定的边界条件不变 而且不改变所求电场区域的场方程 习题26 真空中接地无限大导体平面附近有一电荷量为q的点电荷 求空间任一点电位 解 在z 0区域 满足泊松方程 在导体平面上满足 S 0 在点电荷q电场作用下 导体表面会出现感应电荷 由于是等位面 所以表面上电力线与界面垂直 设想在 0 0 h 处有一负电荷q 这时可认为导体不存在 整个空间的 q和 q组成的场在上半平面是一致的 在边界上 R R 0 则必然q q 其中r2 x2 y2 可见导体表面上总的感应电荷恰好等于镜像电荷 习题27 设介电常数分别为 1和 2两种介质 两者分界面为一无穷大平面 在介质1中有一点电荷q求整个空间任一点电位 解 在介质分界面上 在区域2或1 为了不改变电位所满足的方程 以界面为对称面 在原点电荷的对称位置 区域2 用一镜电荷g 代替面上的极化电荷 这时要认为整个空间充满 1则区域1内任一点的电位为q q 产生电位的叠加 即介质常数趋于无限大的介质在静电场中的作用相当于导体 见第9帧 习题21的补充及两个扩展 习题21 真空中有一段长为L的细致均匀电线其电荷密度为 求此带电直线的线平分面上任一点的电位及电场的分布 解 在柱坐标中 A点的电位 修正方法 电位参考点选不在无穷远处 而选择其它电位参考点 电位表达式加一任意常数c 将上题镜像扩展 如果在无穷大的接地导体一侧h处有一与其平行的长直导线 其电荷线密度为 求空间任一点的电位分布 解 根据镜像法在 h处有 的镜像线电荷 注 都是无限长垂直于纸面的 注意R 可想成从A点向 直线所引的垂线 其形态与上一题中的r类似 而h与上题的a类似 即距导线为h处电位为零 参见上题 则A点的电位为 该题再扩展一下 在接地无限长圆柱导体 附近h处平行放置无限长带电直线 电荷密度为p 求电位 解 考虑镜像直导线p 在h 处 则若似过c点的垂直于纸面的为电位零 实际整个圆柱面都是电位零 那么类似上面的思想 A点电位为两根无限长的带电直线的共同作用 注意以C点为电位零 则 联解上两式得 习题28 球面镜像 半径为a的金属球外有一电荷q现用镜像电荷代替球面上感应电荷 设球面镜像电荷在oq连线上 且电荷量为q 求球空间外任一点的电位 解 球空间外任一点的电位为 还有一组解 h h q q 表示镜像电荷在球外 它将改变球外区域的电位满足方程 故应除去 的作用下 外表面出现分布不均匀的负电荷 设想它是由q 产生的 但由于球体电中性 认为它还有均匀的正电荷 由 q 产生 注 q 及 q 都认为是镜像电荷 于是可将球体拿走 则A点电位为 注 q和q 产生的点位在球面上为零 见上题 一无限大金属板折成直角并接地 一电荷q在 a a 处 求p a a 2 处的电位 所求场点的坐标 a a 2 z0 第一象限电荷q位置 a a z0 第二象限电荷 q位置 a a z0 第三象限电荷q位置 a a z0 第四象限电荷 q位置 a a z0 解 在1 2 3点放置 q q q电荷 并抽去导电面并没有改变边界条件 复电位函数法若自变量为z x iy形成复变函数w f z u x y iv x y 若在区域内可导 则称为解析函数 它满足 在静电场中等位线和电力线是正交 可以将u族代表等位线称电位函数 而v族代表电力线称为流通函数同样也可把u族为流通函数 而v族称电位函数 穿过任一等位线 例u u2 上任意两条电力线 例v1v2 之间 高为1单位长的柱面的通量N为 如果u1和u2分别代表两个导体 则两导体面间单位长度的电容为 注 当u1和u2分别为封闭环 则v1和v2可为同一E线上的多值 见习题32 这是利用复电位函数计算电容的一个非常方便的公式 结论 不管是u还是v代表电位函数 电场强度的绝对值都可以由下式计算 E dw dz 1 只要找出复电位函数就可以得出电位分布 2 先研究各种解析函数的实部和虚度所以代表的曲线的特征 只要所给问题的边界与某个解析函数的实部或虚部所代表的曲线族中曲线吻合 就可选此解析函数作为所给定问题的一般解 再由边界条件来决定该解析函数的待定系数 所以需要先了解一些常用的解析函数 习题29 1 对数函数w klnz c其中k为实数 c c1 ic2为复常数 则w kln rei c1 ic2代入对数函数得 u klnr c1v k c2当v 常数 上面第二式表示径向直线族 若以v 常数 v1 v2 代表夹角为 的两块半无限大电导体平板的等位面 设交点处为绝缘的 v代表电位 则同心圆表示电力线y 同样也可以以同轴无限长圆柱体导体作为等位面 这时径向平面则为电力线y方向 u代表电位 怎样取可以根据实际题的电极形状来灵活确定 习题29 2 如果现有夹角为 的两块半无限大导电平板 设 0时 1 时 2 求平板间电位分布 解 w klnz cu klnr c1v k c2正好此导体的边界与我们所认识的对数的虚部所表示的曲线重合 则选择虚部为等位面 则实部以表示 实际上仍用u表示也可以 现要确定c1若取r 1的一条E线作为参考线 借用了参考某点电位为零的概念 即 u 0 