复变函数在解决电磁场问题中的应用.doc

卢颖 学号：11021004 班级：110221复变函数在工程中的应用复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复变函数在解决电磁场问题中的应用利用复变函数中的一些解析函数性质可以直接表示某些具有导体边界的二维场。利用复变函数中解析函数的保角变换性质，可以将复杂的场域边界变换成比较简单的边界，这给具有复杂场域边界的二维电磁场的求解提供了一种比较简便的方法。复变函数和积分变换在电子信息工程中的应用 0 初始条件 y(0)=1, y (0)=2, 输入信号 x(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应 y(t)。 解: 经典方法 (1) 求齐次方程 y(t)+6y(t)+8y(t) = 0 的齐次解 yh(t) 特征方程为 特征根为 齐次解 s 2 + 6s + 8 = 0 s1 = ?2，s2 = ?4 t0 yh (t ) = K1e ?2t + K 2 e ?3t (2) 求非齐次方程 y(t)+6y(t)+8y(t) = x(t)的特解 yp(t) 由输入 x(t)的形式，设方程的特解为 yp(t) = Ce-t t0 将特解带入原微分方程即可求得常数 C=1/3。 (3) 求方程的全解 1 y (t ) = y h (t ) + yp (t ) = Ae ? 2t + Be ? 4 t + e ?t 3 y ( 0) = A + B + 1 =1 3 1 =2 3 解得 A=5/2，B= -11/6 y (0) = ?2 A ? 4 B ? y (t ) = 5 ? 2t 11 ? 4t 1 ?t e ? e + e , t0 2 6 3 拉氏变换方法 s 2Y ( S ) ? Sy (0 ? ) ? y (0 ? ) + 6 sY ( s ) ? y (0 ? ) + 8Y ( s ) = X ( s ) sy (0 ? ) + y (0 ? ) + 6 y (0 ? ) 1 Y (S ) = + 2 X ( s) 2 s + 6s + 8 s + 6s + 8 sy (0 ? ) + y (0 ? ) + 6 y(0 ? ) s+8 3 ?2 y zi ( s ) = = = + ( s + 2)(s + 4) ( s + 2)(s + 4) s + 2 s + 2 Yzi (t ) = (3e ?2t ? 2e ?4t )u (t ) 1 1 1 ? 1 Yzs( s ? ) = = 3 + 2 + 6 ( s + 2)( s + 4)( s + 1) s + 1 s + 2 s + 4 1 1 1 y zs (t ) = e ?t ? e ? 2t + e ? 4t 3 2 6 1 5 11 y (t ) = e ?t + e ? 2t ? e ? 4t ; t 0 3 2 6 2.已知某线性时不变系统的动态方程式为: y (t)+5y (t) +6y (t) =4x(t), t0 系统的初始状态为 y(0-) = 1，y (0-) = 3， 求系统的零输入响应 yzi(t)。 解: 经典方法 系统的特征方程为 s 2 + 5s + 6 = 0 系统的特征根为 yzi (t ) = K1e ?2t + K 2e ?3t s1 = ?2，s2 = ?3 y(0-)=yzi(0-)=K1+K2=1 y (0-)= yzi(0-)= - 2K1-3K2 =3 解得 K1= 6，K2= -5 yzi (t ) = 6e ?2t ? 5e ?3t , t 0 拉氏变换方法 s 2Y ( s ) ? sy (0 ? ) + 5 sY ( s ) ? y (0 ? ) + 6Y ( s ) = 4 X ( s ) sy (0 ? ) + y (0 ? ) + 5 y (0 ? ) x( s) Y ( s) = + 2 s 2 + 5s + 6 s + 5s + 6 sy (0 ? ) + y (0 ? ) + 5 y (0 ? ) s+8 6 ?5 y zi ( s) = = = + ( s + 2)( s + 3) s + 2 s + 3 s 2 + 5s + 6 y zi (t ) = (6e ?2t ? 5e ?3t )u (t ) 3.已知某线性时不变系统的动态方程式为: y (t)+4y (t) +4y (t) = 2x (t )+3x(t), t0 系统的初始状态为 y(0-) = 2，y(0-) = -1，求系统的零输入响应 yzi(t)。 解: 经典方法 系统的特征方程为 s 2 + 4s + 4 = 0 系统的特征根为 s1 = s2 = ?2 yzi (t ) = K1e ?2t + K 2te ?2t （两相等实根 y(0-)=yzi(0-)=K1=1; y(0-)= y zi(0-)= -2K1+K2 =3 解得 K1 = 2, K2= 3 yzi (t ) = 2e ?2t + 3te ?2t , t 0 拉氏变换方法 s 2Y ( s ) ? sy (0 ? ) ? y (0) + 4 sY ( s ) ? y (0 ? ) + 4Y ( s) = (2 s + 3) X ( s) sy (0 ? ) + y (0 ? ) + 4 y (0 ? ) 2 s + 3 Y (s) = ? X ( s) ( s + 2) 2 ( s + 2) 2 Yzi ( s ) = 2s + 7 3 2 = + ( s + 2) 2 ( s + 2) 2 s + 2 y zi (t ) = 3te ?2t + 2e ?2t , t 0 4.已知某线性时不变系统的动态方程式为： y (t)+2y (t) +5y (t) = 4x (t )+3x(t), t0 系统的初始状态为 y(0-) = 1，y(0-) = 3，求系统的零输入响应 yzi(t)。 解: 经典方法 系统的特征方程为 系统的特征根为 s 2 + 2s + 5 = 0 s1 = ?1 + 2 j，s2 = ?1 ? 2 j yzi (t ) = e ? t K1 cos 2t + K 2 sin 2t ) （ y(0-)=yzi(0-)=K1=1 y (0-)= y zi(0-)= -K1+2K2 =3 解得 K1= 1，K2= 2 yzi (t ) = e ?t (cos 2t + 2 sin 2t ), t 0 拉氏变换方法 s 2Y ( s) ? sy (0 ? ) ? y (0 ? ) + 2 sy ( s) ? y (0 ? ) + 5Y ( s ) = (4 s + 3) X ( s) Y（s） = Yzi ( s ) = sy (0?) + y (0?) + 2 y (0?) 4s + 3 + 2 X (s) s 2 + 2s + 5 s + 2s + 5 s+5 s +1 2 = +2 2 2 2 2 ( s + 1) + 2 ( s + 1) + 2 ( s + 1) 2 + 2 2 y zi (t ) = e ? t cos 2t + 2e ? t sin 2t = e ?t (cos 2t + 2 sin 2t )t 0 5.已知某 LTI 系统的动态方程式为： y(t) + 3y(t) = 2x(t) 系统的冲激响应 h(t) = 2e-3t u(t), x(t) = 3u(t), 试求系统的零状态 响应 yzs(t)。 解： yzs (t ) = x(t ) ? h(t ) = x( ) ? h(t ? )d ? + = 3u ( ) ? 2e ?3( t ? )u (t ? )d ? + ? t 3 ? 2e ?3(t ? ) d ? = ?0 ?0 ? t 0 t0 t 0 dt 试求系统的冲激响应。 解：经典方法 当 x(t) = d (t)时，y(t) = h(t)，即 dh(t ) + 3h(t ) = 2 (t ) dt 动态方程式的特征根 s = -3, 且 nm, 故 h(t)的形式为 h(t ) = Ae ?3 t u (t ) d Ae ?3t u (t ) + 3 Ae ?3t u (t ) = 2 (t ) dt 解得 A=2 h(t ) = 2e ?3 t u (t ) 拉氏变换解法 sy ( s ) + 3 y ( s ) = 2 X ( s ) (s + 3) y (s) = 2 x( s) H ( s) = y ( s) 2 = x( s ) s + 3 h(t) = 2e -3t u (t ), t 0 7.已知某线性时不变系统的动态方程式为 dy (t ) + 6 y (t ) = 2 x(t ) + 3 x (t ), t 0 dt 试求系统的冲激响应。 