就定出c1 0则 习题30 求无限长同轴圆柱形电容器内的电场解 等位面与原点为园心的圆族重合 u klnr c1而电力线则与径向直线重合 y v k c2两个同心导体圆筒电位分别为 1 2则 保角变换 如果w f z 在z z0处可导且f z0 不为零则在z0和w0邻域的点与点之间建立了的一一对应关系 z平面上给定一条曲线 w平面上也必有曲线与对应z平面上的c1和c2 在z0点夹角为a 经变换 在w平面称为c1 和c2 其夹角仍为a 经映射后夹角不变 解析函数所代表的映射变换称保角变换理由 f z0 的幅角为 其意义为 当z平面的无限小线段dz变到w平面上的dw时 dw与实轴的夹角比dz与实轴的夹角大argf z0 每条曲线都这样 相减后仍不变 当然是保角映射了 可证明 如果 x y 在D域面满足 2 x y 0且D域用保角变换w f z 映射为D 同时 x y 变成u 和v的函数 u v 则也满足 2 u v 0常用的变换举例 习题31对数函数变换 可看出w平面上u 常数的直线 例u u1 对应于z平面r为常数的圆 r x2 y2 1 2 r1同样w平面上v 常数的直线对应于z平面 为常数 即在z平面上为过原点的射线 这样在w平面的两个边界u1 u2之间的区域影射在z平面上为二个环形内的区域 即边界为二个同心环的区域的电场的解可以在w平面上二条直线边界上处理 要容易得多 习题32 已知内外半径分别为a b的同心圆柱导体面构成的同轴传输线 内外导体间加电压U0 求电位分布解 要在z平面求电极间电位并不方便 但在w平面上求u1 u2板极之间的电位是很容易的 是简单的线性解 u Au B代入条件 该解是在w平面所示的电极上得到的 现变回到z平面上的实际电极 只要通过影射 W z kLnz klnr ik u iv即u用klnr代 注意边界u1 u2也要代回去 1 式变为 结论 保角变换把z平面的拉氏方程变成w平面的拉氏方程 只要能找到一个把给定z边界变成w简单边界的保角变换 由 2 u v 0 求出 u v 再经逆变换求出 x y 注意w平面的边界值u1 u2不等于0 U0 习题33 把z平面上与x轴夹角为1 n的角域变换成w平面的上半平面 习题34 1 求通过将z平面的直角xoy变换为w平面的上半平面的保角变换 2 反余眩函数变换 w cos 1 z k 可写成x kcosuchvy ksinushv即w平面上v 常数的直线变成z平面上椭圆 及 即w平面上u 常数的直线变成z平面的双曲线 格林函数法 来源 如果有一个边界形状较简单 如无界全空间 上半空间 球外空间等 但边界条件并不简单 如半空间的边界上电位不全等于零 求解时可借助于格林函数 即单位点电荷在同样形状边界 而且边界电位为零 或导数为零 时的解格林函数 指一个点电荷在一定的边界条件下产生的电位 在区域v内位于r 一个单位正点电荷在r处产生的电位G r r 满足泊松方程在V区域的边界S上满足边界条件G S 0 称为第一类边值问题的Green函数 边界条件 则称为第二类边值问题的Green函数 1 无界空间的格林函数 在无界空间中 位于r 处的一个单位点电荷在r处产生的电位为 R为单位点电荷到观察点的距离 则无界空间的格林函数为 2 上半空间的格林函数 在上半空间中 位于r 处有一单位点电荷 在xoy平面上 S 0由镜像法可求得上半空间的任一点电位为 球外空间的格林函数 2 格林函数具有对称性对称性物理意义为 位于r 的单位电源 在一定边界情况下在r处产生的电位 等于位于r处同样强度的电源在在相同边界情况下在r 处产生的电位 3 如何从格林函数获得一般边值问题的解 设区域v内 电荷分布为r 边界上给定电位 S求v内的电位分布 r 相应的格林函数问题是 在v内r 处有一单位正电荷 边界上 S 0 那么v的电位分布为格林函数G r r 格林公式 证明略 并把 r 作为给定边界条件下待求的电位分布 把公式中积分变量r改为r 且G中的r r 互换 则格林公式为 若无空间电荷 习题35 在无穷大导体平面上有一半径为a的圆盘 用狭窄的绝缘环与导体绝缘 设圆内电位为U0 导体面上其余部分电位为零 求上半空间的电位分布 解 代入上式得 现先求上半空间的格林函数 对格林函数来说 只要边界形状相同即可 且边界上电位都为零 用有限差分法计算机数值计算 习题36 1 设已给出边界条件 此区域用正方形栅网覆盖9个小正方形区域 利用选代法求出每一个内点上电位 1 2 3 4 用有限差分法计算机数值计算 有限差分法 1 把二维平面场的区域分成许多正方格子 边长为h 设p点的电位为 p 其四周p1 p4的电位为 1 4 2 用泰勒级数将电位函数 x y 在 x0 y0 点展开 3 假设各内点的初始电位 可任意赋值 但赋的合适可加快计算 4 根据假设的初始电位对每个值进行计算 得出改进值计为 若 和下一次计算出的周圆四点平均值的误差不超过你所规定的误差 例0 001 则计算结束 打印结果 否则继续计算 试自己编程序 用c语言编程 练习36 2 mai