解：经典解法 当 x(t) = d (t)时，y(t) = h(t)，即 dh(t ) + 6h(t ) = 2 (t ) + 3 (t ) dt 动态方程式的特征根 s = -6, 且 n=m, 故 h(t)的形式为 h(t ) = Ae ?6 t u (t ) + B (t ) d Ae ? 6t u (t ) + B (t ) + 6 Ae ?6t u (t ) + B (t ) = 2 (t ) + 3 (t ) dt 解得 A= -16, B =3 h(t ) = 3 (t ) ? 16e ?6 t u (t ) 拉氏变换解法 sy ( s ) + 6 y = 2 X ( s ) + 3sX ( s ) ( s + 6)Y ( s ) = (3s + 2) X ( s ) H (s) = 16 Y ( S ) 3s + 2 = 3? = X ( s) s + 6 s+6 h(t ) = 3 (t ) ? 16e ?6t , t 0 分析： 由例题可以看出经典方法可和拉氏变换方法都能解决连续信号 分析： 系统的零输入响应、零状态响应、完全响应及冲激响应方面的问题。 经典方法做题，思路比较简单，容易想出方法，但是计算比较繁琐， 容易出错。用拉氏变换方法思路上稍显麻烦，但是计算要简单得多， 减少了错误发生的概率。如果微分方程右边激励项较复杂，用经典方 法就难以处理，用拉氏变换方法将数学模型转化为代数式，做起来就 显得容易很多，既明了又简洁。如果激励信号发生变化，用经典方法 做，就需要全部重新求解，相对与拉氏变换就麻烦的多。如果初始信 号发生变化，用经典方法做题也要全部重新求解，相当复杂。经典方 法是一种纯数学的方法，无法突出系统响应的物力概念。拉氏变换相 对的能够突出系统响应的物理概念。具体用那种方法做题，还得依题 而论，如果题目比较简单，激励信号不发生变化，初始条件不发生变 化， 就用经典方法做题， 因为经典方法思路比较简单， 方法比较好想， 减少了做题的时间。如果题目比较复杂，或者激励信号，初始条件发 生变化，就用拉氏变换方法，做题步骤简单，节省时间，又减少了错 误发生的概率。 2.z 变换在电子信息工程专业中的应用 变换方法均能解决离散信号中的问题， 经典解题方法和 z 变换方法均能解决离散信号中的问题， 两者有 什么优缺点呢？ 什么优缺点呢？我们通过以下问题进行论证 1.已知某线性时不变系统的动态方程式为: yk+3yk-1+2yk-2=xk 系统的初始状态为 y-1=0， y-2= 1/2， 求系统的零输入响应 yzik 。 解： 经典解法 系统的特征方程为 系统的特征根为 r 2 + 3r + 2 = 0 r1 = ?1, r2 = ?2 yzi k = C1 (?1) k + C2 (?2) k 1 y?1 = ?C1 ? C2 = 0 2 1 1 y?2 = C1 + C2 = 4 2 解得 C1=1，C2= -2 yzi k = (?1) k ? 2(?2) k k 0 Z 变换解法 Y ( Z ) + 3Z ?1Y ( z ) + y?1 + 2z ?2Y ( s ) + z ?1 ?1 + y?2 = X ( z ) 3 y?1 + 2 z ?1 y?1 + 2 y?2 X ( z) Y ( z) = ? + 1 + 3z ?1 + 2 z ? 2 1 + 3z ?1 + 2 z ? 2 y zi ( z ) = ? 1 1 + 3 z ?1 + 2 z ? 2 = ?1 1 ?2 = + (1 + z ?1 )(1 + 2 z ?1 ) 1 + z ?1 1 + 2 z ?1 y zi k = (?1) k ? 2(?2) k .k 0 2. 若描述某离散系统的差分方程为: yk + 3 yk ? 1 + 2 yk ? 2 = xk 已知 1 xk = 3( ) k uk 2 hk = ?(?1) k + 2(?2) k uk 求系统的零状态响应 yzs k。 解： 经典解法 yzs k = n = ? n xnhk ? n = n = ? 3( 2 ) un?(?1) 1 k ?n + 2(?2) k ? n uk ? n k k 1 1 ? ? ? 3(?1) k (? ) n + 6(?2) k (? ) n , k 0 =? 2 4 n =0 n =0 ?0 k 0 ? = ?2(?1) k + 24 1 1 (?2) k + ( ) k uk 5 5 2 Z 变换解法 X ( z) = 3 ?1 2 ? H ( z) = + ?1 1 1+ z 1 + 2 z ?1 1 ? z ?1 2 Yzs ( z ) = H ( z ) X ( z ) = 3 3 (1 + z )(1 + 2 z ?1 ) 1 ? 1 z ?1 2 ?10 1 ? = 1 (1 + z ?1 )(1 + 2 z ?1 )(1 ? z ?1 ) 2 24 1 ?2 5 = + 5 ?1 + ?1 1 1+ z 1+ 2z 1 ? z ?1 2 y zs k = ?2( ?1) k + 24 1 1 ( ?2) k + ( ) k uk 5 5 2 3. 描述某离散因果 LTI 系统的差分方程为 yk + 3 yk ? 1 + 2 yk ? 2 = xk 求系统的单位脉冲响应 hk。 解： 经典解法 hk满足方程 hk + 3hk ? 1 + 2hk ? 2 = k 2) 求差分方程的齐次解 特征方程为 特征根为 r 2 + 3r + 2 = 0 r1 = ?1, r2 = ?2 hk = C1 (?1) k + C2 (?2) k , k 0 齐次解的表达式为 代入初始条件，有 1 h?1 = ?C1 ? C2 = 0 2 h0 = C1 + C2 = 1 解得 C1=-1，C2= 2 hk = ?(?1) k + 2(?2) k uk hk满足方程 hk + 3hk ? 1 + 2hk ? 2 = k z 变换解法 y ( z ) + 3z ?1 y ( z ) + 2 z ?2 y ( z ) = X ( z ) H ( z) = y( z) 1 = ?1 x( z ) 1 + 3z + 2 z ? 2 ?1 2 = + 1 + z ?1 1 + 2 z ?1 hk = ?(?1) k + 2(?2) k uk 分析： 分析： 由例题可以看出经典方法可和 z 变换方法都能解决离散信号系统的 零输入响应、零状态响应、完全响应及冲激响应，经典方法比较容易 的就能得到做题思路， 在比较简单的题目上， 经典方法看似比较简单， 但是如果题目比较复杂，例如二阶电路分析，或者初始条件，输入信 号发生改变，用经典方法做起来就要复杂的多，做题过程相当繁琐， 很容易出现计算式上的错误，此时用 z 变化做简单多了，想好做题思 路后，过程相当简洁，步骤简单，减少了计算上错误的发生率又节省 了时间。就算在简单的离散信号分析题目上，z 变换也不比经典方法 复杂多少， 所以应该加强 z 变换方面的练习， 尽量用 z 变换方法做题。 总结： 用复变函数与积分变换中的拉氏变换和 z 变换能够很好的解决 总结： 信号与系统中的问题可把信号与系统中的数学模型转化成简单的代 数方程，这样一来就简化了计算过程，减少了错误发生率，节省了大 量的时间。在连续信号、离散信号，从其零输入响应、零状态响应、 完全响应方面， 都可以通过专业中常用的经典方法和复变函数与积分 变换中的拉氏变换和 z 变换做出。 但很明显拉氏变换和 z 变换的方法 要比经典方法简单得多。时域分析，频域分析，复频域分析方法比经 典的常规方法更明了，简洁，规范。就算在电路中，也有很多可以运 用复变函数与积分变换中的拉斯变换和 z 变换解决的很多问题， 有线 性元件（RLC 等）的电路的时域方程为线性常系数微分方程，而这类 电路的分析最终变成了一系列线性常系数微分方程的求解问题。 当微 分方程的阶数大于 2 或者输入函数比较复杂时， 方程的求解就变得比 较复杂起来了。拉氏变换正是简化这类计算得有效方法之一。通过拉 氏变换，用电压、电流对应的复频域象函数代替相应的时间函数，即 可将原线性微分方程变换为相应的线性代数方程， 从而大大简化电路 方程的求解，减少了错误发生的概率，节省了时间。因此，得出在本 专业学习中， 复变函数与积分变换是一个简化做题过程的一个重要途 径，是一个不可缺少的有力教学工具傅里叶变换的应用傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、编码学、声学、光学、海洋学、结构力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。任意的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。图像傅立叶变换的物理意义图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间